1.（2008年浙江省衢州市）把拋物線向右平移2個單位得到的拋物線是(    )

A、   B、    C、   D、

答案：D

2．(08浙江溫州)拋物線的對稱軸是（    ）

A．直線           B．直線           C．直線        

D．直線

答案：A

3.(2008年沈陽市)二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)是（    ）             

A．             B．           C．          D．

答案：A

4.（2008年陜西省）已知二次函數(shù)（其中），關(guān)于這個二次函數(shù)的圖象有如下說法：①圖象的開口一定向上；②圖象的頂點一定在第四象限；③圖象與軸的交點至少有一個在軸的右側(cè)．以上說法正確的個數(shù)為（    ）

A．0            B．1            C．2            D．3

答案：C

5.（2008年吉林省長春市）拋物線的頂點坐標(biāo)是  【    】

A.（－2，3）     B.（2，3）    C.（－2，－3）    D.（2，－3）

答案：A

6.(2008  湖北  荊門)把拋物線y=x+bx+c的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式為y=x－3x＋5，則 (   )  

(A) b=3,c=7．(B) b=6,c=3．(C) b=－9,c=－5．(D) b=－9,c=21．

答案：A

7.(2008  河北)如圖，正方形的邊長為10，四個全等的小正方形的對稱中心分別在正方形的頂點上，且它們的各邊與正方形各邊平行或垂直．若小正方形的邊長為，且，陰影部分的面積為，則能反映與之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（    ）   

答案：D

8．（2008江西）函數(shù)化成的形式是（    ）

A．           B．

C．          D．

答案：A

9.（2008佳木斯市）對于拋物線，下列說法正確的是（    ）

A．開口向下，頂點坐標(biāo)           B．開口向上，頂點坐標(biāo)

C．開口向下，頂點坐標(biāo)         D．開口向上，頂點坐標(biāo)

答案：A

10..（2008貴州貴陽)二次函數(shù)的最小值是（    ）

A．         B．           C．         D．

答案：B

11..（2008資陽市） 在平面直角坐標(biāo)系中，如果拋物線y＝2x²不動，而把x軸、y軸分別向上、向右平移2個單位，那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是 (    )

A．y＝2(x－2)² + 2                                               B．y＝2(x + 2)²－2

C．y＝2(x－2)²－2                                               D．y＝2(x + 2)² + 2

答案：B

12．（2008泰州市）二次函數(shù)的圖像可以由二次函數(shù)的圖像

平移而得到，下列平移正確的是

A．先向左平移2個單位，再向上平移1個單位

B．先向左平移2個單位，再向下平移1個單位

C．先向右平移2個單位，再向上平移1個單位

D．先向右平移2個單位，再向下平移1個單位

答案：B

13．（2008山西�。�拋物線經(jīng)過平移得到，平移方法是（   ）

A．向左平移1個單位，再向下平移3個單位

B．向左平移1個單位，再向上平移3個單位

C．向右平移1個單位，再向下平移3個單位

D．向右平移1個單位，再向上平移3個單位

答案：D

14..將二次函數(shù)的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得圖象的函數(shù)表

達(dá)式是   （  ）

Ａ．        Ｂ． 

Ｃ．        Ｄ．

答案：A

15.（2008湖北武漢）函數(shù)的自變量的取值范圍（　　）．

Ａ.    �。拢�   　 Ｃ．       Ｄ．．

答案：C

16.（2008湖北孝感）把拋物線向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為（   ）

A.  B.   C.   D.

答案：D

17.(2008  臺灣)如圖坐標(biāo)平面上有一透明片，透明片上有一?物線及一點P，且?物線為二次函數(shù)y=x²的圖形，P的坐標(biāo)(2,4)。若將此透明片向右、向上移動后，得?物線的頂點座標(biāo)為(7,2)，則此時P的坐標(biāo)為何？(    )   

(A) (9,4)    (B) (9,6)    (C) (10,4)    (D) (10,6)

答案：B

18. （2008甘肅蘭州）下列表格是二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對應(yīng)值，判斷方程（為常數(shù)）的一個解的范圍是（    ）

6.17

6.18

6.19

6.20

A．        B．  C．      D．

答案：  C

19. （2008江蘇鎮(zhèn)江）福娃們在一起探討研究下面的題目：

函數(shù)（為常數(shù)）的圖象如左圖，

如果時，；那么時，函數(shù)值（   ）

A．           B．           

C．          D．

參考下面福娃們的討論，請你解該題，你選擇的答案是（    ）

貝貝：我注意到當(dāng)時，．

晶晶：我發(fā)現(xiàn)圖象的對稱軸為．

歡歡：我判斷出．

迎迎：我認(rèn)為關(guān)鍵要判斷的符號．

妮妮：可以取一個特殊的值．

答案：C

20. (2008湖北仙桃等) 如圖，拋物線的對稱軸是直線，且經(jīng)過點（3，0），則的值為   （    ）

A. 0      B. －1     C.  1      D.  2

答案：A

21. （2008齊齊哈爾）．對于拋物線，下列說法正確的是（    ）

A．開口向下，頂點坐標(biāo)      B．開口向上，頂點坐標(biāo)

C．開口向下，頂點坐標(biāo)     D．開口向上，頂點坐標(biāo)

答案：A

22.（2008齊齊哈爾）．對于拋物線，下列說法正確的是（    ）

A．開口向下，頂點坐標(biāo)      B．開口向上，頂點坐標(biāo)

C．開口向下，頂點坐標(biāo)     D．開口向上，頂點坐標(biāo)

答案：A

1.（2008湖北黃岡）若點在第一象限，則的取值范圍是           ；直線經(jīng)過點，則           ；拋物線的對稱軸為直線           ．

答案：K>1;1;  X=2

2.(2008年天津市)已知拋物線，若點（，5）與點關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，則點的坐標(biāo)是              ．

答案：（4，5）

3.(2008年天津市)已知關(guān)于x的函數(shù)同時滿足下列三個條件：

①函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限；

②當(dāng)時，對應(yīng)的函數(shù)值；

③當(dāng)時，函數(shù)值y隨x的增大而增大．

你認(rèn)為符合要求的函數(shù)的解析式可以是：               （寫出一個即可）．

答案：  （提示：答案不惟一，如等）

4.(2008年大慶市)拋物線的頂點坐標(biāo)是        ．

答案：(0,1)

5.（2008年四川省南充市）根據(jù)下面的運算程序，若輸入時，輸出的結(jié)果        ．

答案：

6.（2008年吉林省長春市）將拋物線向下平移3個單位，再向左平移4個單位得到拋物線，則原拋物線的頂點坐標(biāo)是        　　 。

答案：（３，１０）

7．初三數(shù)學(xué)課本上，用“描點法”畫二次函數(shù)的圖象時，列了如下表格：

…

0

1

2

…

…

…

根據(jù)表格上的信息回答問題：該二次函數(shù)在時，         ．

答案：

8．（2008  江西南昌）將拋物線向上平移一個單位后，得到的拋物線解析式是      　　 ．

答案：y=-3x²+1

9．（2008山西�。┒�次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線         。

答案：

10. （2008山西太原）拋物線的頂點坐標(biāo)是      。

答案：（1，1）

11.（2008湖北襄樊）如圖7，一名男生 男生鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x(單位:m)之間的關(guān)系是y=－,則他將3將推出的距離是________ . 

答案：10

12.(2008  河南實驗區(qū))如圖是二次函數(shù)圖像的一部分，該圖在軸右側(cè)與軸交點的坐標(biāo)是                     

答案：（1，0）

13．（2008湖北省咸寧）拋物線與軸只有一個公共點，則的

值為       ．

答案：8

13.（2008年白銀）拋物線 y=x²+x-4與y軸的交點坐標(biāo)為         ．

答案：(0，-4)

14. （2008甘肅蘭州）在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，下列4個函數(shù)①，②，③，④的圖象不可能由函數(shù)的圖象通過平移變換、軸對稱變換得到的函數(shù)是        （填序號）．

答案：④

1.(2008淅江寧波)如圖，中，，點的坐標(biāo)是，以點為頂點的拋物線經(jīng)過軸上的點．

（1）求點的坐標(biāo)．

（2）若拋物線向上平移后恰好經(jīng)過點，求平移后拋物線的解析式．

解：（1）在中，且，

點的坐標(biāo)為???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

設(shè)拋物線的對稱軸與軸相交于點，

則，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

點的坐標(biāo)為．????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（2）由拋物線的頂點為，

可設(shè)拋物線的解析式為，????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

把代入上式，

解得．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

設(shè)平移后拋物線的解析式為

把代入上式得???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

平移后拋物線的解析式為．????????????????????????????????????????????????? 8分

即．

2．（2008湖南益陽）我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.

如圖12，點A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點，已知點D的坐標(biāo)為(0，-3)，AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為(1,0)，半圓半徑為2.

(1)請你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍；

(2)你能求出經(jīng)過點C的“蛋圓”切線的解析式嗎？試試看；

(3)開動腦筋想一想，相信你能求出經(jīng)過點D的“蛋圓”切線的解析式.

解：(1)解法1：根據(jù)題意可得：A(-1,0)，B(3,0)；

則設(shè)拋物線的解析式為(a≠0)

又點D(0，-3)在拋物線上，∴a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1

 ∴y=x²-2x-3????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

自變量范圍：-1≤x≤3??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

           解法2：設(shè)拋物線的解析式為(a≠0)

                   根據(jù)題意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三點都在拋物線上

                   ∴，解之得：

∴y=x²-2x-3????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

自變量范圍：-1≤x≤3????????????????????????????????????????????????? 4分

          (2)設(shè)經(jīng)過點C“蛋圓”的切線CE交x軸于點E，連結(jié)CM，

             在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°,OC=

             在Rt△MCE中，∵OC=2，∠CMO=60°，∴ME=4

 ∴點C、E的坐標(biāo)分別為(0，)，(-3,0) 6分∴切線CE的解析式為     8分

(3)設(shè)過點D(0，-3)，“蛋圓”切線的解析式為：y=kx-3(k≠0) ???????????????????????????????? 9分

              由題意可知方程組只有一組解

   即有兩個相等實根，∴k=-2??????????????????????????????????? 11分

   ∴過點D“蛋圓”切線的解析式y(tǒng)=-2x-3???????????????????????????????????????? 12分

3.（2008浙江杭州）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點，點．平移二次函數(shù)的圖象，得到的拋物線滿足兩個條件：①頂點為；②與軸相交于兩點（）．連接．

（1）是否存在這樣的拋物線，使得？請你作出判斷，并說明理由；

（2）如果，且，求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式．

解：（1）這樣的拋物線F是不存在的。

假定這樣的拋物線F存在，因為頂點為Q，而且F是由平移的得到的，所以F的關(guān)系式為，化簡得

根據(jù)二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，函數(shù)y圖像與x軸的交點B,C的橫坐標(biāo)等于方程的兩個根，設(shè)這兩個根為x₁ ，x₂  ，則x₁?x₂===，

ㄏOAㄏ² =t², ㄏOBㄏ?ㄏOCㄏ=，若二者相等的話，b=0，這樣Q就在x軸上，拋物線F不可能與x軸有兩個交點B，C.和假定產(chǎn)生矛盾，所以這樣的拋物線F是不存在的。

（2）∵AQ∥BC

     ∴Q點縱坐標(biāo)和A點縱坐標(biāo)相同。

       即Q(t，t)

     ∵tan∠ABO=.OA=t

     ∴OB==

     F是由平移得到，頂點為Q(t，t)，所以關(guān)系式為

     把B點坐標(biāo)（，0）代入關(guān)系式得，，解得t₁=0（舍去），

t₂=-3（舍去），t₃=3，把t=3代入原關(guān)系式得拋物線F的關(guān)系式為

4.(2008年浙江省紹興市)定義為一次函數(shù)的特征數(shù)．

（1）若特征數(shù)是的一次函數(shù)為正比例函數(shù)，求的值；

（2）設(shè)點分別為拋物線與軸的交點，其中，且的面積為4，為原點，求圖象過兩點的一次函數(shù)的特征數(shù)．

解：（1）特征數(shù)為的一次函數(shù)為，

，

．

（2）拋物線與軸的交點為，

與軸的交點為．

若，則，；

若，則，．

當(dāng)時，滿足題設(shè)條件．

此時拋物線為．

它與軸的交點為，

與軸的交點為，

一次函數(shù)為或，

特征數(shù)為或．

5.（2008年四川巴中市）王強(qiáng)在一次高爾夫球的練習(xí)中，在某處擊球，其飛行路線滿足拋物線，其中（m）是球的飛行高度，（m）是球飛出的水平距離，結(jié)果球離球洞的水平距離還有2m．

（1）請寫出拋物線的開口方向、頂點坐標(biāo)、對稱軸．

（2）請求出球飛行的最大水平距離．

（3）若王強(qiáng)再一次從此處擊球，要想讓球飛行的最大高度不變且球剛好進(jìn)洞，則球飛行路

線應(yīng)滿足怎樣的拋物線，求出其解析式．

解：（1）

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

拋物線開口向下，頂點為，對稱軸為????????????????? 3分

（2）令，得：

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

解得：，??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

球飛行的最大水平距離是8m．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（3）要讓球剛好進(jìn)洞而飛行最大高度不變，則球飛行的最大水平距離為10m

拋物線的對稱軸為，頂點為??????????????????????????????????????????????????????????? 7分

設(shè)此時對應(yīng)的拋物線解析式為??????????????????????????????????????????????????? 8分

又點在此拋物線上，

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

                         10分

6．（2008年江蘇省南通市）已知點A（－2，－c）向右平移8個單位得到點A′，A與A′兩點均在拋物線上，且這條拋物線與y軸的交點的縱坐標(biāo)為－6，求這條拋物線的頂點坐標(biāo).

解：由拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為－6，得c＝－6.

∴A（－2，6），點A向右平移8個單位得到點A′（6，6）

∵A與A′兩點均在拋物線上，

∴，解這個方程組，得

故拋物線的解析式是

∴拋物線頂點坐標(biāo)為（2，－10）

7.（2008年山東省棗莊市）在直角坐標(biāo)平面中，O為坐標(biāo)原點，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點A，與x軸的負(fù)半軸交于點B，且．

（1）求點A與點B的坐標(biāo)；

（2）求此二次函數(shù)的解析式；

（3）如果點P在x軸上，且△ABP是等腰三角形，求點P的坐標(biāo)．

解：（1）由解析式可知，點A的坐標(biāo)為（0，4）．  ……………………1分

∵，∴BO=3．

∴點B的坐標(biāo)為（-3，0）．    ………………………………２分

（2）把點B的坐標(biāo)（-3，0）代入，得

． 解得．   …………………4分

∴所求二次函數(shù)的解析式為．   …………………5分

（3）因為△ABP是等腰三角形，所以

①當(dāng)AB=AP時，點P的坐標(biāo)為（3，0）．   ………………………………6分

②當(dāng)AB=BP時，點P的坐標(biāo)為（2，0）或（-8，0）．    ………………………8分

③當(dāng)AP=BP時，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，0）．根據(jù)題意，得．

解得 ．∴點P的坐標(biāo)為（，0）．  ……………………………10分

綜上所述，點P的坐標(biāo)為（3，0）、（2，0）、（-8，0）、（，0）．

8.(2008  河南)如圖，直線y=和x軸、y軸的交點分別為B，C。點A的坐標(biāo)是（－2,0）

（1）    試說明△ABC是等腰三角形；

（2）    動點M從點A出發(fā)沿x軸向點B運動，同時動點N從點B出發(fā)沿線段BC向點C運動，運動的速度均為每秒1個單位長度，當(dāng)其中一個動點到達(dá)終點時，它們都停止運動，設(shè)點運動t秒時，△MON的面積為s。

①    求s與t的函數(shù)關(guān)系式；

②    當(dāng)點M在線段OB上運動時，是否存在s=4的情形？若存在，求出對應(yīng)的t值；若不存在，說明理由；

③    在運動過程中，當(dāng)△MON為直角三角形時，求t的值。

解：（1）將y=0代入y=,得到x=3,∴點B的坐標(biāo)為（3,0）；

將x=0,代入y=,得到y(tǒng)=4, ∴點C的坐標(biāo)為（0,4）  …………2分

在Rt△OBC中，∵OC＝4，OB＝3，∴BC＝5。

又A（－2,0），∴AB＝5，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形�！�……………4分

（2）∵AB=BC=5，故點M、N同時開始運動，同時停止運動。

過點N作ND⊥x軸于D　，

則ND＝NB●sin∠OBC＝，

①    當(dāng)0＜t＜2時（如圖甲）

OM＝2－t,

∴s==

=  ……………………7分

當(dāng)2＜t≤5時（如圖乙），OM＝t－2,

∴s==

=  …………………………8分

（注：若將t的取值范圍分別寫為0≤t≤2和2≤t≤5,不扣分）

②    存在s＝4的情形。

當(dāng)s＝4時，＝4

解得t₁=1+, t₂=1-秒�！　　�………………………10分

③    當(dāng)MN⊥x軸時，△MON為直角三角形，

MB＝NB●COS∠MBN＝，又MB＝5－t.

∴=5-t, ∴t=   ………………11分

當(dāng)點M，N分別運動到點B，C時，△MON為直角三角形，t=5.

故△MON為直角三角形時，t=秒或t＝5秒　　…………12

9.(2008  湖北  十堰)已知拋物線與軸的一個交點為A(-1,0)，與y軸的正半軸交于點C．

⑴直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與軸的另一個交點B的坐標(biāo)；

⑵當(dāng)點C在以AB為直徑的⊙P上時，求拋物線的解析式；

⑶坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點，使得以點M和⑵中拋物線上的三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

解：⑴對稱軸是直線：，點B的坐標(biāo)是(3,0)．

⑵如圖，連接PC，∵點A、B的坐標(biāo)分別是A(-1,0)、B (3,0)，

∴AB＝4．∴

在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，

∴

∴b＝ 

當(dāng)時，

∴　

∴ 

⑶存在．

理由：如圖，連接AC、BC．設(shè)點M的坐標(biāo)為．

①當(dāng)以AC或BC為對角線時，點M在x軸上方，此時CM∥AB，且CM＝AB．

由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，．

∴x＝±4．∴點M的坐標(biāo)為．

②當(dāng)以AB為對角線時，點M在x軸下方．

過M作MN⊥AB于N，則∠MNB＝∠AOC＝90°．

∵四邊形AMBC是平行四邊形，∴AC＝MB，且AC∥MB．

∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．

∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．

∴點M的坐標(biāo)為．        

綜上所述，坐標(biāo)平面內(nèi)存在點，使得以點A、B、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形．其坐標(biāo)為

10.(2008  湖南  懷化)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓M經(jīng)過原點O，且與軸、軸分別相交于兩點．

（1）求出直線AB的函數(shù)解析式；

（2）若有一拋物線的對稱軸平行于軸且經(jīng)過點M，頂點C在⊙M上，開口向下，且經(jīng)過點B，求此拋物線的函數(shù)解析式；

（3）設(shè)（2）中的拋物線交軸于D、E兩點，在拋物線上是否存在點P，使得？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

解：（1）設(shè)AB的函數(shù)表達(dá)式為

∵∴∴

∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為．

（2）設(shè)拋物線的對稱軸與⊙M相交于一點，依題意知這一點就是拋物線的頂點C。又設(shè)對稱軸與軸相交于點N，在直角三角形AOB中，

因為⊙M經(jīng)過O、A、B三點，且⊙M的直徑，∴半徑MA=5，∴N為AO的中點AN=NO=4，∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2，∴C點的坐標(biāo)為（-4，2）．

設(shè)所求的拋物線為

則

∴所求拋物線為

（3）令得D、E兩點的坐標(biāo)為D（-6，0）、E（-2，0），所以DE=4．

又AC=直角三角形的面積

假設(shè)拋物線上存在點．

當(dāng)故滿足條件的存在．它們是．

11.(2008  四川  廣安)如圖，已知拋物線經(jīng)過點（1，-5）和（-2，4）

（1）求這條拋物線的解析式．

（2）設(shè)此拋物線與直線相交于點A，B（點B在點A的右側(cè)），平行于軸的直線與拋物線交于點M，與直線交于點N，交軸于點P，求線段MN的長（用含的代數(shù)式表示）．

（3）在條件（2）的情況下，連接OM、BM，是否存在的值，使△BOM的面積S最大？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．

解：（1）由題意得    解得b＝－2，c＝－4

∴此拋物線的解析式為：y＝x²－2x－4

2（2）由題意得

解得　　　

∴點Ｂ的坐標(biāo)為(4，4)

將x＝m代入　y＝x條件得y＝m

∴點Ｎ的坐標(biāo)為（m , m）

同理點Ｍ的坐標(biāo)為（m , m²－2m－4 ），點Ｐ的坐標(biāo)為(m , 0 )

∴PN＝｜m｜ ,MP＝| m²－2m－4 |

∵

∴MN＝PN＋MP＝

(3)作BC⊥MN于點C ，則BC＝4－m  ，OP＝m

==

∵－2＜0

∴當(dāng)時，Ｓ有最大值

12.(2008  湖北  荊門)已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點A在x軸上，與y軸的交點為B（0，1），且b=－4ac．

 (1) 求拋物線的解析式；

(2) 在拋物線上是否存在一點C，使以BC為直徑的圓經(jīng)過拋物線的頂點A？若不存在說明理由；若存在，求出點C的坐標(biāo)，并求出此時圓的圓心點P的坐標(biāo)；

(3) 根據(jù)(2)小題的結(jié)論，你發(fā)現(xiàn)B、P、C三點的橫坐標(biāo)之間、縱坐標(biāo)之間分別有何關(guān)系?

解：(1)由拋物線過B(0,1) 得c=1．

      又b=-4ac,  頂點A(-,0),

        ∴-==2c=2．∴A(2,0)．    

        將A點坐標(biāo)代入拋物線解析式，得4a+2b+1=0 ，     

 ∴ 　解得a =,b =-1.

        故拋物線的解析式為y=x²-x+1．    

       另解: 由拋物線過B(0,1) 得c=1．又b²-4ac=0,  b=-4ac，∴b=-1． 

        ∴a=,故y=x-x+1．
        

   (2)假設(shè)符合題意的點C存在，其坐標(biāo)為C(x，y),   　　　　　　　　　　　　

     作CD⊥x軸于D ,連接AB、AC．

　　∵A在以BC為直徑的圓上,∴∠BAC=90°．

    ∴ △AOB∽△CDA．

    ∴OB?CD=OA?AD．

     即1?y=2(x-2)， ∴y=2x-4． 　

    由　

解得x₁=10,x₂=2．

∴符合題意的點C存在，且坐標(biāo)為 (10,16)，或(2,0)．

       ∵P為圓心，∴P為BC中點．

     　 當(dāng)點C坐標(biāo)為 (10,16)時，取OD中點P₁ ，連PP₁ ,　則PP₁為梯形OBCD中位線．

∴PP₁=(OB+CD)=．∵D (10,0),　∴P₁ (5,0),　∴P (5, )．  

        當(dāng)點C坐標(biāo)為 (2,0)時, 取OA中點P₂ ，連PP₂ ,　則PP₂為△OAB的中位線．

∴PP₂=OB=．∵A (2,0),　∴P₂(1,0), ∴P (1,)．　

故點P坐標(biāo)為(5, ),或(1,)．　
　　　

(3)設(shè)B、P、C三點的坐標(biāo)為B(x₁,y₁),　P(x₂,y₂),　C(x₃,y₃)，由(2)可知：

13．(2008北京)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，點的坐標(biāo)為，將直線沿軸向上平移3個單位長度后恰好經(jīng)過兩點．

（1）求直線及拋物線的解析式；

（2）設(shè)拋物線的頂點為，點在拋物線的對稱軸上，且，求點的坐標(biāo)；

（3）連結(jié)，求與兩角和的度數(shù)．

解：（1）沿軸向上平移3個單位長度后經(jīng)過軸上的點，．

設(shè)直線的解析式為．在直線上，

．解得．直線的解析式為．

拋物線過點，解得

拋物線的解析式為．

（2）由．可得．，，，．

可得是等腰直角三角形．，．

如圖1，設(shè)拋物線對稱軸與軸交于點，．

過點作于點．．

可得，．

在與中，，，

．，．解得．

點在拋物線的對稱軸上，點的坐標(biāo)為或．

（3）如圖2，作點關(guān)于軸的對稱點，則．

連結(jié)，可得，．

由勾股定理可得，．又，是等腰直角三角形，，

．．．

即與兩角和的度數(shù)為．

14．（08廈門市）已知：拋物線經(jīng)過點．

（1）求的值；

（2）若，求這條拋物線的頂點坐標(biāo)；

（3）若，過點作直線軸，交軸于點，交拋物線于另一點，且，求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式．（提示：請畫示意圖思考）

解：（1）依題意得：，????????????????????????????????????????????? 2分

．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（2）當(dāng)時，，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

拋物線的頂點坐標(biāo)是．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（3）當(dāng)時，拋物線對稱軸，

對稱軸在點的左側(cè)．

因為拋物線是軸對稱圖形，且．

???????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

．

．???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

又，．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式．?????????????????????????????????????????? 12分

解法2：（3）當(dāng)時，，

對稱軸在點的左側(cè)．因為拋物線是軸對稱圖形，

，且?????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

又，解得：??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

這條拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式是．?????????????????????????????????? 12分

解法3：（3），，

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

軸，??????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

即：．

解得：，即????????????????????????????????????????????????????? 10分

由，．

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

這條拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式?????????????????????????????????????????? 12分

15.（2008佛山） 如圖，某隧道橫截面的上下輪廓線分別由拋物線對稱的一部分和矩形的一部分構(gòu)成，最大高度為6米，底部寬度為12米. 現(xiàn)以O(shè)點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.

(1) 直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標(biāo)；

(2) 求出這條拋物線的函數(shù)解析式；

(3) 若要搭建一個矩形“支撐架”AD- DC- CB，使C、D點在拋物線上，A、B點在地面OM上，則這個“支撐架”總長的最大值是多少？

解：(1) M(12，0)，P(6，6). ………………………………………………………………………………………2分

(2) 設(shè)此函數(shù)關(guān)系式為：.  ………………………………………………………3分

∵函數(shù)經(jīng)過點(0，3)，

∴，即. ………………4分

∴此函數(shù)解析式為：

.………5分

(3) 設(shè)A(m，0)，則

B(12-m，0)，C，D . …………7分

∴“支撐架”總長AD+DC+CB =

= .  …………………………………………………………………………………………………9分

    ∵ 此二次函數(shù)的圖象開口向下.

∴ 當(dāng)m = 0時，AD+DC+CB有最大值為18.  …………………………………………………10分

16.08江蘇鹽城）如圖，直線經(jīng)過點，且與軸交于點，將拋物線沿軸作左右平移，記平移后的拋物線為，其頂點為．

（1）求的度數(shù)；

（2）拋物線與軸交于點，與直線交于兩點，其中一個交點為，當(dāng)線段軸時，求平移后的拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在拋物線平移過程中，將沿直線翻折得到，點能否落在拋物線上？如能，求出此時拋物線頂點的坐標(biāo)；如不能，說明理由．

解：(1)∵點B在直線AB上,求得b=3,

∴直線AB：,  

∴A（，0），即OA=．

作BH⊥x軸，垂足為H．則BH=2，OH=，AH=．

∴ ．　

(2)設(shè)拋物線C頂點P（t，0），則拋物線C：，　

∴E（0，）

∵EF∥x軸，∴點E、F關(guān)于拋物線C的對稱軸對稱, ∴F（2t，）．

∵點F在直線AB上, 

∴拋物線C為. 

 (3)假設(shè)點D落在拋物線C上，

不妨設(shè)此時拋物線頂點P(t，0)，則拋物線C:，AP=+ t，

連接DP，作DM⊥x軸，垂足為M．由已知，得△PAB≌△DAB，

又∠BAO＝30°，∴△PAD為等邊三角形．PM=AM＝，

∴

∵點D落在拋物線C上，

∴

當(dāng)時，此時點P，點P與點A重合，不能構(gòu)成三角形，不符合題意，舍去．所以點P為（，0）

∴當(dāng)點D落在拋物線C上頂點P為（，0）.　　　

17.(2008年鎮(zhèn)江)推理運算

二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，．

（1）求此二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）求此二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)；

（3）填空：把二次函數(shù)的圖象沿坐標(biāo)軸方向最少平移          個單位，使得該圖象的頂點在原點．

解：（1）設(shè)，?????????????????? （1分）

把點，代入得???????????? （2分）

解方程組得  ．????????????? （3分）

（也可設(shè)）

（2）．???????????????? （4分）

函數(shù)的頂點坐標(biāo)為．?????????????????? （5分）

（3）5     

18.（2008泰州市）已知二次函數(shù)y₁=ax²＋bx＋c（a≠0）的圖像經(jīng)過三點（1，0），（－3，0），（0，－）．

（1）求二次函數(shù)的解析式，并在給定的直角坐標(biāo)系中作出這個函數(shù)的圖像；（5分）

（2）若反比例函數(shù)y₂=（x＞0）的圖像與二次函數(shù)y₁=ax²＋bx＋c（a≠0）的圖像在第一象限內(nèi)交于點A(x₀，y₀)，x₀落在兩個相鄰的正整數(shù)之間，請你觀察圖像，寫出這兩個相鄰的正整數(shù)；（4分）

（3）若反比例函數(shù)y₂=（x＞0，k＞0）的圖像與二次函數(shù)y₁=ax²＋bx＋c（a≠0）的圖像在第一象限內(nèi)的交點A，點A的橫坐標(biāo)x₀滿足2＜x₀＜3，試求實數(shù)k的取值范圍．（5分）

解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)(x+3)…………………………1分

（只要設(shè)出解析式正確，不管是什么形式給1分）

將（0，―）代入，解得a=.

∴拋物線解析式為y=x²+x- …………………………………3分

（無論解析式是什么形式只要正確都得分）

畫圖（略）。（沒有列表不扣分）…………………………………5分

（2）正確的畫出反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像……………7分

由圖像可知，交點的橫坐標(biāo)x₀ 落在1和2之間，從而得出這兩個相鄰的正整數(shù)為1與2�！�………………………………………………9分

（3）由函數(shù)圖像或函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)2＜x＜3時，

對y₁=x²+x-, y₁隨著x增大而增大，對y₂= （k＞0），

y₂隨著X的增大而減小。因為A（X₀，Y₀）為二次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像的交點，所心當(dāng)X₀=2時，由反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)上方得y₂＞y_1，

即＞×2²+2-，解得K＞5�！�………………………………11分

同理，當(dāng)X₀₌3時，由二次函數(shù)數(shù)圖象在反比例上方得y₁＞y₂，

即×3²+3―＞，解得K＜18。…………………………………13

所以K的取值范圍為5 ＜K＜18………………………………………14分

19. （2008江蘇鹽城）

如圖，直線經(jīng)過點，且與軸交于點，將拋物線沿軸作左右平移，記平移后的拋物線為，其頂點為．

（1）求的度數(shù)；

（2）拋物線與軸交于點，與直線交于兩點，其中一個交點為，當(dāng)線段軸時，求平移后的拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在拋物線平移過程中，將沿直線翻折得到，點能否落在拋物線上？如能，求出此時拋物線頂點的坐標(biāo)；如不能，說明理由．

解：(1)∵點B在直線AB上,求得b=3,

∴直線AB：,  

∴A（，0），即OA=．

作BH⊥x軸，垂足為H．則BH=2，OH=，AH=．

∴ ．　

(2)設(shè)拋物線C頂點P（t，0），則拋物線C：，　

∴E（0，）

∵EF∥x軸，∴點E、F關(guān)于拋物線C的對稱軸對稱, ∴F（2t，）．

∵點F在直線AB上, 

∴拋物線C為. 

 (3)假設(shè)點D落在拋物線C上，

不妨設(shè)此時拋物線頂點P(t，0)，則拋物線C:，AP=+ t，

連接DP，作DM⊥x軸，垂足為M．由已知，得△PAB≌△DAB，

又∠BAO＝30°，∴△PAD為等邊三角形．PM=AM＝，

∴

∵點D落在拋物線C上，

∴

當(dāng)時，此時點P，點P與點A重合，不能構(gòu)成三角形，不符合題意，舍去．所以點P為（，0）

∴當(dāng)點D落在拋物線C上頂點P為（，0）.　　　

20.（2008年慶陽市）一條拋物線經(jīng)過點與．

（1）求這條拋物線的解析式，并寫出它的頂點坐標(biāo)；

（2）現(xiàn)有一半徑為1、圓心在拋物線上運動的動圓，當(dāng)與坐標(biāo)軸相切時，求圓心的坐標(biāo)；

（3）能與兩坐標(biāo)軸都相切嗎？如果不能，試通過上下平移拋物線使與兩坐標(biāo)軸都相切（要說明平移方法）．

解：（1）∵ 拋物線過兩點，

∴      

解得      

　　∴ 拋物線的解析式是，頂點坐標(biāo)為． 

　　（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，

　　當(dāng)與軸相切時，有，∴．   

由，得；

由，得．

　　此時，點的坐標(biāo)為．        

　　當(dāng)與軸相切時，有，∴ ．      

　　由，得，解得；

　　由，得，解得．

此時，點的坐標(biāo)為，．  

綜上所述，圓心的坐標(biāo)為：，，．

注：不寫最后一步不扣分．

（3） 由（2）知，不能．      

設(shè)拋物線上下平移后的解析式為,

若能與兩坐標(biāo)軸都相切，則,

即x₀=y₀=1；或x₀=y₀=-1；或x₀=1，y₀=-1；或x₀=-1，y₀=1．    

取x₀=y₀=1，代入，得h=1．

∴ 只需將向上平移1個單位，就可使與兩坐標(biāo)軸都相切．

21.（2008年陜西省）如圖，矩形的長、寬分別為和1，且，點，連接．

（1）求經(jīng)過三點的拋物線的表達(dá)式；

（2）若以原點為位似中心，將五邊形放大，使放大后的五邊形的邊長是原五邊形對應(yīng)邊長的3倍．請在下圖網(wǎng)格中畫出放大后的五邊形；

（3）經(jīng)過三點的拋物線能否由（1）中的拋物線平移得到？請說明理由．

解：（1）設(shè)經(jīng)過三點的拋物線的表達(dá)式為．

．

，

解之，得．

過三點的拋物線的表達(dá)式為．

（3）不能．理由如下：

設(shè)經(jīng)過三點的拋物線的表達(dá)式為．

，

，解之，得．

，，．

經(jīng)過三點的拋物線不能由（1）中拋物線平移得到．   （

22. （2008上海市）如圖12，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點．二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，頂點為．

（1）求這個二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點的坐標(biāo)；

（2）如果點的坐標(biāo)為，，垂足為點，點在直線上，，求點的坐標(biāo)．

解：（1）二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，

，得，??????????????????? （2分）

所求二次函數(shù)的解析式為．???????????? （1分）

則這個二次函數(shù)圖像頂點的坐標(biāo)為；???????????? （2分）

（2）過點作軸，垂足為點．在中，，，，

．在中，，又，

可得．．??????????????????? （2分）

過點作軸，垂足為點．由題意知，點在點的右側(cè)，

易證．．

其中，．設(shè)點的坐標(biāo)為，則，，

①若點在的延長線上，則．

得，，，所以點的坐標(biāo)為；

②若點在線段上，則．

得，，，所以點的坐標(biāo)為．

綜上所述，點的坐標(biāo)為或．????????????? （5分）

23. (2008湖南株洲)如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（1，-2），點B的坐標(biāo)為（3，-1），二次函數(shù)的圖象為.

（1）平移拋物線，使平移后的拋物線過點A，但不過點B，寫出平移后的拋物線的一個解析式（任寫一個即可）.

（2）平移拋物線，使平移后的拋物線過A、B兩點，記拋物線為，如圖（2），求拋物線的函數(shù)解析式及頂點C的坐標(biāo).

（3）設(shè)P為y軸上一點，且，求點P的坐標(biāo).

（4）請在圖（2）上用尺規(guī)作圖的方式探究拋物線上是否存在點Q，使為等腰三角形. 若存在，請判斷點Q共有幾個可能的位置（保留作圖痕跡）；若不存在，請說明理由.

解:（1）等 （滿足條件即可）                  

（2）設(shè)的解析式為，聯(lián)立方程組，

解得：，則的解析式為，                

點C的坐標(biāo)為（）                                            

（3）如答圖23-1，過點A、B、C三點分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，則，，，，，.

得：.                         

延長BA交y軸于點G，直線AB的解析式為，則點G的坐標(biāo)為（0，），設(shè)點P的坐標(biāo)為（0，）

①當(dāng)點P位于點G的下方時，，連結(jié)AP、BP，則，又，得，點P的坐標(biāo)為（0，）.              …… 6分

②當(dāng)點P位于點G的上方時，，同理，點P的坐標(biāo)為（0，）.

綜上所述所求點P的坐標(biāo)為（0，）或（0，）                  

(4) 作圖痕跡如答圖23-2所示.

由圖可知，滿足條件的點有、、、，共4個可能的位置.    

24.（2008年江蘇省無錫市）已知拋物線與它的對稱軸相交于點，與軸交于，與軸正半軸交于．

（1）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)直線交軸于是線段上一動點（點異于），過作軸交直線于，過作軸于，求當(dāng)四邊形的面積等于時點的坐標(biāo)．

解：（1）由題意，知點是拋物線的頂點，

???????????????????????? （2分）

，，拋物線的函數(shù)關(guān)系式為．????? （3分）

（2）由（1）知，點的坐標(biāo)是．設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為，

則，，

由，得，，點的坐標(biāo)是．

設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式是，

則解得，．

直線的函數(shù)關(guān)系式是．

設(shè)點坐標(biāo)為，則．

軸，點的縱坐標(biāo)也是．

設(shè)點坐標(biāo)為，

點在直線上，，．

 軸，點的坐標(biāo)為，

，，，

，

 ，，，當(dāng)時，，

而，，

點坐標(biāo)為和． （9分）

25. （2008  四川  瀘州）如圖11，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過三點A，B，C，它的頂點為M，又正比例函數(shù)的圖像于二次函數(shù)相交于兩點D、E，且P是線段DE的中點。

⑴求該二次函數(shù)的解析式，并求函數(shù)頂點M的坐標(biāo)；

⑵已知點E，且二次函數(shù)的函數(shù)值大于正比例函數(shù)時，試根據(jù)函數(shù)圖像求出符合條件的自變量的取值范圍；

⑶當(dāng)時，求四邊形PCMB的面積的最小值。

【參考公式：已知兩點，，則線段DE的中點坐標(biāo)為】

解：（1）由，則得

，解得

故函數(shù)解析式是：。

由知，

點M（1，4）。

（2）由點E在正比例函數(shù)的圖像上得，

，故，

由解得D點坐標(biāo)為（），

由圖象可知，當(dāng)二次函數(shù)的函數(shù)值大于正比例函數(shù)時，自變量的取值范圍是。

（3）

解得，點D、E坐標(biāo)為D（）、

E（），

則點P坐標(biāo)為P（）由，知點P在第一象限。

由點B，C，M（1，4），得

，

則

整理，配方得

。

故當(dāng)時，四邊形PCMB的面積值最小，最小值是。

26. (2008  湖北  荊門)已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點A在x軸上，與y軸的交點為B（0，1），且b=－4ac．

 (1) 求拋物線的解析式；

(2) 在拋物線上是否存在一點C，使以BC為直徑的圓經(jīng)過拋物線的頂點A？若不存在說明理由；若存在，求出點C的坐標(biāo)，并求出此時圓的圓心點P的坐標(biāo)；

(3) 根據(jù)(2)小題的結(jié)論，你發(fā)現(xiàn)B、P、C三點的橫坐標(biāo)之間、縱坐標(biāo)之間分別有何關(guān)系?

解：(1)由拋物線過B(0,1) 得c=1．

        又b=-4ac,  頂點A(-,0),

        ∴-==2c=2．∴A(2,0)．    

        將A點坐標(biāo)代入拋物線解析式，得4a+2b+1=0 ，     

 ∴ 　解得a =,b =-1.

        故拋物線的解析式為y=x²-x+1．   

       另解: 由拋物線過B(0,1) 得c=1．又b²-4ac=0,  b=-4ac，∴b=-1． 

        ∴a=,故y=x-x+1．         

   (2)假設(shè)符合題意的點C存在，其坐標(biāo)為C(x，y),   　　　　　　　　　　　　

     作CD⊥x軸于D ,連接AB、AC．

　　∵A在以BC為直徑的圓上,∴∠BAC=90°．

    ∴ △AOB∽△CDA．

    ∴OB?CD=OA?AD．

     即1?y=2(x-2)， ∴y=2x-4． 　

    由　

解得x₁=10,x₂=2．

∴符合題意的點C存在，且坐標(biāo)為 (10,16)，或(2,0)．

       ∵P為圓心，∴P為BC中點．

     　 當(dāng)點C坐標(biāo)為 (10,16)時，取OD中點P₁ ，連PP₁ ,　則PP₁為梯形OBCD中位線．

∴PP₁=(OB+CD)=．∵D (10,0),　∴P₁ (5,0),　∴P (5, )．  

        當(dāng)點C坐標(biāo)為 (2,0)時, 取OA中點P₂ ，連PP₂ ,　則PP₂為△OAB的中位線．

∴PP₂=OB=．∵A (2,0),　∴P₂(1,0), ∴P (1,)．　

故點P坐標(biāo)為(5, ),或(1,)．　　　　

(3)設(shè)B、P、C三點的坐標(biāo)為B(x₁,y₁),　P(x₂,y₂),　C(x₃,y₃)，由(2)可知：

27. (2008北京)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，點的坐標(biāo)為，將直線沿軸向上平移3個單位長度后恰好經(jīng)過兩點．

（1）求直線及拋物線的解析式；

（2）設(shè)拋物線的頂點為，點在拋物線的對稱軸上，且，求點的坐標(biāo)；

（3）連結(jié)，求與兩角和的度數(shù)

解：（1）沿軸向上平移3個單位長度后經(jīng)過軸上的點，．

設(shè)直線的解析式為．在直線上，

．解得．直線的解析式為．

拋物線過點，解得

拋物線的解析式為．

（2）由．可得．，，，．

可得是等腰直角三角形．，．

如圖1，設(shè)拋物線對稱軸與軸交于點，．

過點作于點．．

可得，．

在與中，，，

．，．解得．

點在拋物線的對稱軸上，點的坐標(biāo)為或．

（3）如圖2，作點關(guān)于軸的對稱點，則．

連結(jié)，可得，．

由勾股定理可得，．又，是等腰直角三角形，，

．．．

即與兩角和的度數(shù)為．

28.（2008 山東  臨沂）如圖，已知拋物線與x軸交于A（－1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）。

⑴求拋物線的解析式；

⑵設(shè)拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由;

⑶若點M是拋物線上一點，以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標(biāo)。

解：⑴∵拋物線與y軸交于點C（0，3），

∴設(shè)拋物線解析式為

根據(jù)題意，得，解得

∴拋物線的解析式為

⑵存在。

由得，D點坐標(biāo)為（1，4），對稱軸為x＝1。

①若以CD為底邊，則PD＝PC，設(shè)P點坐標(biāo)為(x,y)，根據(jù)勾股定理，

得，即y＝4－x。

又P點(x,y)在拋物線上，∴，即

解得，，應(yīng)舍去。∴。

∴，即點P坐標(biāo)為。

②若以CD為一腰，因為點P在對稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P與點C關(guān)于直線x＝1對稱，此時點P坐標(biāo)為（2，3）。

∴符合條件的點P坐標(biāo)為或（2，3）。

⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根據(jù)勾股定理,

得CB＝,CD＝,BD＝,

∴,

∴∠BCD＝90°,

設(shè)對稱軸交x軸于點E，過C作CM⊥DE，交拋物線于點M，垂足為F，在Rt△DCF中，

∵CF＝DF＝1,

∴∠CDF＝45°,

由拋物線對稱性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,點坐標(biāo)M為（2，3），

∴DM∥BC,

∴四邊形BCDM為直角梯形,

由∠BCD＝90°及題意可知，

以BC為一底時，頂點M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況;

以CD為一底或以BD為一底，且頂點M在拋物線上的直角梯形均不存在。

綜上所述，符合條件的點M的坐標(biāo)為（2，3）。……

29. （2008年大連）如圖10，直線和拋物線都經(jīng)過點A(1，0)，B(3，2)．

⑴求m的值和拋物線的解析式；

⑵求不等式的解集(直接寫出答案)．

30. （2008年赤峰）在平面直角坐標(biāo)系中給定以下五個點．

（1）請從五點中任選三點，求一條以平行于軸的直線為對稱軸的拋物線的解析式；

（2）求該拋物線的頂點坐標(biāo)和對稱軸，并畫出草圖；

（3）已知點在拋物線的對稱軸上，直線過點且垂直于對稱軸．驗證：以為圓心，為半徑的圓與直線相切．請你進(jìn)一步驗證，以拋物線上的點為圓心為半徑的圓也與直線相切．由此你能猜想到怎樣的結(jié)論．

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，

且過點，

由在H ．

則．??????????????????????????? （2分）

得方程組，

解得．

拋物線的解析式為???? （4分）

（2）由??? （6分）

得頂點坐標(biāo)為，對稱軸為．?? （8分）

（3）①連結(jié)，過點作直線的垂線，垂足為，

則．

在中，，，

，

，

以點為圓心，為半徑的與直線相切．?????? （10分）

②連結(jié)過點作直線的垂線，垂足為．過點作垂足為，

則．

在中，，．

．

以點為圓心為半徑的與直線相切．??????? （12分）

③以拋物線上任意一點為圓心，以為半徑的圓與直線相切． （14分）

說明：解答題只提供了一種答案，如有其他解法只要正確，可參照本評分標(biāo)準(zhǔn)按步驟賦分

31.（2008年福建南平）如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一矩形紙片，為原點，點分別在軸，軸上，點坐標(biāo)為（其中），在邊上選取適當(dāng)?shù)狞c和點，將沿翻折，得到；再將沿翻折，恰好使點與點重合，得到，且．

（1）求的值；

（2）求過點的拋物線的解析式和對稱軸；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使得是等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，直接答出所有滿足條件的點的坐標(biāo)（不要求寫出求解過程）．

【提示：拋物線的對稱軸是，頂點坐標(biāo)是】

（1）解法一：，

由題意可知，，?????????? 2分

，????????????????? 3分

．又，?????????????????? 4分

解法二：，

由題意可知，，?????????? 2分

，???????????????? 3分

?????????????????? 4分

（2）解法一：過作直線軸于，

則，，故．??????????????????? 5分

又由（1）知，

設(shè)過三點的拋物線解析式為

拋物線過原點，．????????? 6分

又拋物線過兩點，  解得

所求拋物線為????????????????????? 8分

它的對稱軸為．???????????????????????? 9分

解法二：過作直線軸于，

則，，故．??????????????????? 5分

又由（1）知，點關(guān)于直線對稱，點為拋物線的頂點? 6分

于是可設(shè)過三點的拋物線解析式為

拋物線過點，，解得

所求拋物線為?????????????? 8分

它的對稱軸為．???????????????????????? 9分

（3）答：存在?????????????????????????? 10分

滿足條件的點有，，，．（每空1分）? 14分

32.(2008年廣東梅州市)如圖11所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直線為軸，過D且垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．

（1）求∠DAB的度數(shù)及A、D、C三點的坐標(biāo)；

（2）求過A、D、C三點的拋物線的解析式及其對稱軸L．

（3）若P是拋物線的對稱軸L上的點，那么使PDB為等腰三角形的點P有幾個?（不必求點P的坐標(biāo)，只需說明理由）

解： （1） DC∥AB，AD=DC=CB，  ∠CDB=∠CBD=∠DBA，?????? 0.5分

     ∠DAB=∠CBA， ∠DAB=2∠DBA， ?? 1分

∠DAB+∠DBA=90， ∠DAB=60， 1.5分

  ∠DBA=30，AB=4， DC=AD=2，   2分

RtAOD，OA=1，OD=，??????????????????? 2.5分

A（-1，0），D（0， ），C（2， ）．         4分

（2）根據(jù)拋物線和等腰梯形的對稱性知，滿足條件的拋物線必過點A（－1，0），B（3，0），

故可設(shè)所求為  = （+1）（ -3） ???????????????????????????????????????????????????? 6分

將點D（0， ）的坐標(biāo)代入上式得， =．

所求拋物線的解析式為  =    ????????????????????????????????? 7分

其對稱軸L為直線=1．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（3） PDB為等腰三角形，有以下三種情況：

①因直線L與DB不平行，DB的垂直平分線與L僅有一個交點P₁，P₁D=P₁B，

P₁DB為等腰三角形；  ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

②因為以D為圓心，DB為半徑的圓與直線L有兩個交點P₂、P₃，DB=DP₂，DB=DP₃， P₂DB， P₃DB為等腰三角形；

③與②同理，L上也有兩個點P₄、P₅，使得 BD=BP₄，BD=BP₅．  ?????? 10分

由于以上各點互不重合，所以在直線L上，使PDB為等腰三角形的點P有5個．

33.（08海南）如圖13，已知拋物線經(jīng)過原點O和x軸上另一點A,它的對稱軸x=2 與x軸交于點C，直線y=-2x-1經(jīng)過拋物線上一點B(-2,m)，且與y軸、直線x=2分別交于點D、E.

（1）求m的值及該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求證：① CB=CE ；② D是BE的中點；

（3）若P(x，y)是該拋物線上的一個動點，是否存在這樣的點P,使得PB=PE,若存在，試求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由

解：（1）∵ 點B(-2,m)在直線y=-2x-1上，

∴ m=-2×(-2)-1=3.                    ………………………………（2分）

∴ B(-2,3)

∵ 拋物線經(jīng)過原點O和點A，對稱軸為x=2，

∴ 點A的坐標(biāo)為(4,0) .              

設(shè)所求的拋物線對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為y=a(x-0)(x-4).  ……………………（3分）

將點B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .

∴ 所求的拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，即. （6分）

   （2）①直線y=-2x-1與y軸、直線x=2的交點坐標(biāo)分別為D(0,-1) E(2,-5).

          過點B作BG∥x軸，與y軸交于F、直線x=2交于G，

          則BG⊥直線x=2，BG=4.

     在Rt△BGC中，BC=.

∵ CE=5，

∴ CB=CE=5.  ……………………（9分）

②過點E作EH∥x軸，交y軸于H，

則點H的坐標(biāo)為H(0,-5).

又點F、D的坐標(biāo)為F(0,3)、D(0,-1)，

∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.

          ∴ △DFB≌△DHE （SAS），

∴ BD=DE.

即D是BE的中點.                   ………………………………（11分）

（3）  存在.                               ………………………………（12分）

          由于PB=PE，∴ 點P在直線CD上，

∴ 符合條件的點P是直線CD與該拋物線的交點.

          設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b.

          將D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得  .

          ∴ 直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x-1.

∵ 動點P的坐標(biāo)為(x，)，

∴ x-1=.                    ………………………………（13分）

解得 ，.    ∴ ，.

∴ 符合條件的點P的坐標(biāo)為(，)或(，).…（14分）

(注：用其它方法求解參照以上標(biāo)準(zhǔn)給分.)