(II)證明:點評:本小題主要考查數(shù)列.不等式等基本知識.考查化歸的數(shù)學思想方法.考查綜合解題能力.滿分14分. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

(2013•南昌)某數(shù)學活動小組在作三角形的拓展圖形,研究其性質時,經(jīng)歷了如下過程:
(1)操作發(fā)現(xiàn):在等腰△ABC中,AB=AC,分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的外側作等腰直角三角形,如圖1所示,其中DF⊥AB于點F,EG⊥AC于點G,M是BC的中點,連接MD和ME,則下列結論正確的是
①②③④
①②③④
(填序號即可)
①AF=AG=
12
AB;②MD=ME;③整個圖形是軸對稱圖形;④MD⊥ME.
(2)數(shù)學思考:在任意△ABC中,分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的外側作等腰直角三角形,如圖2所示,M是BC的中點,連接MD和ME,則MD和ME具有怎樣的數(shù)量關系?請給出證明過程;
(3)類比探究:
(i)在任意△ABC中,仍分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的內側作等腰直角三角形,如圖3所示,M是BC的中點,連接MD和ME,試判斷△MED的形狀.答:
等腰直角三角形
等腰直角三角形

(ii)在三邊互不相等的△ABC中(見備用圖),仍分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的內側作(非等腰)直角三角形ABD和(非等腰)直角三角形ACE,M是BC的中點,連接MD和ME,要使(2)中的結論此時仍然成立,你認為需增加一個什么樣的條件?(限用題中字母表示)并說明理由.

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我們運用圖中大正方形的面積可表示為(a+b)2,也可表示為c2+4(
1
2
ab),即(a+b)2=c2+4(
1
2
ab),由此推導出一個重要的結論,a2+b2=c2,這個重要的結論就是著名的“勾股定理”.這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推論或驗證數(shù)學規(guī)律和公式的方法,簡稱“無字證明”.

(1)請你用圖(II)的面積表達式驗證勾股定理(其中四個直角三角形的較大的直角邊長都為a,較小的直角邊長都為b,斜邊長都為c)
(2)請你用圖(III)提供的圖形組合成一個新的圖形,使組合成的圖形的面積表達式能夠驗證(x+y)2=x2+2xy+y2.畫出圖形并做適當標注.
(3)請你自己設計一個組合圖形,使它的面積能驗證:(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2,畫出圖形并做適當標注.

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已知:在△ABC中,∠ACB為銳角,點D為射線BC上一動點,連接AD,以AD為一邊且在AD的左側作等腰直角△ADE,解答下列各題:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°.
(i)當點D在線段BC上時(與點B不重合),如圖甲,線段BD,CE之間的位置關系為
BD⊥CE,且BD=CE.
BD⊥CE,且BD=CE.

(ii)當點D在線段BC的延長線上時,如圖乙,i)中的結論是否還成立?為什么?

(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°,點D在線段BC上運動.
試探究:當△ABC滿足一個什么條件時,BC⊥CE(點D不與點C,B重合)?試畫出相應圖形,寫出你的探究結果(不用證明).

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在學習勾股定理時,我們學會運用圖(I)驗證它的正確性;圖中大正方形的面積可表示為:
(a+b)2,也可表示為:c2+4•(
1
2
ab),
即(a+b)2=c2+4•(
1
2
ab)由此推出勾股定理a2+b2=c2,這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推論或驗證數(shù)學規(guī)律和公式的方法,簡稱“無字證明”.
精英家教網(wǎng)
(1)請你用圖(II)(2002年國際數(shù)字家大會會標)的面積表達式驗證勾股定理(其中四個直角三角形全等);
(2)請你用(III)提供的圖形進行組合,用組合圖形的面積表達式驗證(x+y)2=x2+2xy+y2;
(3)請你自己設計圖形的組合,用其面積表達式驗證:(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq.

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精英家教網(wǎng)I.計算:(
x+3
x2-3x
-
x-1
x2-6x+9
)÷
x-9
x

II.解分式方程:
x-2
x+2
-
16
x2-4
=
x+2
x-2

III.如圖,?ABCD中,點E、F在對角線AC上,且AE=CF,請你以F為一個端點,和圖中已標明字母的某一點連成一條新線段,猜想證明它和圖中已有的某一線段相等.(只須證明一組線段即可.)
(1)連接
 
;(2)猜想
 
=
 
;(3)寫出證明過程.

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