題目列表(包括答案和解析)
已知曲線上動點到定點與定直線的距離之比為常數(shù).
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)若過點引曲線C的弦AB恰好被點平分,求弦AB所在的直線方程;
(3)以曲線的左頂點為圓心作圓:,設圓與曲線交于點與點,求的最小值,并求此時圓的方程.
【解析】第一問利用(1)過點作直線的垂線,垂足為D.
代入坐標得到
第二問當斜率k不存在時,檢驗得不符合要求;
當直線l的斜率為k時,;,化簡得
第三問點N與點M關于X軸對稱,設,, 不妨設.
由于點M在橢圓C上,所以.
由已知,則
,
由于,故當時,取得最小值為.
計算得,,故,又點在圓上,代入圓的方程得到.
故圓T的方程為:
已知點為圓上的動點,且不在軸上,軸,垂足為,線段中點的軌跡為曲線,過定點任作一條與軸不垂直的直線,它與曲線交于、兩點。
(I)求曲線的方程;
(II)試證明:在軸上存在定點,使得總能被軸平分
【解析】第一問中設為曲線上的任意一點,則點在圓上,
∴,曲線的方程為
第二問中,設點的坐標為,直線的方程為, ………………3分
代入曲線的方程,可得
∵,∴
確定結(jié)論直線與曲線總有兩個公共點.
然后設點,的坐標分別, ,則,
要使被軸平分,只要得到。
(1)設為曲線上的任意一點,則點在圓上,
∴,曲線的方程為. ………………2分
(2)設點的坐標為,直線的方程為, ………………3分
代入曲線的方程,可得 ,……5分
∵,∴,
∴直線與曲線總有兩個公共點.(也可根據(jù)點M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論)
………………6分
設點,的坐標分別, ,則,
要使被軸平分,只要, ………………9分
即,, ………………10分
也就是,,
即,即只要 ………………12分
當時,(*)對任意的s都成立,從而總能被軸平分.
所以在x軸上存在定點,使得總能被軸平分
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