（2009•寶山區(qū)二模）小杰和他的同學組成了“愛琢磨”學習小組，有一次，他們碰到這樣一道題：
“已知正方形ABCD，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，則EG=FH“
經過思考，大家給出了以下兩個方案：
（甲）過點A作AM∥HF交BC于點M，過點B作BN∥EG交CD于點N；
（乙）過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N；
小杰和他的同學順利的解決了該題后，大家琢磨著想改變問題的條件，作更多的探索．
…
（1）對小杰遇到的問題，請在甲、乙兩個方案中任選一個，加以證明（如圖1）；

（2）如果把條件中的“正方形”改為“長方形”，并設AB=2，BC=3（如圖2），試探究EG、FH之間有怎樣的數(shù)量關系，并證明你的結論；
（3）如果把條件中的“EG⊥FH”改為“EG與FH的夾角為45°”，并假設正方形ABCD的邊長為1，F(xiàn)H的長為（如圖3），試求EG的長度．

（2009•寶山區(qū)二模）小杰和他的同學組成了“愛琢磨”學習小組，有一次，他們碰到這樣一道題：
“已知正方形ABCD，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，則EG=FH“
經過思考，大家給出了以下兩個方案：
（甲）過點A作AM∥HF交BC于點M，過點B作BN∥EG交CD于點N；
（乙）過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N；
小杰和他的同學順利的解決了該題后，大家琢磨著想改變問題的條件，作更多的探索．
…
（1）對小杰遇到的問題，請在甲、乙兩個方案中任選一個，加以證明（如圖1）；

（2）如果把條件中的“正方形”改為“長方形”，并設AB=2，BC=3（如圖2），試探究EG、FH之間有怎樣的數(shù)量關系，并證明你的結論；
（3）如果把條件中的“EG⊥FH”改為“EG與FH的夾角為45°”，并假設正方形ABCD的邊長為1，F(xiàn)H的長為（如圖3），試求EG的長度．

（1）填空：如圖1，在正△ABC中，M、N分別在BC、AC上，且BM=CN，連AM、BN交于點O，則∠AON=°
（2）填空：如圖2，在正方形PQRS中，已知點M、N分別在邊QR、RS上，且QM=RN，連接PN、SM相交于點O，則∠POM=°．
（3）如圖3，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC=CD，∠ABC=60°．以此為部分條件，構造一個與上述命題類似的正確命題并加以證明．
（4）在（1）的條件下，把直線AM平移到圖4的直線EOF位置，
①寫出所有與△BOF相似的三角形：
②若點N是AC中點，（其它條件不變）試探索線段EO與FO的數(shù)量關系，并說明理由．

（1）填空：如圖1，在正△ABC中，M、N分別在BC、AC上，且BM=CN，連AM、BN交于點O，則∠AON=______°
（2）填空：如圖2，在正方形PQRS中，已知點M、N分別在邊QR、RS上，且QM=RN，連接PN、SM相交于點O，則∠POM=______°．
（3）如圖3，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC=CD，∠ABC=60°．以此為部分條件，構造一個與上述命題類似的正確命題并加以證明．
（4）在（1）的條件下，把直線AM平移到圖4的直線EOF位置，
①寫出所有與△BOF相似的三角形：______
②若點N是AC中點，（其它條件不變）試探索線段EO與FO的數(shù)量關系，并說明理由．

（2002•蘇州）已知：⊙O₁與⊙O₂外切于點P，過點P的直線分別交⊙O₁、⊙O₂于點B、A，⊙O₁的切線BN交⊙O₂于點M、N，AC為⊙O₂的弦．
（1）如圖（1），設弦AC交BN于點D，求證：AP•AB=AC•AD；
（2）如圖（2），當弦AC繞點A旋轉，弦AC的延長線交直線BN于點D時，試問：AP•AB=AC•AD是否仍然成立？證明你的結論．