1．試卷總體評價(jià)            2． 試卷結(jié)構(gòu)評價(jià)

3．答卷總體評價(jià)            4．各種題型得分情況

5．各種知識(shí)點(diǎn)得分情況

1．函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

2．?dāng)?shù)列

3．不等式

4．向量與三角函數(shù)

5．立體幾何

6．解析幾何

7．概率統(tǒng)計(jì)

四、對高三數(shù)學(xué)最后階段復(fù)習(xí)的幾點(diǎn)建議

2009年河南省高考數(shù)學(xué)備考講座

1． 試卷總體評價(jià)

2007年高考數(shù)學(xué)試題有效貫徹實(shí)施了“在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)。注重對數(shù)學(xué)思想方法的考查，注重對數(shù)學(xué)能力的考查”的命題指導(dǎo)思想。試題涉及知識(shí)點(diǎn)的覆蓋面廣、起點(diǎn)低、坡度緩，充分重視到難度適中，能區(qū)分出不同考生對基本概念掌握的層次或效果不同，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)，倡導(dǎo)理性思維，體現(xiàn)創(chuàng)新意識(shí)的考查。有利于引導(dǎo)教師的教和學(xué)生的學(xué)，較好地考查了考生的學(xué)習(xí)水準(zhǔn)，符合高等院校對人才選拔的需求。起到了服務(wù)人民,安定人心,創(chuàng)建和諧社會(huì)的良好作用。

■強(qiáng)調(diào)對基礎(chǔ)知識(shí)的掌握、突出運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力

整套試卷遵照高考考試大綱和考試大綱說明的要求，從題型設(shè)置、考察知識(shí)的范圍和運(yùn)算量,書寫量等方面保持相對穩(wěn)定，體現(xiàn)了考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算方法和基本數(shù)學(xué)思想方法的特點(diǎn).同時(shí),也注重了知識(shí)之間內(nèi)在的聯(lián)系與綜合，在知識(shí)的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題的原則。

■選擇題主要考查了數(shù)學(xué)的基本概念、基本知識(shí)和基本的計(jì)算、解題方法

整套試卷中好多選擇題都能在課本上找到影子，是課本題的變形和創(chuàng)新，考生第一眼就看到非常熟悉的課本同類題目，對于穩(wěn)定考生情緒，鼓舞答卷士氣具有強(qiáng)烈的推進(jìn)作用。這充分體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)試題“來源于課本”的命題原則，有很好的導(dǎo)向作用。一個(gè)亮點(diǎn)試題是文科選擇(12)(理科選擇(11))題，試題對學(xué)生的創(chuàng)新學(xué)習(xí)能力進(jìn)行了考核，一是對新穎的信息、情境和設(shè)問，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法，進(jìn)行獨(dú)立地思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題。充分體現(xiàn)出考查學(xué)生的動(dòng)手能力和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

文科選擇(12)(理科選擇(11))題

文（12）理（11）用長度分別為2、3、4、5、6（單位：）的5根細(xì)木棒圍成一個(gè)三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為(    )

（A）      （B）         （C）         （D）

文科22題是三次函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的綜合性比較高的題目，主要考查函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)以及導(dǎo)函數(shù)的概念和運(yùn)用，綜合考查利用所學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力以及運(yùn)算能力。要完全答對必須具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功和綜合分析問題解決問題的能力，是一道區(qū)分度很強(qiáng)的考題，體現(xiàn)了壓軸題的特點(diǎn)。理科21題也體現(xiàn)了這種特點(diǎn)。

文科22題    設(shè)a為實(shí)數(shù), 函數(shù)= －a+ ()x 在 (, 0 ) 和 ( 1, ) 都是增函數(shù),求a的取值范圍.

理科21題     已知函數(shù) .

(Ⅰ) 設(shè)a >0, 討論 y = f (x) 的單調(diào)性;

(Ⅱ) 若對任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范圍.

■題目表述簡潔明快，概率應(yīng)用題的背景公平、難度適中，有利于增強(qiáng)考生自信心

整套試卷涉及到新教材中向量、概率與統(tǒng)計(jì)、導(dǎo)數(shù)的考查力度繼續(xù)保持較高的比例。注重了考查考生的創(chuàng)新意識(shí)和動(dòng)手能力，體現(xiàn)自主學(xué)習(xí)和主動(dòng)探究精神。對傳統(tǒng)內(nèi)容的處理，刻意設(shè)計(jì)了新的考查形式，編擬了新的題型。開發(fā)了新的背景。試題切入容易、深入難，有利于區(qū)分考生，鼓勵(lì)考生多層次、多樣化的發(fā)展，貫徹了發(fā)展性課程評價(jià)的理念。

■試卷中檔難度的題目較多，考題入口寬但完全解對難

整套試卷考題入口寬但完全解對難,這一特點(diǎn)為考生提供了一個(gè)天高任鳥飛的競爭平臺(tái)。大多數(shù)考生做題時(shí)“上手”比較容易，都能寫上一些內(nèi)容，但考生的實(shí)際能力決定了能否繼續(xù)做下去。所以說答題易但答完整、拿滿分卻難。因此試卷還是呈現(xiàn)出一定的可信區(qū)分度。

■試題側(cè)重于具體形象，廣泛聯(lián)系實(shí)際，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)

整套試卷的題目做到起點(diǎn)低，難度分散，形象思維與抽象思維并重。新課程試卷則側(cè)重新增內(nèi)容與傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)應(yīng)用的融合，這樣的試卷布局體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試卷新的設(shè)計(jì)理念：尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實(shí)際，體現(xiàn)人文教育的精神。形成了考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,邏輯思維能力,靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題能力的有機(jī)結(jié)合。突出表現(xiàn)了對知識(shí)和能力考查的和諧性。

2． 試卷結(jié)構(gòu)評價(jià)

①題型題量

試卷嚴(yán)格遵照高考考試大綱和考試大綱說明的要求，設(shè)置了12道選擇題,4道填空題,6道解答題。與去年的題型和試卷結(jié)構(gòu)完全一致。

②知識(shí)點(diǎn)分布與能力層次

理科共考查81個(gè)知識(shí)點(diǎn)，文科78個(gè)。

3． 答卷總體評價(jià)

根據(jù)對考生考試成績的抽樣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，2007年高考(河南)考生數(shù)學(xué)成績較去年好，文、理科數(shù)學(xué)平均成績比去年分別高出9.15分、15.3分. 但是文、理科數(shù)學(xué)平均成績的差距在增大.理科數(shù)學(xué)全卷的難度系數(shù)為0.59，較理想；文科數(shù)學(xué)為0.43，偏低.難度系數(shù)在0.7以上的題目稱為容易題，在0.3-0.7之間的稱為中等題，在0.3以下的稱為難題. 2007年數(shù)學(xué)試卷易、中、難三類題目賦分的比例約為：理科數(shù)學(xué)4┱4┱2；文科數(shù)學(xué)1┱6┱3，容易題偏少.

一般認(rèn)為，區(qū)分度在0.30以下的題目對于考生的區(qū)分選拔作用不強(qiáng). 2007年數(shù)學(xué)試卷大多數(shù)題目的區(qū)分度良好，理科數(shù)學(xué)、文科數(shù)學(xué)各僅有1題區(qū)分度在0.30以下，都是選擇題.與往年相似，解答題的區(qū)分度普遍高于選擇題和填空題的.

4．各種題型得分情況

2007年高考數(shù)學(xué)試卷選擇題、填空題、解答題的得分率依然是由高到低，與往年相同， 但各題型的得分率都相應(yīng)比去年高.與2008年相比，除了文科數(shù)學(xué)選擇題的得分率增加幅度不大以外，各種題型的得分率增加幅度都較大.

5．各種知識(shí)點(diǎn)得分情況

我們把高考數(shù)學(xué)內(nèi)容基礎(chǔ)知識(shí)分成七部分，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，數(shù)列，不等式（含集合、復(fù)數(shù)），三角函數(shù)（含三角形），立體幾何，解析幾何（含平面向量），和概率（含排列組合、二項(xiàng)式定理）. 有的題目考查了多項(xiàng)知識(shí)，也是歸在一類里，例如文（8）理（6）題考查等比數(shù)列和三角形余弦定理，我們把它放在三角函數(shù)這一類里. 各部分的賦分值和題量見下表.

2007年高考數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)考查情況

知識(shí)點(diǎn)

文科

理科

題量分值

題量分值

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

3題23分

2題19分

數(shù)列

2題17分

2題17分

不等式

1題5分

2題10分

三角函數(shù)

4題27分

5題31分

立體幾何

3題21分

3題21分

解析幾何

6題36分

5題31分

概率

3題21分

3題21分

1．選擇題

文理科得分率（抽樣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)）較低的三個(gè)題為：

文科

理科

題號(hào)

7

11

12

8

11

12

平均分

2.61

2.12

1.99

3.64

2.15

1.82

難度

0.52

0.42

0.4

0.73

0.43

0.36

文（7）從圓外一點(diǎn)向這個(gè)圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為(   )

（A）              （B）           （C）             （D）

[答題情況]答案：(B)

[考查意圖] 本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系以及直線夾角等基本知識(shí).

[錯(cuò)因分析] 圓的切線方程不會(huì)求或兩直線夾角公式記憶不清是出錯(cuò)的重要原因.

[解答提示] 解法一:圓的方程可化為其圓心為(1,1),半徑r=1.設(shè)切線的斜率為k,則切線方程為y-2=k(x-3),即kx-y+2-3k=0.由圓心到切線的距離等于半徑r得:

,解之得: k=0或.設(shè)兩切線的夾角為,則(注:本方法也可用判別式求斜率k.)

解法二:由圓的方程知圓心C(1,1),半徑r=1,設(shè)兩切線的夾角為,則應(yīng)選(B).

文（11）理（8）拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是(   )

（A）              （B）           （C）                （D）

[答題情況]答案：(A)

[考查意圖] 本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線距離公式等基本知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合和函數(shù)的思想與方法.

[錯(cuò)因分析] 幾何問題代數(shù)化的思想與方程不熟悉及解析幾何中數(shù)與形的結(jié)合不明確是出錯(cuò)的重要原因.

[解答提示] 法一：設(shè)拋物線上任一點(diǎn)坐標(biāo)為P(,-)，由點(diǎn)到直線的距離公式得P到直線的距離d()==，當(dāng)=時(shí)，d()取得最大值,故選(A).

法二：設(shè)拋物線上點(diǎn)P(,-)到直線4x+3y-8=0距離最小，則過P且與拋物線相切的直線與4x+3y-8=0平行，故y( )=-2 =-,∴=,∴P(,-),此時(shí)d==，故選(A).

法三：設(shè)直線方程為4x+3y+C=0則當(dāng)l與拋物線相切時(shí)l與4x+3y-8=0間的距離為所求最小，由得4x-3x+C=0，∴△=16+12C=0, ∴c=-,此時(shí)

d=，故選(A).

文（12）理（11）用長度分別為2、3、4、5、6（單位：）的5根細(xì)木棒圍成一個(gè)三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為(    )

（A）      （B）         （C）         （D）

[答題情況]答案：(B)

[考查意圖] 本題主要考查不等式的比較及對最值的估算能力，考查應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力.

[錯(cuò)因分析] 錯(cuò)誤地認(rèn)為邊長分別為的三角形面積最大而誤選A.

[解答提示] 解法一：由于周長一定的三角形的面積以正三角形面積最大，若允許折斷木棒，則周長為的三角形面積的最大值是，由于，故排除C,D.又當(dāng)三角形三邊分別為時(shí)，其面積為，故選B.

解法二：設(shè)三角形三邊長為a,b,c,則且，當(dāng)最�。ù藭r(shí)）時(shí)，其面積最小，列出所有情況不難發(fā)現(xiàn)邊長分別為使符合，計(jì)算其面積為.

理（12）設(shè)集合.選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有(    )

（A）        （B）              （C）            （D）

[答題情況]答案：(B)

[考查意圖] 本題主要考查兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理及集合子集等基本概念，考查分類討論思想和創(chuàng)新意識(shí).

[錯(cuò)因分析] 分類不徹底或分類重復(fù)是導(dǎo)致本題出錯(cuò)的重要原因.

[解答提示] 以A集合中元素最大數(shù)分別為分類，可得符合條件的不同選擇方法有種，故選B.

用類似方法可得，當(dāng)時(shí)，符合條件的不同選擇方法共有種.

2．填空題

文理科得分率（抽樣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)）較低的兩個(gè)題為：

文科

理科

題號(hào)

14

16

13

16

平均分

1.69

1.48

2.53

1.72

難度

0.42

0.37

0.63

0.43

文(14)理（13）已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，則側(cè)面與底面所成的二面角等于_______________.

[答題情況] 答案：

[考查意圖] 本題主要考查正四棱錐的基本概念和公式及二面角的求法，考查空間想象能力.

[錯(cuò)因分析] 把棱錐與棱柱的體積公式記混是本題出錯(cuò)的重要原因.

[解答提示] 設(shè)正四棱錐的底面邊長為a,高為h，則由題意得：

          解之得： 

故所求側(cè)面與底面所成的二面角的正切值為，即所求角為，應(yīng)填.

文（16）理(15) 安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________種.（用數(shù)字作答）

[答題情況] 答案： 2400

[考查意圖] 本題主要考查有限制條件的排列問題和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí).

[錯(cuò)因分析] 由于只注意“選”，不注重“排”，導(dǎo)致出現(xiàn)的錯(cuò)誤；由于利用排除法沒有把所有情況除去，出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤.

[解答提示] 解法一：從其中五人中人選兩人安排在5月1日和2日，其余五人（含甲，乙）安排在其余五天，共有種安排方法，應(yīng)填2400.

解法二：首先安排甲，乙兩人在5月3日至5月7日值班有種排法，其余五人安排在剩余五天，共有種排法，所以排法總數(shù)為種，應(yīng)填2400.

理(16) 設(shè)函數(shù).若是奇函數(shù)，則__________.

[答題情況] 答案：

[考查意圖] 本題主要考查三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及三角函數(shù)中有關(guān)公式和性質(zhì)等基本知識(shí).

[錯(cuò)因分析] 對三角有關(guān)公式記三角函數(shù)求導(dǎo)法則不熟悉是本題出錯(cuò)的重要原因.

[解答提示]

   解法一：

          ∴

 由題意為奇函數(shù)，對任意x，恒成立

，

即 恒成立，，又，故，應(yīng)填.

解法二：為奇函數(shù)，即，又.應(yīng)填.

3．解答題

文(17 )（本小題滿分12分）

已知是等比數(shù)列,=2, +=.求的通項(xiàng)公式.        

[抽樣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)]  平均分：6.61    難度：0.55

    本題屬于容易題, 區(qū)分度很好. 但仍有約24％的考生未得到分, 其中有人是將等比數(shù)列當(dāng)成了等差數(shù)列去求解. 得1～4分者約有11％. 能夠求解出首項(xiàng)及公比q的值, 得7～8分者約有12％. 得11分者所占比例最大為29％, 他們基本上都是因?yàn)槲磳⑼��?xiàng)公式化為規(guī)范的最簡形式而失掉1分. 得滿分的有19％.

    [考查意圖] 本題主要考查等比數(shù)列的基本知識(shí), 考查分析問題的能力和推理能力.

    [解答分析] 解答本題的關(guān)鍵是求出公比q. 途徑是利用已知條件列出關(guān)于q的關(guān)系式, 解出q, 從而寫出通項(xiàng)公式. 本題可由多種方式得到關(guān)于q的關(guān)系式.

    [錯(cuò)因分析] 解題中出現(xiàn)的失誤主要有:

    (1) 已經(jīng)正確求出公比q和首項(xiàng)的值, 但未注意將通項(xiàng)表達(dá)式寫成形如= 2×及= 2×的規(guī)范最簡形式. 如寫: =× , =18×或=×, = 54×等. 有將近30％的考生都出現(xiàn)這種問題.

    (2) 求解方程組失誤. 在解方程組

                或   時(shí),

只寫出了一組解. 實(shí)際上, 這兩個(gè)方程組都不是線性的, 它們有兩組解.

    (3) 能正確求出和q的兩組值, 但對應(yīng)關(guān)系搞錯(cuò), 如錯(cuò)將=與q =對應(yīng), 將=18與q = 3對應(yīng), 使得寫出的通項(xiàng)表達(dá)式也錯(cuò). 這可能是因?yàn)榫o張粗心所致, 甚為可惜.

    [復(fù)習(xí)提示] 數(shù)列內(nèi)容在高考中占有重要地位. 對于這部分內(nèi)容, 文科試卷側(cè)重于基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的考查, 以具體思維、演繹思維為主. 復(fù)習(xí)中應(yīng)注意熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念、基本公式和基本性質(zhì), 掌握研究數(shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的一些方法以及方程的思想等數(shù)學(xué)思想方法.

文(18)理(17) (本小題滿分12分)

    △ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C , 求當(dāng)A為何值時(shí), 取得最大值,并求出這個(gè)最大值.

    [抽樣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)]

題號(hào)

滿分

  平均分

   難度

  文(18)

    12

   4.24

   0.35

理(17)

    12

   9.17

   0.76

    本題對于文科考生是一道難題, 對于理科考生是一道容易題, 區(qū)分度都很好. 相比之下, 文科考生得分較分散, 分布呈現(xiàn)兩頭大中間小狀態(tài), 得零分的占40％, 得滿分的占31％. 僅寫出A、B、C三個(gè)角的關(guān)系得1~2 者占11％, 能正確運(yùn)用誘導(dǎo)公式得到3~4者占8％, 將題設(shè)函數(shù)化為半角正弦函數(shù)的表示式, 但未正確配平方得5~6分者占4%.

    理科考生得分多在5分以上, 達(dá)81%, 得滿分的就有65%, 只有7%的卷面為零分.

    [考查意圖] 本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和恒等變形的方法，考查推理和運(yùn)算能力.

    [解答分析]  首先應(yīng)設(shè)法將題設(shè)函數(shù)中的三角函數(shù)化為同一個(gè)角的三角函數(shù)式, 這可由題設(shè)A、B、C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系進(jìn)行; 然后根據(jù)得到的函數(shù)式設(shè)法求最大值, 這可用“換元”的思想實(shí)現(xiàn). 下面列出兩種解法.

    解法1  = = －2+  .

    當(dāng) =  , 即A = 時(shí), 取得最大值.

 這里得到1－2 + 2后, 可用二次函數(shù)求最值， 也可利用均值不等式來求最大值, 如:= 2 + 1 ≤2+ 1= .

    解法2  利用導(dǎo)數(shù)求最大值.

       [錯(cuò)因分析]

(1)    不會(huì)利用題設(shè)條件“△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C”進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化, 無法進(jìn)入計(jì)算.

(2)    基本運(yùn)算不熟練造成在寫出

                  =1－2 + 2

后, 配平方出錯(cuò). 如有的錯(cuò)為: －2+ ;

有的錯(cuò)為:－2+ , －2,…等等多種多樣的情形.

    (3) 記錯(cuò)三角公式, 記錯(cuò)特殊角的三角函數(shù). 如: 將 錯(cuò)寫為; 將= 錯(cuò)寫為 =; 在推出=后, 有的求不出A的值, 有的錯(cuò)為A =  或 A =  等.

    [復(fù)習(xí)提示] 三角函數(shù)的基本公式、圖象與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)等基本知識(shí)應(yīng)爛熟于心. 注意三角函數(shù)式的化簡訓(xùn)練. 三角函數(shù)式的變形化簡需首先根據(jù)要求確定化簡目標(biāo), 然后選擇適當(dāng)?shù)耐緩? 根據(jù)目標(biāo)進(jìn)行恒等變形轉(zhuǎn)化.

文(19) (本小題滿分12分)

    A、B 是治療同一種疾病的兩種藥, 用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對比試驗(yàn). 每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成, 其中2只服用A, 另2只服用B, 然后觀察療效. 若在一個(gè)試驗(yàn)組中, 服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多, 就稱該試驗(yàn)組為甲類組. 設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為 , 服用B有效的概率為.

    (Ⅰ) 求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率;

    (Ⅱ) 觀察3個(gè)試驗(yàn)組, 求這3個(gè)試驗(yàn)組中至少有一個(gè)甲類組的概率.

    [抽樣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)]

題號(hào)

滿分

  平均分

   難度

  文(19)

    12

   2.83

   0.24

    從答題情況看本題屬于難題, 未得分者有五成之多. 不過區(qū)分度很好. 不少的人對將問題化為用概率語言符號(hào)表示不熟練, 卷面上經(jīng)常見到一長串的數(shù)字算式, 沒有必要的語言敘述. 第(Ⅰ)問中, 不會(huì)將兩只小白鼠服用A(或B)視為2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn), 公式運(yùn)用不準(zhǔn)確錯(cuò)得結(jié)果5/18者較多, 這種情況一般得分在4~6分, 有約24%. 得分超過7分即第(Ⅰ)問答對者近16%. 完整解答本題的有11%.

    [考查意圖] 主要考查計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率, 包括互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、對立事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件有一個(gè)發(fā)生的概率以及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率, 同時(shí)考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

    [解答分析] 求解時(shí), 首先需仔細(xì)理解題意, 正確地將復(fù)雜事件分解為一些簡單事件的復(fù)合, 然后合理地列式計(jì)算.

    第(Ⅰ)問. 事件“一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組”(記為D)可分解為: 事件“服用A有效的小白鼠為1只且服用B有效的小白鼠為0只”(記為)、事件“服用A有效的小白鼠為2只且服用B有效的小白鼠為0只”(記為)、事件“服用A有效的小白鼠為2只且服用B有效的小白鼠為1只”(記為)之和, 而上述三事件又可分解為事件“服用A有效的小白鼠為i只”(記為)與事件“服用B有效的小白鼠為j只”(記為)之交, 其中i=1,2; 0≤j＜i. 而一個(gè)組內(nèi)兩只小白鼠服用A(或B)是否有效可視為2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).

    由于事件,,互斥, 事件,相互獨(dú)立, 根據(jù)乘法法則和加法法則便可得題目要求的概率.

    第(Ⅱ)問. 觀察3個(gè)實(shí)驗(yàn)組可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn), 由此可得解. 具體求解如下.

    (Ⅰ) 設(shè)表示事件“一個(gè)實(shí)驗(yàn)組中, 服用A有效的小白鼠有i只”, i=0,1,2,

          表示事件“一個(gè)實(shí)驗(yàn)組中, 服用B有效的小白鼠有j只”, j = 0,1,2 .

依題意有

              P() = ×× = , P() = ×× =  .

              P() = ×× = , P() = ×× =  .

    所求的概率為

              p = P(++)

                = P() + P() + P()

                = ×+×+×

                =  .

    這種算法可稱為直接法, 本題也可用間接法即通過計(jì)算“一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組”的對立事件的概率來求解, 但因情況較多, 較為復(fù)雜.

(Ⅱ) 事件“三個(gè)試驗(yàn)組中至少有一個(gè)甲類組”的對立事件為“三個(gè)試驗(yàn)組中恰好有0個(gè)甲類組”, 后一事件的概率為.

所以, 所求的概率為p = 1－= 1－=  .

    這里也可以用直接法來做, 但相比之下間接法較簡捷.

    [錯(cuò)因分析]

(1) 概念不清, 公式運(yùn)用不準(zhǔn)確造成失誤. 如計(jì)算事件“服用A有效的小白鼠為1只, 服用B有效的小白鼠為0只”的概率, 把式子列為 p = ×××= , 誤在丟掉了因子. 實(shí)際上, 因?yàn)橛?只小白鼠服用A, 所以“服用A有效的小白鼠有1只”的概率, 即為“2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中一事件恰好發(fā)生1次”的概率, 應(yīng)為×× .

(2) 未審清題目或未正確理解題意造成失誤. 如有的考生在解題中, 還考慮一個(gè)試驗(yàn)組中服用A有效的小白鼠為3只或4只的情況, 忽視了題設(shè)條件. 又如有的考生計(jì)算一個(gè)試驗(yàn)組中,服用A有效的小白鼠有2只的概率時(shí), 列式為p = ××, 誤解了題意, 而將一個(gè)試驗(yàn)組中, 服用A的2只小白鼠的所有可能選法都考慮了進(jìn)去. 根據(jù)題意, 一個(gè)試驗(yàn)組中, 斤2只小白鼠服用A, 另2只服用B, 觀察療效, 那么服用A有效的為2只就只有一種情況,

正確的表達(dá)式應(yīng)為 p =×× .

    (3) 邏輯關(guān)系不清楚造成失誤. 如將“最多有3個(gè)不是甲類組”當(dāng)成“3個(gè)試驗(yàn)組中至少有一個(gè)甲類組”的對立事件.

    另外, 數(shù)字運(yùn)算錯(cuò)誤, 求解中考慮情況不周全, 也是不少考生失分的原因.

    [復(fù)習(xí)提示] 概率的計(jì)算問題, 列出算式后的計(jì)算并不難, 重要地是如何列式進(jìn)行計(jì)算? 這就需要分清問題屬于哪種類型的概率問題? 使用什么公式列式? 需要正確地將復(fù)雜事件分解為簡單事件的復(fù)合.

理（18）（本小題滿分12分）

    A、B 是治療同一種疾病的兩種藥, 用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對比試驗(yàn). 每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成, 其中2只服用A, 另2只服用B, 然后觀察療效. 若在一個(gè)試驗(yàn)組中, 服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多, 就稱該試驗(yàn)組為甲類組. 設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為 , 服用B有效的概率為.

    (Ⅰ) 求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率;

    (Ⅱ) 觀察3個(gè)試驗(yàn)組, 用ξ表示這3個(gè)試驗(yàn)組中甲類組的個(gè)數(shù), 求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

[抽樣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)]

題號(hào)

滿分

  平均分

   難度

  理(18)

    12

   6.53

   0.54

本小題屬于中等題, 區(qū)分度很好 .答題情況兩極分化，得滿分者有28.2%，有一點(diǎn)疏忽得11分者有11.3%，反之得0分者約占13.7%, 會(huì)一些簡單的概率計(jì)算得1~4分者有約25.1%, 高分和低分都接近40%. 因在計(jì)算事件的概率時(shí)有錯(cuò)誤而得5~6分者有16.0%, 在計(jì)算分布列和數(shù)學(xué)期望時(shí)有錯(cuò)誤而得7~10分者有5.7%.

[考查意圖] 本小題主要考查相互獨(dú)立事件和互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的計(jì)算方法，考查隨機(jī)變量、數(shù)學(xué)期望等知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

[解答分析]  本小題第(Ⅰ) 問與文（19）題的一樣. 第(Ⅱ)問較簡單，是考查二項(xiàng)分布的基本題，參考解答如下：

解 (Ⅰ) 參見文（19）題.

(Ⅱ) ξ的可能值是0,1,2,3，且ξ服從二項(xiàng)分布（3, 4/9），

    P (ξ= 0) =,     P (ξ= 1) =； 

  P (ξ= 2) =；    P (ξ= 3) =.

ξ的分布列為               

ξ

0

1

2

3

p

數(shù)學(xué)期望Eξ=.

    注：數(shù)學(xué)期望也可以按照定義計(jì)算，但計(jì)算較繁瑣.

[錯(cuò)因分析] 第(Ⅰ) 問主要錯(cuò)在沒有分析清楚“一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組”這一事件的構(gòu)成，即沒有分析清楚哪幾種情況下一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組. 有些考生是理解錯(cuò)了題意，更多的考生是運(yùn)用概率知識(shí)分析問題解決問題的能力不足，錯(cuò)法五花八門. 參見文（19）題.

在做對第(Ⅰ) 問的情況下，第(Ⅱ)問主要是計(jì)算錯(cuò)誤，粗心大意、不注意化簡都容易出錯(cuò). 不及時(shí)化簡的話，等到數(shù)字大了，就不容易化簡了. 有些考生計(jì)算的最終結(jié)果是一個(gè)很大的分?jǐn)?shù)，盡管數(shù)字是正確的，但沒有化簡也是不符合要求的. 也有一些考生把ξ的分布列算反了,把0個(gè)甲類組的概率算成了3個(gè)甲類組的概率, 1個(gè)甲類組的概率算成2個(gè)甲類組的概率等. 

[復(fù)習(xí)提示] 概率題一般不需要技巧或靈活性，關(guān)鍵是掌握好基本知識(shí)，做練習(xí)題時(shí)注意分析清楚題意，增強(qiáng)理解能力和計(jì)算能力.

文（20）理（19）（本小題滿分12分）

如圖，、是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段.點(diǎn)A、B在上，C在上， .

（Ⅰ）證明AC⊥NB；

（Ⅱ）若，求NB與平面ABC所成角的余弦值

[抽樣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)]

題號(hào)

滿分

  平均分

   難度

  理(19)

    12

   6.5

   0.54

文(20)

12

2.47

0.21

本小題是文理科卷都有的一道題，對文理科學(xué)生的區(qū)分度都很好，但難度明顯不同，對于文科學(xué)生是難題，對理科則是中等題．本小題比去年的立體幾何題得分率稍低. 各分?jǐn)?shù)段的考生比例見下表. 做出了第(Ⅰ) 問，得分在6分及以上者文科約30%，理科約69%，其中得6~8分者較多是在第(Ⅱ)問找不到所求的線面角，這部分考生的比例也較高.

分?jǐn)?shù)段(分)     

0

1~2

3~5

6~8

9~11

12

考生比例(%)

理

14.1

10.3

6.6

32.5

17.2

19.3

文

46.9

17.0

6.0

17.8

5.5

6.7

[考查意圖]  本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關(guān)知識(shí)及思維能力和空間想象能力. 也可以考查應(yīng)用向量知識(shí)解決空間圖形問題的能力.

[解答分析]  ①幾何方法：第(Ⅰ) 問較容易，只用到線線垂直、線面垂直的基本知識(shí). 首先由題設(shè)條件可推出AN⊥BN，接下來就可以想到如果有l(wèi)₂⊥平面ABN，那么AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影，應(yīng)用三垂線定理得AC⊥NB.（應(yīng)用三垂線定理是證明直線垂直的常用方法之一，高考題中常見到.）第(Ⅱ)問的解答步驟是首先找出所求的線面角，再計(jì)算它的余弦值. 由線面角的定義，從N向平面ABC引垂線，就作出了這個(gè)線面角，關(guān)鍵是確定垂足的位置，這需要我們判斷四面體N-ABC的性質(zhì).（高考題中常有求二面角、線面角、線線角大小的問題，解答步驟都是找角、證明、計(jì)算，.有的題目要證明找到的角就是所求的角，有的題目如本題則要證明一些位置關(guān)系以便于計(jì)算，總之，證明是不可少的.）

②向量方法：首先是建立坐標(biāo)系、確定各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后計(jì)算. 對本小題來說，向量方法求解并不簡便.

參考解答如下：

解法一: (Ⅰ) 由已知MN⊥l₁ , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB.

又由已知l₂⊥MN, l₂⊥l₁ , MN∩l₁ =M, 可得l₂⊥平面ABN，

從而AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影. ∴AC⊥NB

（Ⅱ）∵  Rt△CNA≌Rt△CNB,

∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC為正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心，連結(jié)BH，∠NBH為NB與平面ABC所成的角.

在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .

解法二: 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系M-xyz. 令MN=1, 則有A(-1,0,0)，B(1,0,0)，N(0,1,0),

(Ⅰ) ∵MN是 l₁、l₂的公垂線, l₁⊥l₂,

∴ l₂⊥平面ABN. ∴ l₂平行于z軸.

故可設(shè)C(0,1,m)，于是 =(1,1,m), =(1,－1,0).

∵ ?=1+(－1)+0=0  ∴AC⊥NB.

(Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC為正三角形,AC=BC=AB=2.

在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).

連結(jié)MC，作NH⊥MC于H，設(shè)H(0,λ, λ) (λ>0).

∴=(0,1－λ,－λ), =(0,1, ). ? = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,

∴H(0, , ), 可得=(0,, － ), 連結(jié)BH，則=(－1,, ),

∵?=0+ － =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,

∠NBH為NB與平面ABC所成的角.又=(－1,1,0),

∴cos∠NBH= =  = .

    注：還可以分別以NA、NB、NC為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，但這需要先證明

l₂⊥平面ABN.

[錯(cuò)因分析] 缺少解答步驟：主要是在第(Ⅰ) 問中不證明l₂⊥平面ABN，在第(Ⅱ)問中不證明△ABC為正三角形或NC=NA=NB，或不證明∠NBH是所求的線面角，而是默認(rèn)它們成立.

不按照題意回答問題：算出∠NBH的大�。ㄓ梅慈�角函數(shù)表示），但不算它的余弦值.

線面角的概念不清楚：例如說“∠NBH或其補(bǔ)角是所求的線面角”.

找不到所求的線面角，或是按照定義作出了∠NBH，但是找不到H的位置，因而無法計(jì)算∠NBH的余弦值.

找錯(cuò)所求的線面角：例如把平面ABC的法向量與NB的夾角，說所求的線面角是∠NMC，是∠NBC，是∠MNB，是∠DBN（D為BC中點(diǎn)），是∠DME （D為BC中點(diǎn)，E為BN中點(diǎn)），等等.

計(jì)算錯(cuò)誤：向量內(nèi)積算錯(cuò)，列式運(yùn)算錯(cuò)，線段長度看錯(cuò)等.

空間想象能力弱：如說“過B作BE∥AC交l₂于E”，其實(shí)這是不可能相交的.

[復(fù)習(xí)提示] 在解答立體幾何題時(shí)，常有考生缺少證明步驟，比如本小題不證明l₂⊥平面ABN，其實(shí)這一步并不難，但是不寫的話失分就較多. 在高考復(fù)習(xí)時(shí)，要注意練習(xí)寫一個(gè)既簡明又完整的解答或證明，哪些是必不可少的，那些是可以省略的，這從課本例題、老師講的例題的解答中就可以學(xué)到.

理（20）（本小題滿分12分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中, 有一個(gè)以F₁(0, ) 和F₂(0, )為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓. 設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C, 動(dòng)點(diǎn)P在C上, C在點(diǎn)P處的切線與x、y軸的交點(diǎn)分別為A、B, 且向量 . 求:

(Ⅰ) 點(diǎn)M的軌跡方程; (Ⅱ) 的最小值.

[抽樣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)]

題號(hào)

滿分

  平均分

   難度

  理(20)

    12

   3.88

   0.32

本小題屬于中等題, 區(qū)分度較好.得0分者約占18%, 會(huì)求橢圓方程得1~4分者有約50%, 會(huì)求導(dǎo)數(shù)和切線斜率得5~6分者有10.5%, 正確求出切線方程以及進(jìn)一步求解點(diǎn)M的軌跡方程得7~10分者有16%, 做到第(Ⅱ)問得11~12分者有5.5%. 

[考查意圖] 本小題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、平面向量及切線方程、曲線方程等基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題及推理的能力.

[解答分析] 本小題第(Ⅰ) 問涉及到解析幾何、平面向量和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等多方面知識(shí)，同時(shí)出現(xiàn)橢圓方程、切線方程和點(diǎn)M的軌跡方程等多個(gè)方程，因此做第(Ⅰ)問需要我們清楚理解方程等有關(guān)的概念，熟練掌握有關(guān)的基本知識(shí)、常規(guī)方法，并能把他們聯(lián)系在一起綜合的運(yùn)用. 解題思路是：設(shè)出切點(diǎn)P的坐標(biāo)和M點(diǎn)坐標(biāo)，求出橢圓方程和切線方程，然后求出A、B點(diǎn)坐標(biāo)，再求出M點(diǎn)坐標(biāo)與切點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，消去切點(diǎn)坐標(biāo)即可得點(diǎn)M的軌跡方程. 做第(Ⅱ)問需要一點(diǎn)運(yùn)算技巧. 參考解答如下：

解 (Ⅰ) 焦點(diǎn)在y軸上，故設(shè)橢圓方程為 ，（），由題設(shè)條件得，且，即b=2，a =1，所以曲線C的方程為

，即  ，

設(shè)P(x₀, y₀), 則 , 由于   ,

故切線AB方程為 

(注：上式中把y₀代換成x₀也可以，只是總有根式略顯不便). 求切線在坐標(biāo)軸的截距，得

           .

設(shè)M(x, y), 則由 得，因?yàn)?i>P在C上，將x₀=1/x, y₀=4/ y代入C的方程，得點(diǎn)M的軌跡方程為  .

（注：點(diǎn)M的軌跡方程也包括x, y的變化范圍，它是由x₀, y₀的變化范圍求出的）.

    (Ⅱ) ，由點(diǎn)M的軌跡方程中解出，代入得

  ，

當(dāng) ，即時(shí)，上式取等號(hào)，故的最小值是3.

（注：“”這一步說明：在M的變化范圍內(nèi)，上式可以取到等號(hào)，因而最小值是3，這一步是不能少的）.

[錯(cuò)因分析]  基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法掌握不好. 例如：把橢圓半軸與離心率的關(guān)系列錯(cuò)；導(dǎo)數(shù)公式錯(cuò)；計(jì)算出切點(diǎn)P的坐標(biāo)以后，不會(huì)求M點(diǎn)坐標(biāo)，或求出M點(diǎn)坐標(biāo)后不會(huì)消去切點(diǎn)P的坐標(biāo)、不能建立點(diǎn)M的軌跡方程；方程的記號(hào)和點(diǎn)的坐標(biāo)的記號(hào)不一致；曲線C的方程、點(diǎn)M的軌跡方程不指明變量的變化范圍.

計(jì)算錯(cuò)誤. 多是粗心大意或不注意化簡造成的. 最可惜的是把焦點(diǎn)放在x軸上，把橢圓方程寫錯(cuò)，使得解答一開始就錯(cuò)了.

在第(Ⅱ)問中不會(huì)將函數(shù)變形，解題缺少靈活性.

[復(fù)習(xí)提示] 加強(qiáng)涉及多方面知識(shí)的綜合練習(xí)，加深理解曲線方程的概念、熟悉方程記號(hào).

文(21 )（本小題滿分12分）

設(shè)P是橢圓+= 1 ( a > 1 ) 短軸的一個(gè)端點(diǎn), Q為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求| PQ | 的最大值.

[抽樣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)]

題號(hào)

滿分

  平均分

   難度

  文(21)

    12

   1.51

   0.13

    本題屬于難題, 區(qū)分度較好. 六道解答題中, 本題不能入門得0分者最多, 達(dá)57%. 除此之外, 得分主要分布在1~6分. 僅寫出P、Q的坐標(biāo)得1~2分者有約五分之一, 能寫出| PQ |的表達(dá)式并消元得5~6分者有7%, 進(jìn)一步將的表達(dá)式配平方, 而未加討論寫出| PQ |的最大值得8~9分者有7%, 基本完成解答, 得10分及其以上者有3%, 得滿分者為1.3%.

    [考查意圖] 本題主要考查橢圓的基本知識(shí)、兩點(diǎn)間的距離及綜合分析問題的能力.

    [解答分析] 要求| PQ |的最大值, 為方便, 對加以討論. 首先需寫出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo). 因Q在橢圓上, 通過消元法消去中的一個(gè)未知數(shù)(這里消x), 得到關(guān)于y的表達(dá)式, 是一個(gè)y的二次式, 配平方. 其中有參數(shù)a, 需結(jié)合此橢圓的性質(zhì)分類討論, 從而求出| PQ |的最大值.

    解法1:  依題意可設(shè) P (0, 1 ), Q (x , y ), 則| PQ | = .

    又因?yàn)镼在橢圓上, 所以  = (1) .

 = (1) + －2y + 1

       = (1)－2y + 1 +

       = (1)  + 1 + .

    因?yàn)?| y | ≤ 1, a > 1,

    若a ≥, 則≤1, 當(dāng)y = 時(shí), | PQ | 取最大值;

    若1< a <, 則當(dāng)y = －1時(shí), | PQ | 取最大值2 .

    解法2:

    設(shè)P (0, 1 ), Q (, ), 則

                =  +

                      =  (1)－2++ 1

                      =  (1)－++ 1.

    注意到 || ≤ 1, a > 1. 以下的討論與解法1相同.

    [錯(cuò)因分析] 本題求解中要用到橢圓的基本知識(shí)、兩點(diǎn)間的距離、二次函數(shù)、求最值等知識(shí), 解答過程蘊(yùn)涵著函數(shù)思想、分類討論等數(shù)學(xué)基本思想. 由于在這些方面以及思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、周密性方面不同程度的欠缺, 造成了答題中不同層次的失誤.

    此題能夠入手的多數(shù)考生都是循著解法1的路子做的. 有的考生寫出的表達(dá)式后, 意識(shí)不到條件“Q為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”的作用, 不知道利用橢圓方程在表達(dá)式中消元, 往下找不到深入的途徑;

有的考生雖然想到了消元, 但消去的是y, 得到

                 = + ,

太繁, 而無法求解下去;

    有的考生進(jìn)行到求出

                 = (1)－2y + 1 +

或

                 = (1)  + 1 + ,

但未能從橢圓方程+= 1 ( a > 1 )中理會(huì)出| y | ≤ 1, 或未注意到a > 1的條件, 不對參數(shù)a分情況討論, 就直接得出y = 時(shí), | PQ | 取最大值, 導(dǎo)致失分;

    有的考生雖知道要對a分類討論, 但未找到恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn), 導(dǎo)致失誤. 分類應(yīng)從所研究的具體問題出發(fā), 去選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn), 不重不漏地將討論對象劃分為若干個(gè)類別. 具體到此問題, 則應(yīng)是注意到 | y | ≤ 1, a > 1, 從是否≤1來考慮分類.

    此外, 有的考生是用解法2求解, 在設(shè)Q (, )時(shí), 不恰當(dāng)?shù)南薅é鹊姆秶? 如: θ∈[0,π] 或θ∈. 這樣做改變了點(diǎn)Q 的屬性, 因?yàn)? 當(dāng)θ∈[0,π]時(shí), Q 只在上半橢圓, 當(dāng)θ∈時(shí), 點(diǎn)Q 只在右半橢圓.

    [復(fù)習(xí)提示] 注意“讀題”, 即分析題目, 挖掘其中的信息. 解題中注意每一處細(xì)節(jié), 培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)周密. 消元時(shí)需注意被消變量的選擇, 要使消元的過程盡可能簡單, 消元后的結(jié)果盡可能方便使用.

理（21）（本小題滿分14分）

已知函數(shù) .

(Ⅰ) 設(shè)a >0, 討論 y = f (x) 的單調(diào)性;

(Ⅱ) 若對任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范圍.

[抽樣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)]

題號(hào)

滿分

  平均分

   難度

  理(21)

    14

   2.59

   0.19

    本小題是一道難題, 也是全卷最難的一道題; 區(qū)分度較好. 分?jǐn)?shù)分布呈現(xiàn)出分?jǐn)?shù)越高人數(shù)越少的狀態(tài): 得零分的考生約占32％, 會(huì)求導(dǎo)數(shù)而得到1~3分者約占37％, 再會(huì)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性而得4~6分者約占18％, 能對參數(shù)進(jìn)行討論而得7~10分者約占11.5％; 得11~13分者約占1.5%, 得滿分者僅占0.07％.

[考查意圖] 本小題主要考查分類討論的數(shù)學(xué)思想和導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法，考查邏輯推理能力.

[解答分析] 本小題的解法是常規(guī)方法, 但需要我們函數(shù)概念清楚、邏輯推理能力強(qiáng). 解答時(shí)需要注意三點(diǎn), 一是本類題目應(yīng)該對參數(shù)a進(jìn)行分類討論, 而不是對函數(shù)的定義域分類討論, 具體到本小題, 應(yīng)該分0<a<2, a=2, a>2三種情況討論. 二是在函數(shù)單調(diào)性判定定理“在一個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)恒正（負(fù)）, 則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上單增（減）”中,“區(qū)間”這個(gè)條件也是不能少的, 本小題函數(shù)的定義域不是區(qū)間, 需要把定義域分成區(qū)間, 再判定函數(shù)在每一區(qū)間的單調(diào)性. 三是注意細(xì)節(jié), 如數(shù)學(xué)符號(hào)書寫應(yīng)該正確, 以及本小題兩問中參數(shù)a的變化范圍不同. 參考解答如下.

解 (Ⅰ) 函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?-∞, 1)∪(1, +∞), 導(dǎo)數(shù)為

       .

(?) 當(dāng)0<a<2時(shí), 導(dǎo)數(shù)恒正, 故f (x) 在區(qū)間 (-∞, 1), (1, +∞) 為增函數(shù).

(?) 當(dāng)a=2時(shí), 故f (x) 在區(qū)間 (-∞, 1), (1, +∞)仍為增函數(shù).

(?) 當(dāng)a>2時(shí), 解得x =±,

x

(-∞, -)

(-,)

(, 1)

 (1, +∞) 

+

-

+

+

ㄊ

ㄋ

ㄊ

ㄊ

f (x) 在區(qū)間 (-∞, -),  (, 1),  (1, +∞) 為增函數(shù),

f (x) 在區(qū)間 (-,)為減函數(shù).

(Ⅱ) 參數(shù)a的變化范圍和(Ⅰ) 不同, 但由(Ⅰ) 知仍分三種情形討論.

(?) 當(dāng)0< a≤2時(shí), 由(Ⅰ) 知f (x) 在區(qū)間 (-∞, 1) 為增函數(shù), 故對于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而這時(shí)a滿足要求. 

(?) 當(dāng)a>2時(shí), 由(Ⅰ) 知f (x) 在區(qū)間 (-,)為減函數(shù), 故在區(qū)間(0, ) 內(nèi)任取一點(diǎn), 比如取, 就有 x₀∈(0, 1) 且 f (x₀) < f (0) =1, 因而這時(shí)a不滿足要求.

(?) 當(dāng)a≤0時(shí), 對于任意x∈(0, 1) 恒有

 ≥, 這時(shí)a滿足要求.

綜上可知, 所求 a的取值范圍為 a≤2.

[錯(cuò)因分析] 出錯(cuò)較多的是解答不夠嚴(yán)謹(jǐn), 例如計(jì)算出“當(dāng)0<a<2時(shí), 導(dǎo)數(shù)恒正”后, 就說“f (x) 在R上為增函數(shù)”或“f (x) 在定義域?yàn)樵龊瘮?shù)”, 前者錯(cuò)在沒有考慮定義域, 后者錯(cuò)在沒有掌握好單調(diào)性判定定理, 忽視了本題里函數(shù)的定義域不是區(qū)間. 這些是實(shí)質(zhì)性的錯(cuò)誤. 還有類似的錯(cuò)誤, 如寫“f (x) 在(-∞, 1)∪(1, +∞)為增函數(shù)”, 這也可能僅僅是數(shù)學(xué)式寫錯(cuò)了, 不該用“∪”. 數(shù)學(xué)式寫錯(cuò)的還有“f (x) 在為增函數(shù)”, 這里不應(yīng)該用中括號(hào) “]”.

另一類錯(cuò)誤是第(Ⅰ)問中不討論參數(shù)的值, 第(Ⅱ)問中只討論a>0情形.

第(Ⅱ)問中還有邏輯錯(cuò)誤. 例如“因?yàn)?i>f (0)=1, 故只要f (x) 在區(qū)間 (0, 1)為增函數(shù)”, 這樣也能得出正確結(jié)果, 但是推理過程是有錯(cuò)的, 錯(cuò)誤原因在于“f (0)=1, 且f (x) 在區(qū)間 (0, 1)為增函數(shù)”這個(gè)命題是“對任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1”的充分條件而難以證明是必要條件.

[復(fù)習(xí)提示] 近年總有含參數(shù)的函數(shù)(或數(shù)列)的考題, 一般都可用常規(guī)方法求解. 首先概念要清楚, 含參數(shù)的函數(shù)不是一個(gè)函數(shù), 參數(shù)的值不同, 就是不同的函數(shù). 其次, 應(yīng)該對參數(shù)分類, 即按照參數(shù)的不同變化范圍分成若干情形, 再分別討論.

文(22) (本小題滿分14分)

    設(shè)a為實(shí)數(shù), 函數(shù)= －a+ ()x 在 (, 0 ) 和 ( 1, ) 都是增函數(shù),求a的取值范圍.

    [抽樣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)]

題號(hào)

滿分

  平均分

   難度

  文(22)

    14

   1.87

   0.13

    這是一道難題, 區(qū)分度很好. 本題得零分者有約37%之多. 得分集中在5分及其以下, 占56 %, 即最多求出了Δ≤0時(shí)a的取值范圍. 能將Δ>0時(shí)a的取值情況討論完整者很少, 總共不到2%. 得滿分者占千分之五.

    [考查意圖] 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法, 考查數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.

    [解答分析] 此題是一個(gè)利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)單調(diào)性的問題. 自然地, 首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 把研究函數(shù)的增減性轉(zhuǎn)化為研究導(dǎo)數(shù)的正、負(fù).

    求的導(dǎo)數(shù), 得= 3－2ax +－1.

    下面則轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)3－2ax +－1在區(qū)間 (, 0 ) 和 ( 1, ) 上均為正的問題, 對于解決這個(gè)問題沒有現(xiàn)成的定理可直接使用, 用純代數(shù)的方法難以奏效, 必須借助圖形來解決. 下面列出幾種具體解法.

    解法1  利用拋物線與x軸的交點(diǎn)討論.

    = 3－2ax +－1, 此函數(shù)圖象為開口向上的拋物線, 其判別式 Δ= 4－12+12 = 12－8.

    ( i ) 若Δ= 12－8= 0 , 即a =±. 拋物線在x軸上方且與x軸相切與一點(diǎn)x = .當(dāng)x∈(,)或 x∈(,)時(shí), > 0, 在(,)為增函數(shù). 所以a=±.

( ii) 若Δ= 12－8< 0, 拋物線在x軸上方, 恒有> 0, 在(,)為增函數(shù). 所以 > ,即a∈(, －)∪( , ) .

(iii) 若Δ= 12－8> 0, 即－< a < ,  = 0 有二不同根

               =, =.

    當(dāng)x∈(,)或(,)時(shí), > 0, 為增函數(shù);

    當(dāng)x∈(,)時(shí), < 0, 為減函數(shù).

    為使在(, 0 )和( 1, )為增函數(shù), 必須≥0且≤1.

    由 ≥0 得 a ≥,  解得1 ≤ a < .

    由 ≤1 得≤3－a,   解得 － < a <  .    從而  a∈[1,).

    綜上, a的取值范圍為 (, －]∪[, )∪[1 , ).

即         a∈(, －]∪[1 , ).

    解法2  利用拋物線的對稱軸討論.

    (i) 若Δ≤0, 這種情況的求解與解法1相同, 不再贅述.

    (ii) 若Δ> 0, 為使在 (, 0 ) 和 ( 1, ) 為增函數(shù), 只需≥0,≥0且0 << 1. 由

      , 解得 .    所以  a ∈[1,).

    綜上, 得到 a ∈ (, －]∪[1 , ).

    類似地, 也可以利用拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)討論. 如:

            = 3－2ax +－1 = 3+(－1)

其圖象為開口向上的拋物線, 知= －1為極小值, 也是最小值.

    接下來, 通過 －1>0, －1=0, －1<0, 討論曲線的位置, 確定參數(shù)a的取值.

    上述解答過程中雖未畫出函數(shù)圖象, 但推理是完全依賴于函數(shù)圖象的.

    [錯(cuò)因分析] 

    (1) 對于求導(dǎo)數(shù)的方法未掌握或不熟練, 導(dǎo)致不會(huì)求或出錯(cuò).

    (2) 數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想不夠明確, 求出= 3－2ax +－1 后, 不知結(jié)合的圖象去討論確定a的取值.

    (3) 對增減函數(shù)的性質(zhì)、條件不夠明確或?qū)�拋物線的性質(zhì)特點(diǎn)不夠清楚, 使得在分類討論時(shí), 分情況不恰當(dāng)有遺漏或有重復(fù). 如有的列出情況: Δ≥0 且 0 << 1, >0, >0; 也有的列出情況: Δ< 0 且 >0, >0. 前一種情況, 當(dāng)Δ= 0時(shí), 對于使>0, 條件0 << 1, >0, >0都是多余的; 當(dāng)Δ> 0時(shí),  0 << 1, >0, >0是不完整的, 實(shí)際上, 其中的>0, >0 應(yīng)為 ≥0, ≥0. 后一種情況, 因?yàn)橛笑?lt; 0, 自然就有>0, >0, 所以是重復(fù)的.

    (4) 部分考生推理不嚴(yán)謹(jǐn)或不正確. 舉幾例如下:

    ① 因?yàn)?sub>在 (, 0 ) 和 ( 1, ) 為增函數(shù), 所以>0.

② 因?yàn)?sub>在 (, 0 ) 和 ( 1, ) 為增函數(shù), 所以>0, >0.

③ 因?yàn)?sub>在 (, 0 ) 和 ( 1, ) 為增函數(shù), 所以在[0 , 1]上是減函數(shù).

還有的不明確Δ的取值, 就認(rèn)定, 是的二不同實(shí)根.

(5)  運(yùn)算不熟練出現(xiàn)錯(cuò)誤. 如, 解不等式組

得到結(jié)果: ≤ a ≤－1 或 1≤ a ≤. 錯(cuò)在未能從≥0中推出a > 0和未顧及到Δ> 0時(shí)有－ < a < . 還有的考生在解 = 0時(shí)得到錯(cuò)解:x=或或 ; 將的圖象的對稱軸錯(cuò)為 x =等.

    [復(fù)習(xí)提示] 應(yīng)準(zhǔn)確理解掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系. 純代數(shù)的方法有時(shí)會(huì)較繁瑣, 甚至不能解決問題, 應(yīng)注意掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法. 分類討論須緊貼題目, 根據(jù)解題需要確定恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn), 使得分類不重不漏.

理(22) 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，

（Ⅰ）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；

（Ⅱ）設(shè)，，證明：.

    [抽樣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)]

題號(hào)

滿分

  平均分

   難度

  理(22)

    12

   3.42

   0.29

    這是一道難題, 區(qū)分度較好. 本題得零分者有約10.5%, 作為壓軸題并不算高, 可見入手并不難. 得分在1-2分者占16.6 %,得分在3-4分者占59.7 %,這些是多多少少會(huì)用些數(shù)列的性質(zhì), 得分在5-6分者占5.1 %,這些是看出數(shù)列通項(xiàng)的規(guī)律,或求出通項(xiàng)的,做到第（Ⅱ）問得分在7-11分者占7.82 %,得滿分者占千分之三.

[考查意圖]:本題主要考查數(shù)列和等比數(shù)列的基本知識(shí)，遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，數(shù)列求和及不等式證明等思想和方法.

[解答分析]（Ⅰ）本題所涉及的遞推數(shù)列是型，這種類型的遞推數(shù)列求首項(xiàng)可通過解關(guān)于的方程求出，而求數(shù)列的通項(xiàng)公式可考慮以下三種手段：（1）利用=-把原遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為型的遞推關(guān)系，即把，化為=4+；

（2）把=-代入原遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為型的遞推關(guān)系，即把，，化為=4+-2, n=2,3…；（3）利用迭代的思想解決問題；（4）根據(jù)遞推關(guān)系寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明.

對于前兩種手段，求通項(xiàng)公式時(shí)，都須對所得遞推關(guān)系進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或可求通項(xiàng)的其他數(shù)列來解決問題，如（2）中把=4+-2變形為+-=4(+-)，得出數(shù)列{+-}為等比數(shù)列，進(jìn)而求出，然后利用=-求出.對于（1）中的遞推關(guān)系=4+，變形的手段更多，如變?yōu)?sub>+=4(+),n=2,3…，得出數(shù)列{+}為等比數(shù)列求出；也可變形為利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解或變形為利用疊加的方法求解；還可以通過=4+及變形為利用特征根思想求解.

對于第三種手段，可直接把遞推關(guān)系=4+直接迭代，即

轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和問題.

本題也可利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行，證明如下：

由=-+, 得: ==-4+,     =2.

又由=+=-+     =12=-,

    =++=-+ =56=-.

猜想: =-.

下用數(shù)學(xué)歸納法證明:1)當(dāng)n=1時(shí),顯然成立.

2)假設(shè)nk時(shí)成立,即=-,n=1,2, k

則當(dāng)n=k+1時(shí),由=-+,得   +++=-+,

   (4-2)+( -)+…+( -)+=-+,得: =-.

    當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.

 綜上,對任意正整數(shù)n,都有=-.

另:用數(shù)學(xué)歸納法也可類似處理:

1)當(dāng)n=1時(shí),顯然成立.

2)假設(shè)n=k時(shí)成立,即=-.

則由=-+及=-+ ,

    得  =(- )-,   =4+=4(-)+=-.

 綜上,對任意正整數(shù)n,都有=-.

    （Ⅱ）解本問可先求出== , 欲證數(shù)列不等式，常規(guī)的方法有四種，即求和分析法，數(shù)學(xué)歸納法，利用數(shù)列單調(diào)性法，放縮法.對于本題來說，由于不等式左邊是n的遞增式，右邊是常數(shù)，利用數(shù)列單調(diào)性法證左邊式子的最大值小于是不可能的；同樣由于n=k時(shí)比n=k+1左邊式子要小，故不可利用數(shù)學(xué)歸納法求解；由于是在時(shí)的極限（可求和證明），故不適于利用放縮法進(jìn)行，最直接的方法是求和分析法，這也是證明數(shù)列不等式最常規(guī)的方法，也是最先考慮的方法. 由于是分式形式，可考慮裂項(xiàng)求和法，把變形為進(jìn)而轉(zhuǎn)化為(-) ，則問題迎刃而解.具體解法如下：

將=-代入(1)得：=(-)-+

       =(-1) (-2) = (-1) (-1).

     ===(-) .

 所以,= =(-) <.

從以上分析可以看出，解決本題的難點(diǎn)有兩個(gè)，一是對遞推關(guān)系的變形，二是求和時(shí)裂項(xiàng)的技巧.對這兩個(gè)難點(diǎn)的突破，是解決本題的關(guān)鍵.

[錯(cuò)因分析]:

(1)    把=-錯(cuò)寫為=-而出錯(cuò).

(2)    在寫遞推關(guān)系=4+后,得出+=4(+),從而認(rèn)為數(shù)列{+}為等比數(shù)列而出錯(cuò).

(3)    第(Ⅱ)問把錯(cuò)誤地認(rèn)為是而出錯(cuò).

(4)    寫出=,沒有分解因式及拆項(xiàng)的意識(shí),從而解答不夠徹底.

(5)    證明不等式時(shí),放縮法證明出現(xiàn)下列錯(cuò)誤, ==<,從而得出<(++…+)=(1-)<,其中2-3+>在n=1時(shí)不成立.

(6)    計(jì)算出錯(cuò)也是本題失分的重要原因.

[復(fù)習(xí)提示]:

對遞推數(shù)列及數(shù)列與不等式相結(jié)合的題型的考查近幾年越來越成為高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn),在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)問題:

(1)       通過遞推數(shù)列研究數(shù)列的性質(zhì)及求通項(xiàng)的方法;

(2)  數(shù)列求和常用方法(如本題用到的裂項(xiàng)相消法)的分析;

(3)  建立在數(shù)列背景下的不等式的證明方法(如分析法、數(shù)學(xué)歸納法、放縮法及利用數(shù)列的單調(diào)性求解等).

我們把高考數(shù)學(xué)內(nèi)容基礎(chǔ)知識(shí)分成七部分，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，數(shù)列，不等式，平面向量和三角函數(shù)（含三角形），立體幾何，解析幾何），和概率統(tǒng)計(jì)（含排列組合、二項(xiàng)式定理）. 有的題目考查了多項(xiàng)知識(shí)，也是歸在一類里.下面結(jié)合2007年各地高考試題分專題介紹考查的基本內(nèi)容和方法。

1．函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

㈠函數(shù)與方程

（2007年江蘇卷）設(shè)a為實(shí)數(shù)，記函數(shù)的最大值為g(a)。

　　�。á瘢┰O(shè)t＝，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t).

（Ⅱ）求g(a)；

（Ⅲ）試求滿足的所有實(shí)數(shù)a.

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)、方程等基本知識(shí)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.

㈡函數(shù)圖像

（2007年上海春卷）設(shè)函數(shù).

（1）在區(qū)間上畫出函數(shù)的圖像；

（2）設(shè)集合. 試判斷集合和之間的關(guān)系，并給出證明；

（3）當(dāng)時(shí)，求證：在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.

㈢抽象函數(shù)

1．( 2007年重慶卷)已知定義域?yàn)?b>R的函數(shù)f(x)滿足f(f(x)-x²+x=f(x)-x²+x.

（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);

（Ⅱ）設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)x₀,使得f(x_0­)= x₀，求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式.

點(diǎn)評：這是一道函數(shù)綜合問題，考查綜合運(yùn)用函數(shù)知識(shí)，方程知識(shí)解決實(shí)際問題的能力以及考查分類討論問題的能力.

2．（2007年安徽卷）已知函數(shù)在R上有定義，對任何實(shí)數(shù)和任何實(shí)數(shù)，都有.

（Ⅰ）證明；（Ⅱ）證明 其中和均為常數(shù)；

（Ⅲ）當(dāng)（Ⅱ）中的時(shí)，設(shè)，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值.

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)用、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題及推理能力.

㈣利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

(2007年山東卷）設(shè)函數(shù)f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的基礎(chǔ)知識(shí)，以及考查分類討論的思想方法.

（2007年上海卷）已知函數(shù)＝＋有如下性質(zhì)：如果常數(shù)＞0，那么該函數(shù)在0，上是減函數(shù)，在，＋∞上是增函數(shù)．

（1）如果函數(shù)＝＋（＞0）的值域?yàn)?sub>6，＋∞，求的值；

（2）研究函數(shù)＝＋（常數(shù)＞0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；

（3）對函數(shù)＝＋和＝＋（常數(shù)＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)＝＋（是正整數(shù)）在區(qū)間[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結(jié)論）．

點(diǎn)評：本題主要考查利用函數(shù)性質(zhì)解決有關(guān)函數(shù)的一些問題；體現(xiàn)研究性學(xué)習(xí)，符合新課標(biāo)理念.

㈤利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值

（2007年福建卷）已知函數(shù)

       （I）求在區(qū)間上的最大值

       （II）是否存在實(shí)數(shù)使得的圖象與的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查運(yùn)算能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問題、解決問題的能力.

㈥二次函數(shù)

（2007年遼寧卷）已知函數(shù)f(x)=,其中a , b , c是以d為公差的等差數(shù)列，，且a＞0,d＞0.設(shè)［1-］上，，在，將點(diǎn)A， B， C，

   (I)求；

(II)若ㄓABC有一邊平行于x軸，且面積為，求a ,d的值.

【點(diǎn)評】本小題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)的極值的判定,閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值,等差數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用,考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力.

㈦函數(shù)與其它知識(shí)的綜合，體現(xiàn)了在知識(shí)交匯處命制試題的原則

①函數(shù)與不等式

例1（2007年江西卷）已知函數(shù)f（x）＝x³＋ax²＋bx＋c在x＝－與x＝1時(shí)都取得極值，

（1）       求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）       若對xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c²恒成立，求c的取值范圍.

例2 （2007年湖北卷）設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).

（Ⅰ）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)，.若存在使得成立，求的取值范圍.

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.

例3  ( 2007年重慶卷)已知函數(shù)f(x)=(x²_­­+bx+c)c^x,其中b,cR為常數(shù).

（Ⅰ）若b²＞4(a-1),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若b²＜4(c-1),且=4,試證：－6≤b≤2.

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法和利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)極限，不等式綜合運(yùn)用的能力.

例4  （2007年全國卷II）設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)求解問題，同時(shí)滲透分類討論思想.

例5  （2007年四川卷）已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)是，對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，證明：

       （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

       （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，

點(diǎn)評：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)和平均值不等式等知識(shí)及綜合分析、推理論證的能力，體現(xiàn)函數(shù)的凸凹性.滿分14分.

例6  （2007年陜西卷）已知函數(shù)且存在使

（I）證明：是R上的單調(diào)增函數(shù)；

設(shè) 其中　

（II）證明：  （III）證明：

點(diǎn)評：此題是對函數(shù)的綜合考查，以及函數(shù)的單調(diào)性與不等式的結(jié)合，同時(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)最為函數(shù)單調(diào)性的依據(jù).

分析：（I）通過求和分析的范圍來證明，因?yàn)?sub>是二次函數(shù)，所以可求二次函數(shù)的值域；

（II）利用自變量的大小關(guān)系及不等式的性質(zhì)，用結(jié)合（I）問的結(jié)論證明；

（III）用數(shù)學(xué)歸納法證明可得.

②函數(shù)與三角

（2007年天津卷）已知函數(shù)，其中為參數(shù)，且．

（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)是否有極值；

（2）要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；

（3）若對（2）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

點(diǎn)評：本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基本知識(shí)，考查綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想和方法.

③函數(shù)向量解析幾何

（2007年廣東卷）設(shè)函數(shù)分別在、處取得極小值、極大值.平面上點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為、,該平面上動(dòng)點(diǎn)P滿足,點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn).求(Ⅰ)點(diǎn)A、B的坐標(biāo) ；(Ⅱ)動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.

④函數(shù)導(dǎo)數(shù)與組合、數(shù)列、不等式

（2007年遼寧卷）已知,其中,

設(shè),.

(I) 寫出;

(II) 證明:對任意的,恒有.

【點(diǎn)評】本小題考查導(dǎo)數(shù)的基本計(jì)算,函數(shù)的性質(zhì),絕對值不等式及組合數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查歸納推理能力以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.

㈧函數(shù)應(yīng)用

1．（2007年江蘇卷）請您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如右

圖所示）。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

2．（2007年福建卷）統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：

已知甲、乙兩地相距100千米.

       （I）當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？

       （II）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.

2．?dāng)?shù)列

㈠等差數(shù)列

（2007年江蘇卷）設(shè)數(shù)列、、滿足：，（n=1,2,3,…），

證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1,2,3,…）.

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力

㈡等比數(shù)列

(2007年山東卷）已知a₁=2，點(diǎn)(a_n,a_n+1)在函數(shù)f(x)=x²+2x的圖象上，其中n=1，2，3，…

（1）證明數(shù)列｛lg(1+a_n)｝是等比數(shù)列；

（2）設(shè)T_n=(1+a₁) (1+a₂) …(1+a_n)，求T_n及數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)；

（3）記b_n=，求數(shù)列｛b_n｝的前n項(xiàng)和S_n，并證明S_n+=1.

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列中的基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.解題時(shí)注意等比數(shù)列的概念及特殊數(shù)列的求和.

㈢數(shù)列求和

（2007年廣東卷）已知公比為的無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為9，無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為.

(Ⅰ)求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；

(Ⅱ)對給定的,設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.求數(shù)列的前10項(xiàng)之和；

(Ⅲ)設(shè)為數(shù)列的第項(xiàng)，，求，并求正整數(shù)，使得存在且不等于零.

(注：無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和即當(dāng)時(shí)該無窮數(shù)列前n項(xiàng)和的極限)

（2007年安徽卷）數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知

（Ⅰ）寫出與的遞推關(guān)系式，并求關(guān)于的表達(dá)式；

（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

點(diǎn)評：考查歸納推理求通項(xiàng)公式，分類討論的思想和方法.

㈣遞推數(shù)列

（2007年全國卷II）設(shè)數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)和為S_n，且方程x²－a_nx－a_n＝0有一根為S_n－1，n＝1，2，3，…．

（Ⅰ）求a₁，a₂；（Ⅱ）｛a_n｝的通項(xiàng)公式．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列中通項(xiàng)a_n與前n項(xiàng)和S_n的關(guān)系，以及考查學(xué)生歸納、猜想、證明的思想.

（2007年陜西卷）已知正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和滿足且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)

點(diǎn)評：此題主要考查怎樣用，注意分兩步進(jìn)行.

（2007年上海卷）已知有窮數(shù)列共有2項(xiàng)（整數(shù)≥2），首項(xiàng)＝2．設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常數(shù)＞1．

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）若＝2，數(shù)列滿足＝（＝1，2，┅，2），求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）若（2）中的數(shù)列滿足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|≤4，求的值．

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的基本知識(shí).

㈤新定義型數(shù)列

（2007年北京卷）在數(shù)列中，若是正整數(shù)，且，則稱為“絕對差數(shù)列”.

（Ⅰ）舉出一個(gè)前五項(xiàng)不為零的“絕對差數(shù)列”（只要求寫出前十項(xiàng)）；

（Ⅱ）若“絕對差數(shù)列”中，，數(shù)列滿足，，分別判斷當(dāng)時(shí)，與的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；

（Ⅲ）證明：任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個(gè)為零的項(xiàng).

點(diǎn)評：本題以新名詞“絕對差數(shù)列”出現(xiàn)，考查學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列的能力；以及利用已知條件，通過觀察、歸納、證明的能力. 其中（Ⅱ）可說明數(shù)列是周期數(shù)列，而是常數(shù)列；（Ⅲ）要求學(xué)生有較深厚的數(shù)學(xué)功底，可考慮使用反證法與放縮法證明.

㈥數(shù)列應(yīng)用

（2007年廣東卷）在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干準(zhǔn)“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個(gè)乒乓球；第2、3、4、…堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放.從第一層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則     ；      （答案用n表示）    .

㈦數(shù)列開放型試題

（2007年上海春卷）已知數(shù)列，其中是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列（）.

（1）若，求；

（2）試寫出關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍；

（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得是公差為的等差數(shù)列，……，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列. 提出同（2）類似的問題（（2）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？

㈧數(shù)列與其它知識(shí)的綜合

①數(shù)列與向量

（2007年江西卷）已知等差數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)和為S_n，若，且A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過原點(diǎn)O），則S₂₀₀＝（ A  ）

A．100   B. 101  C.200  D.201

②數(shù)列與導(dǎo)數(shù)極限

（2007年江蘇卷）對正整數(shù)n，設(shè)曲線在x＝2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式是　▲　

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，再與數(shù)列知識(shí)結(jié)合起來，解決相關(guān)問題。

（2007年四川卷）已知數(shù)列，其中，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）設(shè)，（其中為的導(dǎo)函數(shù)），計(jì)算.

點(diǎn)評：本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，以及對數(shù)運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算的能力，同時(shí)考查分類討論的思想方法，滿分12分.

③數(shù)列與不等式

（2007年福建卷）已知數(shù)列滿足

       （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

       （II）證明：

點(diǎn)評：本小題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法，考查綜合解題能力.滿分14分.

（2007年江西卷）已知數(shù)列｛a_n｝滿足：a₁＝，且a_n＝

（1）       求數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)公式；

（2）       證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a₁?a₂?……a_n<2?n！

點(diǎn)評：可化為，體現(xiàn)求通項(xiàng)公式的轉(zhuǎn)化方法；而（2）的證明可以使用數(shù)學(xué)歸納法.

④數(shù)列函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式

（ 2007年浙江卷）已知函數(shù)f(x)=x+ x，數(shù)列｜x｜(x＞0)的第一項(xiàng)x＝1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線x=f(x)在處的切線與經(jīng)過（0，0）和

（x,f (x)）兩點(diǎn)的直線平行（如圖）.

求證：當(dāng)n時(shí)，(Ⅰ)x

（Ⅱ）.

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，以及不等式的證明，同時(shí)考查邏輯推理能力.

無論是初等數(shù)學(xué)或是高等數(shù)學(xué)中數(shù)列都占有重要的地位．高考試題中，數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何、概率等知識(shí)的綜合，常以中高檔題目出現(xiàn)．圍繞數(shù)列問題創(chuàng)設(shè)情景，設(shè)計(jì)一些新穎的題目，更有效地考察綜合與靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力和對數(shù)學(xué)思想方法的深刻理解．尤其是通過探索性試題測試考生的潛能和創(chuàng)新精神．?dāng)?shù)列綜合能力題涉及的問題背景新穎，能力要求廣泛，內(nèi)在聯(lián)系深刻，解法靈活，解這類題要科學(xué)合理地思維，善于將已知條件準(zhǔn)確地表達(dá)為數(shù)列或其他數(shù)學(xué)內(nèi)容所刻劃的數(shù)學(xué)關(guān)系，全面靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法．
3．不等式

㈠不等式的性質(zhì)

（2007年上海春卷）若，則下列不等式成立的是(  C  ) 

    （A）­       （B）      （C）  （D）

㈡不等式解法

（2007年上海春卷）不等式的解集是     .

( 2007年重慶卷)設(shè)a＞0, a1,函數(shù)有最大值.則不等式log_a(x²-5x+7) ＞0的解集為_(2,3)__.

㈢利用不等式求最值

( 2007年重慶卷)若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,則2a+b+c的最小值為  ( D )

（A）-1        (B) +1      (C) 2+2          (D) 2-2

㈣不等式證明

①與函數(shù)方程綜合

（ 2007年浙江卷）設(shè)f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)＞0，求證：

(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1； (Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用的基礎(chǔ)知識(shí).

（2007年廣東卷）A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對任意，都有 ； ②存在常數(shù)，使得對任意的，都有.

（Ⅰ）設(shè)，證明：；

(Ⅱ)設(shè),如果存在,使得,那么這樣的是唯一的；

(Ⅲ)設(shè),任取,令證明:給定正整數(shù)k,對任意的正整數(shù)p,成立不等式.

②數(shù)列不等式

( 2007年湖南卷）已知函數(shù),數(shù)列{}滿足:

證明:(?);(?).

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等，考察學(xué)生邏輯思維能力.

（2007年天津卷）已知數(shù)列滿足，并且

（為非零參數(shù)，）．

（1）若成等比數(shù)列，求參數(shù)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，證明；

當(dāng)時(shí)，證明.

點(diǎn)評：本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系為載體，主要考查等比數(shù)列的等比中項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式、不等式的性質(zhì)及證明的基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證能力.

㈤含參數(shù)的不等式問題

（2007年陜西卷）已知不等式對任意正實(shí)數(shù)恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為 （B）

       （Ａ）8　　　　（Ｂ）6　　　�。–）4　　　�。―）2

（2007年上海卷）三個(gè)同學(xué)對問題“關(guān)于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍”提出各自的解題思路．

甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”．

乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”．

丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”．

參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即的取值范圍是  a≤10   ．

㈥不等式應(yīng)用

（2007年上海春卷）同學(xué)們都知道，在一次考試后，如果按順序去掉一些高分，那么班級(jí)的平均分將降低；反之，如果按順序去掉一些低分，那么班級(jí)的平均分將提高. 這兩個(gè)事實(shí)可以用數(shù)學(xué)語言描述為：若有限數(shù)列 滿足，則                   

                                                        （結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示）.

答案：和

（2007年天津卷）某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則    20      噸．

( 2007年湖南卷）對1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:)為0.8,要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙:兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)?sub>(1≤a≤3).設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是(),用質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是,其中是該物體初次清洗后的清潔度.

(Ⅰ)分別求出方案甲以及時(shí)方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少;

(Ⅱ)若采用方案乙,當(dāng)為某定值時(shí),如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最少?并討論取不同數(shù)值時(shí)對最少總用水量多少的影響.

點(diǎn)評：本題主要考查學(xué)生分析和解決實(shí)際問題的能力，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的能力.讀懂題意，列出正確的表達(dá)式，然后利用均值定理等得出最終的結(jié)論.

4．向量與三角函數(shù)

㈠平面向量基礎(chǔ)知識(shí)的考查

（2007年遼寧卷）的三內(nèi)角所對邊的長分別為設(shè)向量,,若,則角的大小為

(A)    (B)    (C)   (D)

（2007年遼寧卷）設(shè),,,點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是

(A)   (B)  (C)    (D)

( 2007年湖南卷）已知,且關(guān)于的方程有實(shí)根,則與的夾角的取值范圍是   (   B   )

A.[0,]    B.     C.    D.

（2007年陜西卷）已知非零向量與滿足且則為（D）

       （A）等邊三角形　　　　　　　　�。˙）直角三角形

       （C）等腰非等邊三角形　　　　　�。―）三邊均不相等的三角形

(2007年山東卷）設(shè)向量a=(1, －2),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為 ( D)

(A)(2,6)         (B)(－2,6)         (C)(2,－6)              (D)(－2,－6)

㈡三角計(jì)算

（2007安徽卷理）已知

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值.

點(diǎn)評：本題主要考查同角三角函數(shù)的關(guān)系式、兩角差的公式、倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算和推理能力.

㈢三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

（2007年上海春卷）已知函數(shù).

    （1）若，求函數(shù)的值；    （2）求函數(shù)的值域.

( 2007年重慶卷)設(shè)函數(shù)(其中＞0, ),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）如果f(x)在區(qū)間上的最小值為，求a的值.

（2007年陜西卷）已知函數(shù)

       （I）求函數(shù)的最小正周期；

       （II）求使函數(shù)取得最大值的集合.

（2007年福建卷）已知函數(shù)

       （I）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；

       （II）函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

點(diǎn)評：本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基本知識(shí)，以及推理和運(yùn)算能力.滿分12分.

㈣三角形中的三角問題

（2007年天津卷）如圖，在中，，，．

（1）       求的值；（2）求的值.

點(diǎn)評：旨在考查斜三角形中的正余弦定理和角的正弦公式，考查基本運(yùn)算能力及分析和解決問題的能力.

㈤向量與三角

（2007年四川卷）已知是三角形三內(nèi)角，向量，且.

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，求.

點(diǎn)評：本小題主要考查三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考查應(yīng)用、分析和計(jì)算能力.滿分12分.

㈥三角應(yīng)用

（2007年上海卷）如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救．甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援（角度精確到1）？

[解]

點(diǎn)評:本題主要考查正余弦定理的應(yīng)用.

高考啟示錄------立體幾何

縱觀2007年全國各省市高考試題，高考立體幾何試題一般共有3道(客觀題2道, 主觀題1道), 共計(jì)總分21分左右,考查的知識(shí)點(diǎn)在20個(gè)以內(nèi). 選擇填空題考核立幾中的計(jì)算型問題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題, 當(dāng)然, 二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提. 隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施,立體幾何考題正朝著傳統(tǒng)方法和空間向量的方法相結(jié)合解決問題的方向發(fā)展.從歷年的考題變化看, 以多面體和球體為載體的線面位置關(guān)系的論證,角與距離的探求是�？汲Ｐ碌臒衢T話題. 向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問題.

（一）空間垂直與平行

例1（2007遼寧卷）給出下列四個(gè)命題:

    ①垂直于同一直線的兩條直線互相平行.

②垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行.

③若直線與同一平面所成的角相等,則互相平行.

④若直線是異面直線,則與都相交的兩條直線是異面直線.

其中假命題的個(gè)數(shù)是

(A)1    (B)2    (C)3   (D)4

例2  （2007福建卷）對于平面和共面的直線m、n，下列命題中真命題是（    ）

A.若m⊥，m⊥n，則n∥       B.若m∥，n∥，則m∥n

C.若m，n∥，則m∥n       D.若m、n與所成的角相等，則n∥m

分析：本題主要考查直線與平面的平行、垂直的判定.

解析：由直線和平面的位置關(guān)系及所成角的有關(guān)知識(shí)知A、B、D都是錯(cuò)誤的，應(yīng)選C.

點(diǎn)評：熟練掌握線面平行和垂直的有關(guān)定理和結(jié)論是解決此類問題的關(guān)鍵.

例3  例（2007遼寧卷）已知正方形.、分別是、的中點(diǎn),將沿折起,如圖所示,記二面角的大小為.

(I) 證明平面;

(II)若為正三角形,試判斷點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是否在直線上,證明你的結(jié)論,并求角的余弦值.

（二）求空間的角

空間角的計(jì)算步驟：一作、二證、三算.

例1（2007江蘇卷）在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如圖1）.將△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A₁－EF－B成直二面角，連結(jié)A₁B、A₁P（如圖2）

（Ⅰ）求證：A₁E⊥平面BEP；

（Ⅱ）求直線A₁E與平面A₁BP所成角的大�。�

（Ⅲ）求二面角B－A₁P－F的大�。ㄓ梅慈�角函數(shù)表示）.

分析：本小題主要考查線面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，以及空間線面位置關(guān)系的證明、角和距離的計(jì)算等，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力.

點(diǎn)評：在立體幾何學(xué)習(xí)中,我們要多培養(yǎng)空間想象能力, 對于圖形的翻折問題,關(guān)健是利用翻折前后的不變量,二面角的平面角的適當(dāng)選取是立體幾何的核心考點(diǎn)之一.是高考數(shù)學(xué)必考的知識(shí)點(diǎn)之一.作,證,解,是我們求二面角的三步驟.作:作出所要求的二面角,證:證明這是我們所求二面角,并將這個(gè)二面角進(jìn)行平面化,置于一個(gè)三角形中,最好是直角三角形,利用我們解三角形的知識(shí)求二面角的平面角.向量的運(yùn)用也為我們拓寬了解決立體幾何問題的角度,不過在向量運(yùn)用過程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托題目的圖形,坐標(biāo)才會(huì)容易求得.

例2  (2007廣東卷)如圖所示，AF、DE分別是⊙O、⊙O₁的直徑.AD與兩圓所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直徑，AB＝AC＝6，OE//AD.

(Ⅰ)求二面角B―AD―F的大小；(Ⅱ)求直線BD與EF所成的角.

分析：本題主要考查異面直線所成的角及二面角的一般求法，綜合性較強(qiáng)，可利用傳統(tǒng)方法和空間向量的方法解決.

（三）求空間距離

空間中距離的求法是歷年高考考查的重點(diǎn)，其中以點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離為基礎(chǔ)，求其他幾種距離一般化歸為這三種距離.

空間中的距離主要指以下七種：(1)兩點(diǎn)之間的距離；(2)點(diǎn)到直線的距離；(3)點(diǎn)到平面的距離；(4)兩條平行線間的距離；(5)兩條異面直線間的距離；(6)平面的平行直線與平面之間的距離；(7)兩個(gè)平行平面之間的距離.

例1 （2007安徽卷）多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平面的距離可能是：

①3；     ②4；    ③5；    ④6；    ⑤7

以上結(jié)論正確的為______________.（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）

分析：可利用點(diǎn)到平面距離的定義及有關(guān)平面梯形中位線的知識(shí)求解.

解析：如圖，B、D、A₁到平面的距離分別為1、2、4，則D、A₁的中點(diǎn)到平面的距離為3，所以D₁到平面的距離為6；B、A₁的中點(diǎn)到平面的距離為，所以B₁到平面的距離為5；則D、B的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；C、A₁的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C₁到平面的距離為7；而P為C、C₁、B₁、D₁中的一點(diǎn)，所以選①③④⑤.

點(diǎn)評：從本題我們可以得出結(jié)論：一平面同側(cè)的平行四邊形相對頂點(diǎn)到這個(gè)平面的距離之和相等.

例2（2007福建卷）如圖，四面體ABCD中，O、E分別BD、BC的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2，

（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；

（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的大��；

（Ⅲ）求點(diǎn)E到平面ACD的距離.

分析：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.
點(diǎn)評：利用法向量及射影的方法求點(diǎn)到平面的距離是重要方法.

例3  （2007湖南卷）       如右圖，已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高都是2，AB=4.

   (Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD；

   (Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角；

   (Ⅲ)求點(diǎn)P到平面QAD的距離.

分析：本題主要考查線面垂直、異面直線所成角及點(diǎn)到平面距離的求法.

（四）多面體和球的面積和體積的計(jì)算

例1  （2007年福建卷）已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于  （ D）

       （A）　　　　（B）　

　　（C）　　　�。―）