集合部分的考點主要是集合之間的關(guān)系和集合的交并補運算，重點掌握集合的表示法和用圖示法表示集合之間的關(guān)系；簡易邏輯部分的考點主要是邏輯聯(lián)結(jié)詞、四種命題和充要條件，重點掌握充要條件和含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m       

根據(jù)考試大綱的要求，結(jié)合2008年高考的命題情況，我們可以預(yù)測2009年集合與簡易邏輯部分在選擇、填空和解答題中都有涉及，高考命題熱點有以下兩個方面：一是集合的運算、集合的有關(guān)述語和符號、集合的簡單應(yīng)用、判斷命題的真假、四種命題的關(guān)系、充要條件的判定等作基礎(chǔ)性的考查，題型多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)；二是以函數(shù)、方程、三角、不等式等知識為載體，以集合的語言和符號為表現(xiàn)形式，結(jié)合簡易邏輯知識考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)能力，題型常以解答題的形式出現(xiàn)

集合是每年高考的必考內(nèi)容，主要從兩個方面考查:一方面，考查對集合概念的認(rèn)識和理解，如對集合中涉及的特定字母和符號、元素與集合間的關(guān)系，集合與集合間的比較；另一方面，考查對集合的知識應(yīng)用以及利用集合解決問題的能力．

    簡易邏輯主要是考查命題與命題間的邏輯關(guān)系以及判斷、推理能力，其中對于充要條件的考查方式非常靈活，其試題內(nèi)容多結(jié)合其他章節(jié)的內(nèi)容來命制．

下面結(jié)合2008年高考試題，對集合與簡易邏輯這部分內(nèi)容的考點加以透析：

考點一  對集合中有關(guān)概念的考查

例1 （2008廣東卷文1）第二十九屆夏季奧林匹克運動會將于2008年8月8日在北京舉行，若集合A={參加北京奧運會比賽的運動員}，集合B={參加北京奧運會比賽的男運動員}，集合C={參加北京奧運會比賽的女運動員}，則下列關(guān)系正確的是                   （    ）

A．AB                      B．BC             C．A∩B=C           D．B∪C=A

分析：本例主要考查子集的概念及集合的運算．

解析：易知選D．

點評：本題是典型的送分題，對于子集的概念，一定要從元素的角度進(jìn)行理解．集合與集合間的關(guān)系，尋根溯源還是元素間的關(guān)系．

考點二  對集合性質(zhì)及運算的考查

例2．（2008 湖南卷文1）已知，，，則   (    )

A．    B．     C．    D．

分析：本題主要考查集合的并、交、補的運算以及集合間關(guān)系的應(yīng)用．

解析：由，，，故選B．

點評：對集合的子、交、并、補等運算，常借助于文氏圖來分析、理解．高中數(shù)學(xué)中一般考查數(shù)集和點集這兩類集合，數(shù)集應(yīng)多結(jié)合對應(yīng)的數(shù)軸來理解，點集則多結(jié)合對應(yīng)的幾何圖形或平面直角坐標(biāo)系來理解．

考點三  對與不等式有關(guān)集合問題的考查

例3．（2008遼寧卷理 1）已知集合，則集合為                                                                      (     )

A．          B．             C．         D．

分析：本題主要考查集合的運算，同時考查解不等式的知識內(nèi)容．可先對題目中所給的集合化簡，即先解集合所對應(yīng)的不等式，然后再考慮集合的運算．

解析：依題意：，∴，

∴故選C．

點評：同不等式有關(guān)的集合問題是高考命題的熱點之一，也是高考常見的命題形式，且多為含參數(shù)的不等式問題，需討論參數(shù)的取值范圍，主要考查分類討論的思想，此外，解決集合運算問題還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

考點四  對與方程、函數(shù)有關(guān)的集合問題的考查

例4．（2008陜西卷理2）已知全集，集合，

，則集合中元素的個數(shù)為                  （    ）

A．1             B．2              C．3                    D．4

分析：本題集合A表示方程的解所組成的集合，集合B表示在集合A條件下函數(shù)的值域，故應(yīng)先把集合A、B求出來，而后再考慮．

解析：因為集合，所以，所以故選B．

點評：在解決同方程、函數(shù)有關(guān)的集合問題時，一定要搞清題目中所給的集合是方程的根，或是函數(shù)的定義域、值域所組成的集合，也即要看清集合的代表元素，從而恰當(dāng)簡化集合，正確進(jìn)行集合運算．

考點五  對充分條件與必要條件的考查

例5．(2008福建卷理2)設(shè)集合,，那么“mA”是“mB”的                                                                      （    ）

A．充分而不必要條件                 B．必要而不充分條件

C．充要條件                        D．既不充分也不必要條件

分析：本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，需首先對命題進(jìn)行化簡，然后再進(jìn)行判斷．

解析：由得,可知“”是“”的充分而不必要條件，故選A．

點評：充分條件和必要條件，幾乎是每年高考必考內(nèi)容，且此考點命題范圍廣泛，形式靈活多樣，因此在解答時要特別細(xì)心．此考點的解題關(guān)鍵是要分清條件和結(jié)論，然后判斷是由條件推結(jié)論，還是由結(jié)論推條件，從而得出條件和結(jié)論的關(guān)系．從集合的包含關(guān)系來判斷條件與結(jié)論間的邏輯關(guān)系常用有如下結(jié)論：設(shè)p包含的對象組成集合A，q包含的對象組成集合B，若A(≠B，則p是q的充分不必要條件；若B(≠A，則p是q的必要不充分條件；若，則p是q的充要條件；若A(≠B且B(≠A，則p是q的既不充分也不必要條件.

考點六  對新定義問題的考查

例6．（2008江西卷理2）定義集合運算：設(shè),

,則集合的所有元素之和為                                   （    ）

A．0              B．2              C．3          D．6

分析：本題為新定義問題，可根據(jù)題中所定義的的定義，求出集合，而后再進(jìn)一步求解．

解析：由的定義可得：，故選D．

點評：近年來，新定義問題也是高考命題的一大亮點，此類問題一般難度不大，需嚴(yán)格根據(jù)題中的新定義求解即可，切忌同腦海中已有的概念或定義相混淆．

四 掃雷先鋒     

易錯點一：集合的概念

【例1】已知集合M=，且，設(shè)，則（　　�。�

       A．                   B．                   C．                    D．

【分析】三個集合都是整數(shù)集的子集，集合M中的整數(shù)都能被3整除，集合N中的整數(shù)被3整除余數(shù)是1，集合P中的整數(shù)被3整除余數(shù)是2．三個集合中的整數(shù)n，在進(jìn)行的運算時，n只代表整數(shù)的意思．考生可能忽視了集合元素的無序性，認(rèn)為三個集合中的必須是同一個值．

【解析】 ，選B．

【點評】集合中的可以用任何一個字母表示，只要這個字母是整數(shù)就可，即等，這就是集合中的元素?zé)o序性的體現(xiàn)，這和數(shù)列中的項有確切的位置是不同的．

易錯點二 集合的運算

【例2】已知向量，，則（      ）

A.        B.        C.       D.

【分析】集合均是坐標(biāo)形式的向量的集合，兩個集合中的并非同一個值．兩個集合的代表元素均是有序?qū)崝?shù)對．

【解析】令得方程組

解得，故．選Ｃ．

【點評】本題的兩個集合實際上是以向量的形式給出的兩條直線上的點的集合，如集合中，如果我們設(shè)，則有（這實際上是直線的參數(shù)方程），消掉得，我們所求的是這兩條直線的交點坐標(biāo)．本題易出錯的地方是將兩個集合中的誤認(rèn)為是同一個值，而那樣的是不存在的，從而選Ｄ．

易錯點三：邏輯連接詞

【例3】已知命題：函數(shù)定義域為；命題：若，則函數(shù)在上是減函數(shù)．則下列結(jié)論中錯誤的是_______．

①．命題“且”為真；②．命題“或非”為假；③．命題“或”為假；④．命題“非且非”為假．

【分析】本題既涉及函數(shù)的知識又涉及命題真假的判斷．可能出錯的地方，一是對函數(shù)的性質(zhì)認(rèn)識不足，導(dǎo)致對命題的真假判斷出錯；二是對含有邏輯連接詞的命題真假判斷的法則掌握不準(zhǔn)確，導(dǎo)致解答失誤．

【解析】由，得，所以命題為真，所以命題非為假．

又由，易知函數(shù)在上是增函數(shù)，命題也為假，所以命題非為真．所以命題“且”為假，命題“或非”為真，命題“或”為真，命題“非且非”為假．故答案為①②③．

【點評】解答本題的關(guān)鍵是首先要根據(jù)題設(shè)條件判斷命題與命題的真假，由此作出命題非與非的真假，命題的真假是通過求函數(shù)定義域來判斷的，而命題的真假是根據(jù)反比例函數(shù)的增減性來判斷的．注意“或為真的充要條件是，至少有一真”，“且為真的充要條件是同時為真”，“和一真一假”這些含有邏輯連接詞的命題真假的判斷法則．

易錯點五：充要條件

【例5】 “”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的(      )

A．充分不必要條件         B．必要不充分條件

C．充要條件               D．既不充分也不必要條件

【分析】一是對函數(shù)認(rèn)識不清，這個函數(shù)實際上是分段函數(shù)，它在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；二是對充要條件缺乏明確的判斷方法．

【解析】函數(shù)的圖象是由的圖象左右平移而得到的，函數(shù)在上單調(diào)遞增，只要函數(shù)就在區(qū)間 上單調(diào)遞增．由此知“時函數(shù)在區(qū)間[1, +∞)上為增函數(shù)”是真命題，而“函數(shù)在區(qū)間 上為增函數(shù)時”是假命題．故“”是“函數(shù)在區(qū)間 上為增函數(shù)” 充分不必要條件．選A．

【點評】設(shè)原命題為“若p則q”．則四種命題的真假和充要條件的關(guān)系是：①若原命題為真，則p是q的充分條件；②若逆命題為真，則p是q的必要條件；③若原命題和逆命題都為真，則p是q的充要條件；

④若原命題為真而逆命題為假，則p是q的充分而不必要條件；⑤若原命題為假而逆命題為真，則p是q的必要而不充分條件；⑥若原命題和逆命題都為假，則p是q的既不充分也不必要條件．

易錯點六：量詞

【例6】命題“對任意的，”的否定是

A．不存在， 　B．存在，

C．存在，  　 D．對任意的，

【分析】本題是對全稱命題的否定，因此否定時既要對全稱量詞“任意”否定，又為對判斷詞“≤”進(jìn)行否定，全稱量詞“任意”的否定為存在量詞“存在”等，判斷詞“≤”的否定為“＞”，可能的錯誤是“顧此失彼”，忽略了細(xì)節(jié)．

【解析】一個命題的否定其實就是推翻這個命題，要推翻“對任意的，”，我們只要有一個，使就足夠了．即存在，．選Ｃ．

【點評】許多同學(xué)對全稱命題的否定是一個特稱命題心存疑惑，實際上我們要肯定一個結(jié)論，必須對這個結(jié)論所包括的所有對象都適合，我們要否定一個結(jié)論只要有一個反例就足夠了．同時要注意命題的否定是我們推翻這個命題，故我們之否定它的結(jié)論，而否命題是命題之間的一種特定的關(guān)系，是對一個命題從形式上做的變化，故對否命題我們必須按照其定義，是既否定它的條件也否定它的結(jié)論．注意體會下表

五 規(guī)律總結(jié)

1.解決集合問題，首先要弄清楚集合中的元素是什么，即元素分析法的掌握．

2.弄清集合中元素的本質(zhì)屬性，能化簡的要化簡；

3.抓住集合中元素的個性質(zhì)，對互異性要注意檢驗；

4.正確進(jìn)行“集合語言”和普通“數(shù)學(xué)語言”的相互轉(zhuǎn)化．

5.求交集、并集、補集，要充分發(fā)揮數(shù)軸或文氏圖的作用；

6.含參數(shù)的問題，要有分類討論的意識，分類討論時要防止在空集上出問題；

7.集合的化簡是實施運算的前提，等價轉(zhuǎn)化常是順利解題的關(guān)鍵．

8.邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”與集合中的并集、交集、補集有著密切的關(guān)系，解題時注意類比；

9.通常命題“或”的否定為“且”、“且”的否定為“或”、“全為”的否定是“不全為”、“都是”的否定為“不都是”等等；

10.有時一個命題的敘述方式比較的簡略，此時應(yīng)先分清條件和結(jié)論，該寫成“若，則”的形式；

11.判斷充要關(guān)系的關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論；

12.判斷“是的什么條件”的本質(zhì)是判斷命題“若，則”及“若，則”的真假；

13.判斷充要條件關(guān)系的四種方法：

①定義法：若，則是的充分條件，是的必要條件；

          若，則是的充要條件。

②利用原命題和逆否命題的等價性來確定。 等價于

③利用集合的包含關(guān)系：對于集合問題，記條件、對應(yīng)的集合分別為、

若，則是的充分條件，是的必要條件；

若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件；

若，則是的充要條件；

若且，則是的既不充分也不必要條件

④利用“”傳遞性

14. “否命題”與“命題的否定”的區(qū)別：

  否命題是對原命題“若則”的條件和結(jié)論都否定，即“若則”；

而原命題的否定是：“若則”，即只是否定原命題的結(jié)論。

15.探索充要條件：在探索一個結(jié)論成立的充要條件時，一般先探索必要條件，再確定充分條件；也可以一些基本的等價關(guān)系來探索。

六 能力突破

【例1】已知集合，，若，求實數(shù)的值．

【分析】由于空集是任何非空集合的真子集，就有的可能，而對于集合可能是空集心存疑慮，判斷不出當(dāng)時集合B中的方程無解，此時集合B就是空集，本題考生可能在這些問題上考慮不周，導(dǎo)致漏解．

【解析】由已知，易得　，，或或．

若，由，得；若，由，得；

若，由無解，得．或或．

【點評】空集是不含任何元素的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，空集在集合中的作用類似于數(shù)零在整數(shù)中的作用，正是由于空集的這個特殊性，它隱蔽在數(shù)學(xué)問題中，很容易被考生忽視，如本題如不把隱蔽的空集找出來參加解題，是很容易漏解的．

【例2】命題甲：成等比數(shù)列，命題乙：成等差數(shù)列，則甲是乙成立的 （    ）

       　                            A．充分非必要條件　                             B．必要非充分條件　

                      C．充要條件　                       D．既不充分也不必要條件

【分析】本題的兩個命題都可以轉(zhuǎn)化為方程，求出其命題成立時的集合，可以通過這兩個集合之間的關(guān)系判斷出甲是乙的什么條件．可能的問題是對指數(shù)式和對數(shù)式的運算法則不熟練，將這兩個方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程時出現(xiàn)錯誤，特別是對命題乙中的對數(shù)方程忽視了真數(shù)大于零的限制．

【解析】由成等比數(shù)列得，解得，故滿足命題甲的的集合是．

由成等差數(shù)列得                  ，故滿足命題乙的的集合是．

由于滿足命題乙的的集合是滿足命題甲的的集合的真子集，故甲是乙成立的必要非充分條件．選B．

【點評】設(shè)滿足條件p的元素構(gòu)成集合A，滿足條件q的元素構(gòu)成集合B．則集合的包含關(guān)系和充要條件的對應(yīng)關(guān)系是：①若AB，則p是q的充分條件；②若BA，則p是q的必要條件；③若A=B，則p是q的充要條件；④若AB，則p是q的充分而不必要條件；⑤若BA，則p是q的必要而不充分條件；⑥若，且，則p是q的既不充分也不必要條件．

【例3】已知集合，，若，求實數(shù)的取值范圍．

【分析】可能誤以為集合是一個一元二次方程的解集導(dǎo)致失誤，也可能不考慮集合中對的限制從而在整個實數(shù)集上解決這個問題．實際上本題的幾何背景是：拋物線與線段有公共點，求實數(shù)的取值范圍．

【解析】

方法一：由得     ①

∵，∴方程①在區(qū)間上至少有一個實數(shù)解，

首先，由，解得：或．

設(shè)方程①的兩個根為、，

（1）當(dāng)時，由及知、都是負(fù)數(shù)，不合題意；

（2）當(dāng)時，由及知、是互為倒數(shù)的兩個正數(shù)，

故、必有一個在區(qū)間內(nèi)，從而知方程①在區(qū)間上至少有一個實數(shù)解，

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．

解法二：問題等價于方程組在上有解，即在上有解，

令，則由知拋物線過點，∴拋物線在上與軸有交點等價于　  ①　或   ②

由①得，由②得，∴實數(shù)的取值范圍為．

【點評】在解決以集合為背景的綜合解答題時，明確集合的意義是解決問題的先決條件．中學(xué)階段接觸到的集合主要是“數(shù)集（各種約定的數(shù)集、方程的解集、不等式的解集、函數(shù)的定義域、值域等）”和“點集（函數(shù)圖象、直線、曲線、平面區(qū)域等）”，高考中往往依此為背景命制綜合解答題．本題中的兩個集合實際上是“點集”，明確了這點，就可以脫掉“集合”的外衣，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，找到解決問題的途徑，不至于掉入“集合”這個陷阱而不能自拔．

七、實戰(zhàn)演習(xí)

1．設(shè)集合P＝{3，4，5}，Q＝{4，5，6，7}，定義P※Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，則P※Q中元素的個數(shù)為                                                  （    ）

    A．3　　　        B．4              C．7　            D．12

2. I為全集，A、B、C均為I的非空子集，且A∪B=A∪C，則下列等式一定成立的是(    )

A.B=C                         

B.A∩B=A∩C                  

C.(∁_IA)∩(∁_IB)= (∁_IA)∩(∁_IC)        

D.A∩(∁_IB)=A∩(∁_IC)

3．（08年北京文）若集合，，則集合等于                                                                                （    ）

    A．                B．

    C．                   D．

4.設(shè)M＝{A的子集}，N＝{B的子集}，若A∩Ｂ＝，那么，M∩N＝(   )

A．　　　   B．        C．M　 D．N

5．已知，集合，若，

則的取值范圍為（     ）

A．    B．    C．    D．

6. 3．若關(guān)于x的不等式的解集為，則實數(shù)m的值為

   A.1                B.-2                   C.-3                  D. 3

7.已知命題，命題的解集是，下列結(jié)論：①命題“”是真命題； ②命題“”是假命題；③命題“”是真命題； ④命題“”是假命題.其中正確的是（     ）

A.②③                   B.①②④               C.①③④                     D.①②③④

8. （08年湖北文） 若集合         （    ）

  A．“”是“”的充分條件但不是必要條件

  B．“”是“”的必要條件但不是充分條件

  C．“”是“”的充要條件

  D．“”既不是“”的充分條件也不是“”的必要條件

9. 3x²－4x－32＜0的一個必要不充分條件是                   （　�。�

  A．－＜x＜4     B．－＜x＜1     C．－＜x＜3     D．－＜x＜6

10.(08年廣東文) 命題“若函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則”的逆否命題是                                                       （    ）

A．若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)

B．若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)

C．若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)

D．若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)

11.已知命題“若p，則q”為真，下列命題中一定為真的是   

A．若ᄀp，則ᄀq   B．若ᄀq，則ᄀp   C．若q，則p      D．若ᄀq，則p

12. 已知，，若是的充分而不必要條件，則實數(shù)的取值范圍為（    ）

A．      B．a(chǎn)=-2        C．           D．

13.（文）已知集合A＝{x∈N|<x<，n∈N^＊}，若card(A)＝2，則n＝            ．

14.若 ，若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)t的取值范圍是

15.（文）設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則滿足不等式[x]²-3[x]-10≤0的解集是           

16. （08年福建文）設(shè)P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除數(shù)b≠0）則稱P是一個數(shù)域，例如有理數(shù)集Q是數(shù)域，有下列命題：

①數(shù)域必含有0，1兩個數(shù)；②整數(shù)集是數(shù)域；

③若有理數(shù)集QM,則數(shù)集M必為數(shù)域;

④數(shù)域必為無限集.

其中正確的命題的序號是            .（把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上）

17.設(shè)集合，.  

（1）當(dāng)時，求A的非空真子集的個數(shù)；

（2）若B=，求m的取值范圍；

（3）若，求m的取值范圍.

17.解： A=，集合B可寫為.

(1）,即A中含有8個元素，

A的非空真子集數(shù)為（個）；

(2)顯然只有當(dāng)m-1=2m+1即m=--2時，B=；

(3)當(dāng)B=即m=-2時，.

當(dāng)B即時

（?）當(dāng)m<-2 時，B=(2m-1,m+1),要，

只要，所以m的值不存在；

（?）當(dāng)m>-2 時,B=（m-1,2m+1）,要，

只要.

綜合，知m的取值范圍是：{m?m=-2或}.

18.若，，為常數(shù)，

且,

求對所有實數(shù)成立的充要條件（用表示）.

18.解：恒成立

（*）恒成立.

因為,

所以，故只需即可滿足（*）恒成立.

綜上所述，對所有實數(shù)成立的充要條件是：.

19.（本小題滿分12分）：已知命題P：方程在[－1，1]上有解;命題Q：。

（1）寫出命題的否命題,并求出實數(shù)的取值范圍，使得命題為真命題；

（2）如果“” 為真命題，“”為假命題，求實數(shù)的取值范圍。

19.解：（1）：，,

若為真命題，則 解得：或.

故所求實數(shù)的取值范圍為：.

（2）若P為真命題，

由“” 為真命題，“”為假命題，故命題P、Q中有且僅有一個真命題.

當(dāng)P真Q假時，實數(shù)的取值范圍為：;

當(dāng)假真時，實數(shù)的取值范圍為：

綜上可知實數(shù)的取值范圍為R.

20.（本小題滿分12分）求同時滿足以下兩個條件的實數(shù)m的取值集合：（1）集合A={x|-5x+6=0}，B={x|mx+1=0}，且A∪B=A；（2）|x|≤1，方程-x+m=0無實數(shù)根.

20.解：由（1）A={x|-5x+6=0}={2，3}，A∪B=A，BA，

①m=0時B=，BA；

②m≠0時，由mx+1=0，得x=-，∵BA，

∴-=2或-=3，解得m=-或-.

所以適合（1）的m的集合為{0，-，-}.

（2）將方程變形，整理得：(x-)=-m.

若方程有實數(shù)根，則有|x|≤1，

得0≤(x-)≤，即0≤-m≤，由此解得-2≤m≤.

所以方程-x+m=0無實數(shù)根時實數(shù)m的取值范圍為：{m＝｜m＞或m＜-2}.

綜上所述：不存在實數(shù)m同時滿足條件（1）（2）.

21.對于函數(shù)，若存在實數(shù)，使成立，則稱為的不動點．

   （1）當(dāng)a＝2，b＝－2時，求的不動點；

   （2）若對于任何實數(shù)b，函數(shù)恒有兩相異的不動點，求實數(shù)a的取值范圍；

   （3）在（2）的條件下，若的圖象上A、B兩點的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動點，且直線是線段AB的垂直平分線，求實數(shù)b的取值范圍．

21.解

   （1）當(dāng)a＝2，b＝－2時，    .設(shè)x為其不動點，即

則    的不動點是－1，2.

   （2）由得：．  由已知，此方程有相異二實根，

恒成立，即即對任意恒成立．

   （3）設(shè)，直線是線段AB的垂直平分線，    .記AB的中點由（2）知

化簡得：時，等號成立）,

即. 

22．文科前兩問，理科三問（本小題滿分14分）已知a＞0，函數(shù)f(x)=ax－bx²,

（Ⅰ）當(dāng)b＞0時，若對任意x∈R都有f(x)≤1，證明a≤2；

（Ⅱ）當(dāng)b＞1時，對任意x∈[0，1]，≤1的充要條件是b－1≤a≤；

（Ⅲ）當(dāng)0＜b≤1時，討論：對任意x∈[0，1]，≤1的充要條件．

（Ⅰ）證明：∵f(x)=，∴任意x∈R，.

對任意x∈R，都有f(x)≤1，等價于，即.

       ∵a＞0，b＞0，∴a≤2.

       （Ⅱ）證明：必要性

       對任意x∈[0，1]，≤1 Þ －1≤f(x)≤1，據(jù)此可以推出－1≤f(1)，

即 a－b≥－1，∴a≥b－1；

       對任意x∈[0，1]，≤1 Þ f(x)≤1，因為b＞1，可以推出≤1，

       即a?－1≤1，∴a≤2；

       ∴b－1≤a≤2。

       充分性

       因為b＞1，a≥b，對任意x∈[0，1]，可以推出

       ax－bx²≥b(x－x²)－x≥－x≥－1，       即 ax－bx²≥－1；

       因為b＞1，a≤2，對任意x∈[0，1]，可以推出

       ax－bx²≤2x－bx²≤1，     即  ax－bx²≤1;

       ∴ －1≤f(x)≤1。

       綜上，當(dāng)b＞1時，對任意x∈[0，1]，≤1的充要條件是b－1≤a≤。

       （Ⅲ）解：因為a＞0，0＜b≤1時，對任意x∈[0，1],

       f(x)= ax－bx²≥－b≥1，即f(x)≥－1；

       f(x)≤1 Þ f(1)≤1Þ a－b≤1，即a≤b＋1.

       a≤b＋1Þ f(x)≤(b＋1) x－bx²≤1，即f(x)≤1。

       所以當(dāng)a＞0，1＜b≤1時，對任意x∈[0，1]，≤1的充要條件是a≤b＋1.