題目列表(包括答案和解析)
已知中心在原點O,焦點F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)過點C(2,2),且拋物線的焦點為F1.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點,當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時,求直線l的方程和圓P的方程.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。第一問中,設(shè)出橢圓的方程,然后結(jié)合拋物線的焦點坐標(biāo)得到,又因為,這樣可知得到。第二問中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到
,再利用可以結(jié)合韋達定理求解得到m的值和圓p的方程。
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為
①………………………………1分
②………………2分
③ 由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分
所以橢圓E的方程為…………………………4分
(Ⅱ)依題意,直線OC斜率為1,由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m,……………5分
代入橢圓E方程,得…………………………6分
………………………7分
、………………8分
………………………9分
……………………………10分
當(dāng)m=3時,直線l方程為y=-x+3,此時,x1 +x2=4,圓心為(2,1),半徑為2,
圓P的方程為(x-2)2+(y-1)2=4;………………………………11分
同理,當(dāng)m=-3時,直線l方程為y=-x-3,
圓P的方程為(x+2)2+(y+1)2=4
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
5 |
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|
定義:關(guān)于x的不等式|x-A|<B的解集叫A的B鄰域.
已知a+b-2的a+b鄰域為區(qū)間(-2,8),其中a、b分別為橢圓+=1的長半軸長和短半軸長,若此橢圓的一焦點與拋物線y2=4x的焦點重合,則橢圓的方程為( )
(A) +=1 (B) +=1
(C) +=1 (D) +=1
過拋物線的對稱軸上的定點,作直線與拋物線相交于兩點.
(I)試證明兩點的縱坐標(biāo)之積為定值;
(II)若點是定直線上的任一點,試探索三條直線的斜率之間的關(guān)系,并給出證明.
【解析】本題主要考查拋物線與直線的位置關(guān)系以及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.
(1)中證明:設(shè)下證之:設(shè)直線AB的方程為: x=ty+m與y2=2px聯(lián)立得消去x得y2=2pty-2pm=0,由韋達定理得
(2)中:因為三條直線AN,MN,BN的斜率成等差數(shù)列,下證之
設(shè)點N(-m,n),則直線AN的斜率KAN=,直線BN的斜率KBN=
KAN+KBN=+
本題主要考查拋物線與直線的位置關(guān)系以及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.
已知曲線C:(m∈R)
(1) 若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓,求m的取值范圍;
(2) 設(shè)m=4,曲線c與y軸的交點為A,B(點A位于點B的上方),直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點M、N,直線y=1與直線BM交于點G.求證:A,G,N三點共線。
【解析】(1)曲線C是焦點在x軸上的橢圓,當(dāng)且僅當(dāng)解得,所以m的取值范圍是
(2)當(dāng)m=4時,曲線C的方程為,點A,B的坐標(biāo)分別為,
由,得
因為直線與曲線C交于不同的兩點,所以
即
設(shè)點M,N的坐標(biāo)分別為,則
直線BM的方程為,點G的坐標(biāo)為
因為直線AN和直線AG的斜率分別為
所以
即,故A,G,N三點共線。
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