(1)求橢圓的方程;
(2)求m的取值范圍;
(3)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.
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解:(1)設(shè)橢圓方程為
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則
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∴橢圓方程為 (2)∵直線l平行于OM,且在y軸上的截距為m
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又KOM=
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……………………………………………………5分
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由……………………………………6分 ∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點,
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(3)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1,k2,只需證明k1+k2=0即可…………9分
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設(shè)……………………10分
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則
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由
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……………………………………………………10分
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而
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故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.……………………14分
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(1)求證:當(dāng)時.,;
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(2)若當(dāng)時有,求橢圓C的方程;
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(3)在(2)的條件下,當(dāng)M、N兩點在橢圓C運動時,當(dāng) 的值為6時, 求出直線MN的方程.
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解:(1)設(shè),
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則,
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當(dāng)時,,
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由M,N兩點在橢圓上,
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。(5分)
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(2)當(dāng)時,不妨設(shè) (6分)
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又,, (8分)
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橢圓C的方程為。 (9分)
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(3)因為=6, (10分)
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由(2)知點F(2,0), 所以|AF|=6, 即得|yM-yN|= (11分)
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當(dāng)MN⊥x軸時, |yM-yN|=|MN|=, 故直線MN的斜率存在,
(12分)
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不妨設(shè)直線MN的方程為
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聯(lián)立,得,
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=, 解得k=±1。
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此時,直線的MN方程為,或。 (14分)
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(Ⅰ)求動點的軌跡的方程;
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則
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(1)―(2)得,即,……………………………………9分
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代入方程,解得.
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所以點M的坐標(biāo)為.……………………………………10分
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同理可得:的坐標(biāo)為.
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直線的斜率為,方程為
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,整理得,………………12分
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顯然,不論為何值,均滿足方程,
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(Ⅰ)求動點的軌跡的方程;
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解:(Ⅰ)依題意,有(),化簡得
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(),
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這就是動點的軌跡的方程;
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,
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兩式相減,得,由此得點的軌跡方程為
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().
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,
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40、(廣東省四校聯(lián)合體第一次聯(lián)考)已知雙曲線的中心在原點,焦點F1、F2在坐標(biāo)軸上,離心率為且過點(4,-) (1)求雙曲線方程; (2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:點M在以F1F2為直徑的圓上; (3)求△F1MF2的面積.
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解:(1) ∵離心率e=
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∴設(shè)所求雙曲線方程為x2-y2=(≠0)
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則由點(4,-)在雙曲線上
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知=42-(-)2=6 ∴雙曲線方程為x2-y2=6 (2)若點M(3,m)在雙曲線上 則32-m2=6 ∴m2=3
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由雙曲線x2-y2=6知F1(2,0),F2(-2,0)
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∴
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∴,故點M在以F1F2為直徑的雙曲線上.
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41、(廣東省五校2008年高三上期末聯(lián)考)橢圓C的中心為坐標(biāo)原點O,焦點在y軸上,離心率e
= ,橢圓上的點到焦點的最短距離為1-e, 直線l與y軸交于點P(0,m),與橢圓C交于相異兩點A、B,且. (1)求橢圓方程;
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(2)若,求m的取值范圍. 解:(1)設(shè)C:+=1(a>b>0),設(shè)c>0,c2=a2-b2,由條件知a-c=,=, ∴a=1,b=c=, 故C的方程為:y2+=1 ………………………………………4分 (2)由=λ得-=λ(-),(1+λ)=+λ, ∴λ+1=4,λ=3
………………………………………………6分 設(shè)l與橢圓C交點為A(x1,y1),B(x2,y2) 得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0 Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0
(*) x1+x2=, x1x2= ………………………………………………9分 ∵=3 ∴-x1=3x2 ∴ 消去x2,得3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴3()2+4=0 整理得4k2m2+2m2-k2-2=0 ………………………………………………11分 m2=時,上式不成立;m2≠時,k2=, 因λ=3
∴k≠0 ∴k2=>0,∴-1<m<- 或 <m<1 容易驗證k2>2m2-2成立,所以(*)成立 即所求m的取值范圍為(-1,-)∪(,1) ………………………14分
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42、(貴州省貴陽六中、遵義四中2008年高三聯(lián)考)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4、且位于x軸上方的點,A到拋物線準線的距離等于5,過A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點為M.
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(1)求拋物線方程;
(2)過M作MN⊥FA,垂足為N,求點N的坐標(biāo)。
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解:(1)拋物線y2=2px的準線為x= -,于是4+=5,∴p=2.
∴拋物線方程為y2=4x……6分
(2)∵點A是坐標(biāo)是(4,4), 由題意得B(0,4),M(0,2),
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又∵F(1,0),∴kFA=;MN⊥FA,∴kMN=-,
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則FA的方程為y=(x-1),MN的方程為y-2= -x,
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y-2= -x y=
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∴N的坐標(biāo)(,)…….12分
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解:(1)設(shè)∵,
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∴,2分
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由
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∴
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44、(河北衡水中學(xué)2008年第四次調(diào)考)已知曲線的方程為:
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(1)若曲線是橢圓,求的取值范圍;
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(2)若曲線是雙曲線,且有一條漸近線的傾斜角為,求此雙曲線的方程.
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解:(1)當(dāng)
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它表示橢圓的充要條件是
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(2)方程表示雙曲線的充要條件是:
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當(dāng)
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其一條漸近線斜率為:
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此時雙曲線的方程為:
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當(dāng),雙曲線焦點在y軸上:
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其一條漸近線斜率為:
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綜上可得雙曲線方程為:
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45、(河北衡水中學(xué)2008年第四次調(diào)考)如圖所示,已知圓,定點A(3,0),M為圓C上一動點,點P在AM上,點N在CM上,且滿足,點N的軌跡為曲線E。
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(1)求曲線E的方程;
(2)求過點Q(2,1)的弦的中點的軌跡方程。
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解:(1)∵
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又因為,所以
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且
…………4分
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所以曲線的方程為:; …………6分
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(2)設(shè)直線與橢圓交與兩點,中點為
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由點差法可得:弦的斜率…………8分
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由,Q(2,1)兩點可得弦的斜率為,…………10分
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所以,
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化簡可得中點的軌跡方程為: …………12分
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46、(河北衡水中學(xué)2008年第四次調(diào)考)已知平面上一定點C(4,0)和一定直線為該平面上一動點,作,垂足為Q,且. (1)問點P在什么曲線上?并求出該曲線的方程;
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(2)設(shè)直線與(1)中的曲線交于不同的兩點A、B,是否存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點D(0,-2)?若存在,求出k的值,若不存在,說明理由.
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解:(1)設(shè)P的坐標(biāo)為,由得
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(2分) ∴((4分)
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化簡得 ∴P點在雙曲線上,其方程為(6分)
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(2)設(shè)A、B點的坐標(biāo)分別為、,
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由 得(7分)
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,(8分)
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∵AB與雙曲線交于兩點,∴△>0,即
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解得(9分)
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∵若以AB為直徑的圓過D(0,-2),則AD⊥BD,∴,
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即,(10分)
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∴
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∴
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解得,故滿足題意的k值存在,且k值為.
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(3)設(shè)C2與x軸交于點Q,不同的兩點R,S在C2上,且滿足,求的取值范圍. 解:(本小題滿分12分)
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解:(1),
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∵直線l:x-y+2=0與圓x2+y2=b2相切,∴=b,∴b=,b2=2,∴a3=3. ∴橢圓C1的方程是 ……………………………….(3分) (2)∵MP=MF, ∴動點M到定直線l1:x=-1的距離等于它的定點F2(1,0)的距離, ∴動點M的軌跡是以l1為準線,F(xiàn)2為焦點的拋物線,
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∴點M的軌跡C2的方程為。 ………………………………………….(7分)
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(3)Q(0,0),設(shè),
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,
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由得 ,
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當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,
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,又∵y22≥64,
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∴當(dāng).
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故的取值范圍是.…………………………………………….(12分)
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48、已知橢圓是橢圓上縱坐標(biāo)不為零的兩點,若其中F為橢圓的左焦點. (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)求線段AB的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍. 解:(Ⅰ)由已知,得
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………4分
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(Ⅱ)∵A、B是橢圓上縱坐標(biāo)不為零的點,
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∴A、F、B三點共線,且直線AB的斜率存在且不為0.
試題詳情
又F(-1,0),則可記AB方程為并整理得
試題詳情
……………………………………6分
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顯然△>0,設(shè)
試題詳情
……………………8分
試題詳情
直線AB的垂直平分線方程為
試題詳情
令x=0,得……………………………………10分
試題詳情
∵“=”號,
試題詳情
∴,
試題詳情
所以所求的取值范圍是……………………………………12分
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(1)求證:為定值;
試題詳情
(2)若,求動點的軌跡方程.
試題詳情
解:(1)設(shè)直線AB:
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由得
試題詳情
…………………………………….3分
試題詳情
…………………………………………………………………………………………….7分
試題詳情
(2),所以四邊形BOAM是平行四邊形
試題詳情
……………………………………………………………….9分
試題詳情
、
試題詳情
、
試題詳情
由①②及……………………………………………..13分
試題詳情
…………14分
試題詳情
50、(山東省鄆城一中2007-2008學(xué)年第一學(xué)期期末考試)在直角坐標(biāo)系中,已知一個圓心在坐標(biāo)原點,半徑為2的圓,從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段PP′,P′為垂足. (1)求線段PP′中點M的軌跡C的方程;
試題詳情
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解:(1)設(shè)M(x,y)是所求曲線上的任意一點,P(x1,y1)是方程x2 +y2
=4的圓上的任意一點,則
試題詳情
則有:得,
試題詳情
軌跡C的方程為 (1)當(dāng)直線l的斜率不存在時,與橢圓無交點.
試題詳情
所以設(shè)直線l的方程為y = k(x+2),與橢圓交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點,N點所在直線方程為
試題詳情
由
試題詳情
由△=
試題詳情
即 …
試題詳情
即,∴四邊形OANB為平行四邊形
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假設(shè)存在矩形OANB,則,即,
試題詳情
即,
試題詳情
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即點N在直線上.
試題詳情
∴存在直線l使四邊形OANB為矩形,直線l的方程為
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