由--------------6分∵直線l與橢圓交于A.B兩個(gè)不同點(diǎn). 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,焦點(diǎn)是,點(diǎn)到直線的距離為,過(guò)點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn),使得.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;           (2)求直線l的方程.

【解析】(1)中利用點(diǎn)F1到直線x=-的距離為可知-.得到a2=4而c=,∴b2=a2-c2=1.

得到橢圓的方程。(2)中,利用,設(shè)出點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2).,借助于向量公式再利用 A、B在橢圓+y2=1上, 得到坐標(biāo)的值,然后求解得到直線方程。

解:(1)∵F1到直線x=-的距離為,∴-.

∴a2=4而c=,∴b2=a2-c2=1.

∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,∴所求橢圓的方程為+y2=1.……4分

(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2).由第(1)問(wèn)知

,

……6分

∵A、B在橢圓+y2=1上,

……10分

∴l(xiāng)的斜率為.

∴l(xiāng)的方程為y=(x-),即x-y-=0.

 

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已知中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,2),且拋物線的焦點(diǎn)為F1.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時(shí),求直線l的方程和圓P的方程.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。第一問(wèn)中,設(shè)出橢圓的方程,然后結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得到,又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120259226615718_ST.files/image003.png">,這樣可知得到。第二問(wèn)中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到

,再利用可以結(jié)合韋達(dá)定理求解得到m的值和圓p的方程。

解:(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為

①………………………………1分

  ②………………2分

  ③       由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分

所以橢圓E的方程為…………………………4分

(Ⅱ)依題意,直線OC斜率為1,由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m,……………5分

 代入橢圓E方程,得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    當(dāng)m=3時(shí),直線l方程為y=-x+3,此時(shí),x1 +x2=4,圓心為(2,1),半徑為2,

圓P的方程為(x-2)2+(y-1)2=4;………………………………11分

同理,當(dāng)m=-3時(shí),直線l方程為y=-x-3,

圓P的方程為(x+2)2+(y+1)2=4

 

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已知點(diǎn)P在橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),滿足|PF1|=6-|PF2|,且橢圓C的離心率為
5
3

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)Q(1,0)且不與x軸垂直的直線l與橢圓C相交于兩個(gè)不同點(diǎn)M、N,在x軸上是否存在定點(diǎn)G,使得
GM
GN
為定值.若存在,求出所有滿足這種條件的點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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已知點(diǎn)P在橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),滿足|PF1|=6-|PF2|,且橢圓C的離心率為
5
3

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)Q(1,0)且不與x軸垂直的直線l與橢圓C相交于兩個(gè)不同點(diǎn)M、N,在x軸上是否存在定點(diǎn)G,使得
GM
GN
為定值.若存在,求出所有滿足這種條件的點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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