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題目列表(包括答案和解析)

動(dòng)物中的數(shù)學(xué)“天才”

  蜜蜂蜂房是嚴(yán)格的六角柱狀體,它的一端是平整的六角形開口,另一端是封閉的六角菱錐形的底,由三個(gè)相同的菱形組成.組成底盤的菱形的鈍角為109度28分,所有的銳角為70度32分,這樣既堅(jiān)固又省料.蜂房的巢壁厚0.073毫米,誤差極。

  丹頂鶴總是成群結(jié)隊(duì)遷飛,而且排成“人”字形.“人”字形的角度是110度.更精確地計(jì)算還表明“人”字形夾角的一半——即每邊與鶴群前進(jìn)方向的夾角為54度44分8秒!而金剛石結(jié)晶體的角度正好也是54度44分8秒!是巧合還是某種大自然的“默契”?

  蜘蛛結(jié)的“八卦”形網(wǎng),是既復(fù)雜又美麗的八角形幾何圖案,人們即使用直尺的圓規(guī)也很難畫出像蜘蛛網(wǎng)那樣勻稱的圖案.

  冬天,貓睡覺(jué)時(shí)總是把身體抱成一個(gè)球形,這其間也有數(shù)學(xué),因?yàn)榍蛐问股眢w的表面積最小,從而散發(fā)的熱量也最少.

  真正的數(shù)學(xué)“天才”是珊瑚蟲.珊瑚蟲在自己的身上記下“日歷”,它們每年在自己的體壁上“刻畫”出365條斑紋,顯然是一天“畫”一條.奇怪的是,古生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)3億5千萬(wàn)年前的珊瑚蟲每年“畫”出400幅“水彩畫”.天文學(xué)家告訴我們,當(dāng)時(shí)地球一天僅21.9小時(shí),一年不是365天,而是400天.

1.同學(xué)們,大自然中有許多有關(guān)數(shù)學(xué)的奧妙,許多現(xiàn)象有意無(wú)意地應(yīng)用著數(shù)學(xué),對(duì)于這些現(xiàn)象你有什么看法嗎?請(qǐng)你談?wù)勀銓?duì)大自然中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí).

2.把你發(fā)現(xiàn)的大自然中的數(shù)學(xué)問(wèn)題告訴你的同學(xué)和老師,讓他們也分享一下你認(rèn)識(shí)大自然的樂(lè)趣.

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如圖,,,…,,…是曲線上的點(diǎn),,,…,,…是軸正半軸上的點(diǎn),且,…,,… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形(為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)寫出、之間的等量關(guān)系,以及、之間的等量關(guān)系;

(2)求證:);

(3)設(shè),對(duì)所有,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【解析】第一問(wèn)利用有,得到

第二問(wèn)證明:①當(dāng)時(shí),可求得,命題成立;②假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立,即有則當(dāng)時(shí),由歸納假設(shè)及,

第三問(wèn) 

.………………………2分

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),最大為,即

解:(1)依題意,有,,………………4分

(2)證明:①當(dāng)時(shí),可求得,命題成立; ……………2分

②假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立,即有,……………………1分

則當(dāng)時(shí),由歸納假設(shè)及,

解得不合題意,舍去)

即當(dāng)時(shí),命題成立.  …………………………………………4分

綜上所述,對(duì)所有,.    ……………………………1分

(3) 

.………………………2分

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),最大為,即

.……………2分

由題意,有. 所以,

 

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