如圖，正方形ABCO的邊長(zhǎng)為，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，把正方形ABCO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α后得到正方形A₁B₁C₁O（α＜45°），B₁C₁交y軸于點(diǎn)D，且D為B₁C₁的中點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A₁、B₁、C₁．
（1）填空：tanα=______；拋物線的函數(shù)表達(dá)式是______；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PB₁C₁為直角三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若正方形A₁B₁C₁O以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線A₁O下滑，直至頂點(diǎn)B₁落在x軸上時(shí)停止．設(shè)正方形落在x軸上方部分的面積為S，求S關(guān)于滑行時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍．

在數(shù)學(xué)中玩，在玩中學(xué)數(shù)學(xué)
1：某車間2005年的產(chǎn)值為a萬元，以后每年產(chǎn)值均比上一年增長(zhǎng)x%．
（1）用代數(shù)式表示2006年和2007年的產(chǎn)值；
（2）當(dāng)a=100，x=10，求2007年的產(chǎn)值．
2：如圖，點(diǎn)C在線段AB上，AC=8cm，CB=6 cm，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)．
（1）求線段MN的長(zhǎng)；
（2）若C為線段AB上任一點(diǎn)，滿足AC+CB=acm，其它條件不變，你能猜想MN的長(zhǎng)度嗎？并說明理由．你能用一句簡(jiǎn)潔的話描述你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？

3：第一行的圖形繞虛線轉(zhuǎn)一周，能形成第二行的某個(gè)幾何體，按要求填空．
圖1旋轉(zhuǎn)形成，圖2旋轉(zhuǎn)形成，圖3旋轉(zhuǎn)形成，圖4旋轉(zhuǎn)形成，圖5旋轉(zhuǎn)形成，圖6旋轉(zhuǎn)形成．
4：如圖，正方形ABCD內(nèi)部有若干個(gè)點(diǎn)，用這些點(diǎn)以及正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重疊）：

（1）填寫下表：

正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)	1	2	3	4	…	n
分割成的三角形的個(gè)數(shù)	4	6			…

（2）原正方形能否被分割成2004個(gè)三角形？若能，求此時(shí)正方形ABCD內(nèi)部有多少個(gè)點(diǎn)；若不能，請(qǐng)說明理由．