如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點(diǎn)，，是線段的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的大�。�

【解析】本試題主要考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理，以及二面角的求解的運(yùn)用。中利用，又平面，平面，∴平面由，，又，∴平面． 可得證明

（3）因為∴為面的法向量．∵，，

∴為平面的法向量．∴利用法向量的夾角公式，，

∴與的夾角為，即二面角的大小為．

方法一：解:（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．連接，則點(diǎn)、，

∴，又點(diǎn)，，∴

∴，且與不共線，∴．

又平面，平面，∴平面．…………………4分

（Ⅱ）∵，

∴，，即，，

又，∴平面．   ………8分

（Ⅲ）∵，，∴平面，

∴為面的法向量．∵，，

∴為平面的法向量．∴，

∴與的夾角為，即二面角的大小為

 

如圖，是△的重心，、分別是邊、上的動點(diǎn)，且、、三點(diǎn)共線．

（1）設(shè)，將用、、表示；

（2）設(shè)，，證明：是定值；

（3）記△與△的面積分別為、．求的取值范圍．

（提示：

【解析】第一問中利用（1）

第二問中，由（1），得；①

另一方面，∵是△的重心，

∴

而、不共線，∴由①、②，得

第三問中，

由點(diǎn)、的定義知，，

且時，；時，．此時，均有．

  時，．此時，均有．

以下證明：，結(jié)合作差法得到。

解：（1）

．

（2）一方面，由（1），得；①

另一方面，∵是△的重心，

∴．  ②

而、不共線，∴由①、②，得 

解之，得，∴（定值）．

（3）．

由點(diǎn)、的定義知，，

且時，；時，．此時，均有．

  時，．此時，均有．

以下證明：．（法一）由（2）知，

∵，∴．

∵，∴．

∴的取值范圍

 

設(shè)是兩個不共線的非零向量.

（1）若=，=，=，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；

（2）試求實數(shù)k的值，使向量和共線. (本小題滿分13分)

【解析】第一問利用=（）+（）+==得到共線問題。

第二問，由向量和共線可知

存在實數(shù)，使得=()

=，結(jié)合平面向量基本定理得到參數(shù)的值。

解：（1）∵=（）+（）+

==    ……………3分

∴      ……………5分

又∵∴A，B，D三點(diǎn)共線   ……………7分

（2）由向量和共線可知

存在實數(shù)，使得=()   ……………9分

∴=   ……………10分

又∵不共線

∴  ……………12分

解得

 

在面積為9的正方形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則能使的面積大于的概率是_________．

【答案】

【解析】 要使的面積大于，需滿足點(diǎn)P到AB的距離大于1,且點(diǎn)P在正方形內(nèi)，即點(diǎn)P應(yīng)在四邊形EFCD內(nèi)，所以概率為。

已知曲線C:(m∈R)

（1）   若曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓，求m的取值范圍；

（2）     設(shè)m=4，曲線c與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點(diǎn)M、N,直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G.求證：A，G，N三點(diǎn)共線。

【解析】（1）曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，當(dāng)且僅當(dāng)解得，所以m的取值范圍是

(2)當(dāng)m=4時，曲線C的方程為，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為，

由，得

因為直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)，所以

即

設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，則

直線BM的方程為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為

因為直線AN和直線AG的斜率分別為

所以

即,故A，G，N三點(diǎn)共線。