題目列表(包括答案和解析)
(12分)圓、橢圓、雙曲線都有對稱中心,統(tǒng)稱為有心圓錐曲線,它們統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)方程為.圓的很多優(yōu)美性質(zhì)可以類比推廣到有心圓錐曲線中,如圓的“垂徑定理”的逆定理:圓的平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦. 類比推廣到有心圓錐曲線:已知直線與曲線:交于兩點,的中點為,若直線和(為坐標(biāo)原點)的斜率都存在,則.這個性質(zhì)稱為有心圓錐曲線的“垂徑定理”.
(Ⅰ)證明有心圓錐曲線的“垂徑定理”;
(Ⅱ)利用有心圓錐曲線的“垂徑定理”解答下列問題:
① 過點作直線與橢圓交于兩點,求的中點的軌跡的方程;
② 過點作直線與有心圓錐曲線交于兩點,是否存在這樣的直線使點為線段的中點?若存在,求直線的方程;若不存在,說明理由.
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