立體幾何的主要內(nèi)容是空間幾何體，點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系，空間向量與立體幾何．其考查內(nèi)容主要是空間兩直線的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系、兩平面的位置關(guān)系；異面直線所成的角、二面角、線面角；幾何體的表面積和體積、空間幾何體的三視圖和直觀圖等.其中線面平行與垂直判定定理與性質(zhì)定理、面面平行與垂直判定定理與性質(zhì)定理是考查的重點(diǎn).對(duì)于理科生來(lái)說，空間向量作為一種新的快捷有效的工具已被廣泛應(yīng)用于解決立體幾何綜合問題，是高考的焦點(diǎn)所在. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

一般來(lái)說立體幾何有兩個(gè)左右的選擇題或填空題和一道解答題，約20-25分，占整章試卷的15％. 選擇題或填空題考查的是空間幾何體和點(diǎn)線面位置關(guān)系的基本問題，與三視圖相結(jié)合考查是一種典型題型；解答題近年已成為一個(gè)較為固定的模式，以多面體（少數(shù)為旋轉(zhuǎn)題）為載體，考查點(diǎn)線面的位置關(guān)系的判斷推理，求空間角和距離，求有關(guān)最值和體積一般分步設(shè)問，難度逐漸增大，但都可以用基本方法解決，理科生要會(huì)用空間向量來(lái)解決這類問題.

立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容是柱錐臺(tái)球的表面積和體積，空間幾何體的三視圖和直觀圖，平面的基本性質(zhì)，空間線面位置關(guān)系，空間向量的基本問題，空間向量與立體幾何，特別是用空間向量解決立體幾何中的線面平行與垂直的證明，求解異面直線所成的角、二面角、線面角，以及簡(jiǎn)單的距離計(jì)算．

重點(diǎn)一：空間幾何體的三視圖、體積與表面積

【例1】 一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為直角三角形，邊長(zhǎng)如圖所示，那么這個(gè)幾何體的體積為（    ）

A.    B.      C.      D.

【分析】根據(jù)三個(gè)試圖可以知道這個(gè)幾何體是一個(gè)一條側(cè)棱和底面垂直，底面是直角三角形的三棱錐。

【解析】該幾何體是底面兩直角邊長(zhǎng)分別是的直角三角形，高為的三棱錐，故其體積為。

【點(diǎn)評(píng)】主試圖和側(cè)視圖的高就是實(shí)際幾何體的高。

【例2】已知一個(gè)幾何體是由上下兩部分構(gòu)成的組合體，其三視圖如下，若圖中圓的半徑為，等腰三角形的腰長(zhǎng)為，則該幾何體的體積是   （     ）

A.     B.   C.   D.

【分析】這個(gè)空間幾何體是一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組成的組合體，把其中的數(shù)量關(guān)系找出來(lái)按照?qǐng)A錐和球的體積計(jì)算公式計(jì)算就行．

【解析】A 這個(gè)幾何體是一個(gè)底面半徑為，高為的圓錐和一個(gè)半徑為的半球組成的組合體，故其體積為．

【點(diǎn)評(píng)】空間幾何體的三視圖是課標(biāo)高考的一個(gè)考點(diǎn)，主要考查方式之一就是根據(jù)三視圖還原到原來(lái)的空間幾何體，并進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算．

重點(diǎn)二：空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷

【例3 】已知、是不重合的直線，和是不重合的平面，有下列命題：

（1）若，∥，則∥；（2）若∥，∥，則∥；

（3）若，∥，則∥且∥；

（4）若，，則∥

其中真命題的個(gè)數(shù)是（   ）

Ａ．0   Ｂ．1       Ｃ．2   Ｄ．3

【 分析】（1）是假命題，如果一條直線平行于一個(gè)平面，該直線不與平面內(nèi)所有直線平行，只與部分直線平行；（2）是假命題，平行于同一直線的兩平面的位置關(guān)系不確定；（3）是假命題，因?yàn)?sub>可能為和內(nèi)的直線，則∥且∥不一定成立；（4）是真命題，垂直于同一直線的兩平面平行。

【解析】選Ｂ。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是有關(guān)線面關(guān)系命題的真假，所以通過利用定理來(lái)解決上述有關(guān)問題。

【例4】 在下列關(guān)于直線、與平面和的命題中，真命題的是（   ）

Ａ．若且，，則；

Ｂ．若且∥，則；

Ｃ．若且，則∥；

Ｄ．若且∥，則∥

【分析】高考中通常以選擇或填空的形式來(lái)考查垂直關(guān)系的判定。

顯然是錯(cuò)誤的；中可在平角內(nèi)，故∥錯(cuò)誤；中可在平角內(nèi)，故∥錯(cuò)誤；

【解析】選。

【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查的是想象能力和位置關(guān)系。

【例5】正方體中，對(duì)角線平面=，和交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)、、共線。

【分析】要證明若干點(diǎn)共線問題，只需要證明這些點(diǎn)同在兩個(gè)相交平面內(nèi)即可。

【證明】如圖所示，由∥，則確定平面。

平面，，平面。

又平面=，平面。

在平面與平面的交線上。

又，平面平面=，

，即、、三點(diǎn)共線。

【點(diǎn)評(píng)】該題的考向是點(diǎn)共線的問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，這樣就可以根據(jù)公理2證明這些點(diǎn)都是在這兩個(gè)平面的交線上。

重點(diǎn)三：空間線面位置關(guān)系的證明和角的計(jì)算

【例6】 是邊長(zhǎng)為正方體，計(jì)算下列問題：（1）與所成角的大�。唬�2）若

、、、為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，求，所成的角。

【分析】該題可以采用平移法，即將，平移到和即可。

【解析】（1）連，則∥，所以，則，即與所成角為；

（2）連，，則∥，∥，即為和所成的角，

因?yàn)?sub>為正三角形，=，即和所成的角為。

          圖2

【點(diǎn)評(píng)】掌握此類基本題的解法，也是反映同學(xué)們的立體幾何基礎(chǔ)。

【例7】如圖，四棱錐中，⊥底面，   ⊥．底面為梯形，，．，點(diǎn)在棱上，且．

（1）求證：平面⊥平面；

（2）求證：∥平面；

（3）（理）求平面和平面所成銳二面角的余弦值．

【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)平面垂直的判定定理，尋找一個(gè)面對(duì)一條直線垂直于另一個(gè)平面；（2）根據(jù)線面平行的判定定理，尋找線線平行；（3）可以利用傳統(tǒng)的方法作出二面角的平面角解決，也可以利用空間向量的方法解決。

【解析】（1）∵底面，∴．又，，∴⊥平面．           

 又平面，∴平面⊥平面．     

（2）∵底面， ∴,又，∴平面，∴．

在梯形中，由，，得，∴．

又，故為等腰直角三角形．∴．

連接，交于點(diǎn)，則    在中，，∴

又平面，平面，

∴∥平面．

（3）方法一：在等腰直角中，取中點(diǎn)，連結(jié)，則．∵平面⊥平面，且平面平面=，∴平面．

在平面內(nèi)，過作直線于，連結(jié)，由、，得平面，故．∴就是二面角的平面角．           

在中，設(shè)，則，，，，

由，可知：∽，∴，代入解得：．

在中，，∴，．

∴平面和平面所成銳二面角的余弦值為． 

方法二：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則，，，，．

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，∴，解得，∴．          

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，

又，，∴，解得，∴． ． ∴平面和平面所成銳二面角的余弦值為．

【點(diǎn)評(píng)】求二面角的平面角的方法通常有：一是根據(jù)線面垂直關(guān)系作出二面角的平面角，通過解三角形解決；二是用空間向量的方法來(lái)求解，方法是：求出兩個(gè)平面的法向量和，然后利用數(shù)量積公式計(jì)算出銳二面角，其公式為=，當(dāng)然考慮到二面角的取值范圍是，所以，二面角的平面角與這兩個(gè)平面的法向量的夾角相等或互補(bǔ)。

四 掃雷先鋒

錯(cuò)誤之一：概念理解錯(cuò)誤

【例8】空間四邊形ABCD中，AB＝CD且成的角，點(diǎn) M、N分別為BC 、AD的中點(diǎn)，求異面直線AB和MN成的角．

【錯(cuò)解】如圖所示，取AC的中點(diǎn)P，連PM，PN，MN。

∵ M、N分別為BC 、AD的中點(diǎn)，∴MP∥AB，且MP= AB ；NP∥CD，且NP=CD。

又AB=CD， 且AB，CD所成的角為， ∴MP=NP且直線MP于NP成角，∴ MPN=，即使等邊三角形， ∴PMN=，即直線AB和MN成的角為．

【剖析】上面的解法遺漏了當(dāng)直線PM與PN成角，而MPN=的情形，此時(shí)直線AB和MN所成角為．為防止遺漏或錯(cuò)誤，在解題過程中應(yīng)正確理解定義．

【點(diǎn)評(píng)】題目中的錯(cuò)誤，是同學(xué)們最易忽視的，有時(shí)看到一例題目，似乎會(huì)做，但是，不經(jīng)過縝密的思考，就會(huì)出現(xiàn)“千里之堤，潰于蟻穴”的慨嘆．

錯(cuò)誤之二：忽視分類討論錯(cuò)誤

【例9】點(diǎn)Ｍ是線段AB的中點(diǎn)，若A、B到平面的距離分別為4和6，則點(diǎn)M到平面的距離為――――――

【錯(cuò)解】如圖1，分別過點(diǎn)A、B、M作平面的垂線，，，MH，垂足分別為．

則線段，，MH的長(zhǎng)分別為點(diǎn)，A、B、M到平面的距離，由題設(shè)知，=4，=6，

 因此，MH=

【剖析】不少同學(xué)在解此類問題時(shí)，總認(rèn)為A、B在的同側(cè)，只注意檢驗(yàn)計(jì)算是否正確，并沒有發(fā)現(xiàn)異側(cè)的情況，缺乏分類討論的意識(shí)．事實(shí)上，如圖2 ，若A、B在異側(cè)，則MH=1．

【點(diǎn)評(píng)】分類討論是數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法，它在立體幾何中應(yīng)用非常廣泛．但不少同學(xué)不能正確的利用這種思想方法，經(jīng)常片面地考慮問題，使問題出現(xiàn)漏解．

五 規(guī)律總結(jié)

1.空間幾何體的三視圖“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的規(guī)律。

2.在計(jì)算空間幾何體體積時(shí)注意割補(bǔ)法的應(yīng)用。

3.注意多面體中的特征圖和旋轉(zhuǎn)體的軸截面在解題的應(yīng)用。

4.空間平行與垂直關(guān)系的關(guān)系的證明要注意轉(zhuǎn)化：線線平行線面平行面面平行，線線垂直線面垂直面面垂直。

5．求異面直線所成的角的方法

（文科）求異面直線所成的角的最關(guān)鍵是要找出一個(gè)點(diǎn)，把其作為角的頂點(diǎn)，然后把兩條直線“平行平移”過來(lái)，這個(gè)角就完成了。這個(gè)點(diǎn)有時(shí)很好找，中點(diǎn)、交點(diǎn)、對(duì)稱點(diǎn)等。若用平移轉(zhuǎn)化煩瑣或無(wú)法平移時(shí)，可考慮是否異面垂直，即可通過證明垂直的位置關(guān)系得到90°的數(shù)量關(guān)系。

（理科）利用空間向量法：=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）。

6．直線與平面所成的角

（文科）在斜線上找到任意一點(diǎn)，過該點(diǎn)向平面作垂線，找到斜線在該平面上的射影，則斜線和射影所成的角便是直線與平面所成的角。

（理科）直線與平面所成角(為平面的法向量).

7．（理科）二面角

方法一：常見的方法有三垂線定理法和垂面法；

方法二：向量法：二面角的平面角或（，為平面， 的法向量）。

8．（理科）空間距離

（1）點(diǎn)與點(diǎn)的距離、點(diǎn)到直線的距離，一般用三垂線定理“定性”；

（2）給出公垂線的兩條異面直線的距離，先進(jìn)行論證（先定性），后計(jì)算（后定量）；

（3）線面距、面面距都轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距；

（4）求點(diǎn)面距： （為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）。

  六 能力突破

 例1    如圖在直三棱柱ADE-BCF中,面ABFE和面ABCD都為正方形,且互相垂直, M為AB的中點(diǎn), O為DF中點(diǎn).

  （1）求證：OM∥平面BCF ;

  （2）求證：平面MDF⊥平面EFCD ;

  （3）（理科）求二面角F-DM-C的正切值。

【分析】問題（1）是證明線面平行，則可以利用線面

平行的判定定理；問題（2）是證明面面垂直，方法

比較多，當(dāng)然最好的辦法是用線面垂直的判定定理來(lái)證明。

 【解析】（1）取FC的中點(diǎn)G , 連結(jié)OG、BG�！逴為DF的中點(diǎn), ∴OG//DC且OG=DC .

 在正方形ABCD中, M為AB中. ∴MB//DC且MB=DC. ∴OG//MB且OG=MB，

 ∴四邊形OMBG為平行四邊形. ∴OM//BG , 又∵BG平面BFC , OM平面BFC， ∴OM//平面BCF.

（2）在直三棱柱ADE-BCF中, DC⊥平面BCF, ∴DC⊥BG , 在等腰△FBC中,

∵BF=BC, ∴G為FC的中點(diǎn), ∴BG⊥FC , ∴BG⊥平面EFCD. 又∵OM//BG ,

∴OM⊥平面EFCD. 又∵OM平面MDF, ∴平面MDF⊥平面EFCD.

（3）過B作BH⊥DM交DM的延長(zhǎng)線于H , 連結(jié)FH .

∵平面EFBA⊥平面ABCD, FB⊥AB.  ∴FB⊥平面ABCD .

∴BH為FN在平面ABCD上的射影.  ∴FH⊥DH (三垂線定理).

∴∠FHB為二面角F-DM-C的平面角, 設(shè)AB=1 ,

則BH=BMsin∠AMD=，∴tan∠FHB=.   ∴二面角F-DM-C的正切值為。

【點(diǎn)評(píng)】該題主要是能夠熟練應(yīng)用判定定理來(lái)證明相關(guān)的問題，因此要熟悉定理并能靈活應(yīng)用。

【例2】 如圖, 己知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形, AD//BC , ∠BCD=90°, PA=PB, PC=PD。

（1）證明: CD與平面PAD不垂直；

（2）證明：平面PAB⊥平面ABCD；

（3）（理科）如果CD=AD+BC , 二面角P-BC-A等于60°, 求二面角P-CD-A的大小。

【分析】問題（1）需要利用反證法來(lái)證明，問題（2）仍用面面垂直的判定定理來(lái)證明。

【解析】（1）若CD⊥平面PAD, 則CD⊥PD, 由己知PC=PD得∠PCD=∠PDC<90°, 這與CD⊥PD矛盾,所以CD與平面QAD不垂直.

（2）取AB、CD的中點(diǎn)E、F , 連結(jié)PE、PF、EF, EF為

直角梯形的中位線, EF⊥CD.

由PA=PB , PC=PD得 PE⊥AB. 又PF∩EF=F

∴CD⊥平面PEF , 由PE平面PEF 得 CD⊥PE ,

又AB⊥PE且梯形兩腰AB、CD必相交。

∴PE⊥平面ABCD, 又PE平面PAB , ∴平面PAB⊥平面ABCD.

（3）由（2）及二面角定義可知∠PFE為二面角P-CD-A的平面角. 作EG⊥BC于G , 連PG.

   ∴BC⊥PG. ∴∠PGE為二面角P-CD-A的平面角, 即∠PGE=60°.

  由己知 得 EF=(AD+BC)= CD.   又EG=CF=CD.  ∴EF=EG。

  易證得R_t△PEF≌R_t△PEG , ∴∠PFE=∠PGE =60°即為所求。

【點(diǎn)評(píng)】會(huì)添加輔助線，并注意一定的邏輯推理，這是立體幾何大題的解題所應(yīng)該注意的地方。

【例3】已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)。

（1）證明：面PAD⊥面PCD；

（2）求AC與PB所成的角余弦值；

（3）（理科）求面AMC與面BMC所成二面角的余弦值。

【分析】本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角和二面角的有關(guān)知識(shí)及思維能力和空間想象能力.考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力。

【解析】方法一：

（1）證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂線定理得：CD⊥PD。因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD。又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.

（2）解：過點(diǎn)B作BE//CA，且BE=CA，則∠PBE是AC與PB所成的角.

連結(jié)AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四邊形ACBE為正方形.  由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°，在Rt△PEB中BE=，PB=， 。

（3）解：作AN⊥CM，垂足為N，連結(jié)BN。在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC,∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角.

∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM。

在等腰三角形AMC中，AN?MC=，

.    ∴AB=2，

方法二：（理科）因?yàn)镻A⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.