1、平面直角坐標系中，曲線方程與方程曲線的定義是什么？

2、平面直角坐標系中，求曲線方程的基本步驟是什么？

3、若點M的極坐標(ρ,θ)滿足ρ=5，表示什么圖形？ρ=-5是否在此曲線上？

4、在極坐標系下，如何定義曲線的方程和方程的曲線？

 1、定義：一般地，一條曲線C上任意一點都有一個點的極坐標適合方程f(ρ,θ)=0;反之，極坐標方程f(ρ,θ)=0的點都在曲線C上，這個方程稱曲線C的極坐標方程，這條曲線C稱極坐標方程f(ρ,θ)=0的曲線，記作：C：f(ρ,θ)=0

   思考：“點M滿足C:f(ρ,θ)=0”是“點M(ρ,θ) 在曲線C上”的__________________條件。（充分又不必要）

   例1、判斷正誤

 (1)點P在曲線C上，則P的極坐標方程一定滿足曲線C的方程

 (2)在ρ≥0情況下，極坐標方程tanθ=1與θ=表示同一條直線

(3)ρ=3與ρ=-3表示的是同一曲線

解答：××√

練習：ρθ-ρ-2θ+2=0(ρ≥0)表示的曲線是________________(以極點為圓心以2為半徑的圓及過極點傾斜角是1弧度的射線)

去掉ρ≥0的條件呢？

  2、如何求曲線的極坐標方程

   與求直角坐標方程一樣，關(guān)鍵詞：建---設(shè)---限---代---化

 （1）建：建立適當?shù)臉O坐標系，術(shù)語“以…為極點，以…為極軸，建立極坐標系”

 (2)設(shè)：設(shè)曲線上任意一點的坐標為M (ρ,θ)

 (3)限：列出點M滿足的限制條件（等式或不等式）

 (4)代：將M點的極坐標代入(3)中關(guān)系式

 （5）化簡(4)中的關(guān)系式

  例2、求過點A(3,0)且垂直于極軸的直線的極坐標方程（解答ρcosθ=0）

  練習1：求過點B(3,)且平行于極軸的直線的極坐標方程（解答ρsinθ=3)

  練習2：自極點O向直線l作垂線，垂足E的極坐標為E(p,α),(p>0)，求直線l的極坐標方程（ρcos(θ-α)=0）

  例3、求圓心在點A(3,0),且過極點的⊙A的極坐標方程  （解答：ρ=6cosθ）

  變形1：點A的坐標變?yōu)?-3,0)、（3，）時，⊙A的方程分別為______、_____（ρ=-6cosθ, ρ=6sinθ)

   變形2：若O、P、Q三點共線，點Q在例3中的圓上且時，點P的軌跡方程（ρ=cosθ)

[補充習題]

1、在極坐標系中，O為極點，Q(2,0),求線段OQ的垂直平分線方程

2、在極坐標系中，點P到極點O的距離與它到點Q(2,0)的距離比為，求點P的極坐標方程

[補充習題答案]

1、ρcosθ=0

2、ρ²+2ρcosθ-2=0

[情況反饋]

第二課時    極坐標方程與直角坐標方程的互化

[教學目標]

[教學難點、重點]互化中的等價變形

[教學過程]

一、復(fù)習引入：

  1、什么是極坐標方程？什么是直角坐標方程？它們之間有什么聯(lián)系？（引入標題：極坐標與直角坐標方程的互化）

  2、點的極坐標與直角坐標如何互化？

  (1)前提條件：極點與原點重合，極軸與x軸一致

  (2)互化公式：x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ=,tanθ=

   例1、將直角坐標方程x²+y²-8y=0化成極坐標方程

   解：∵ρ²=x²+y²,y=ρsinθ  ∴ρ²-8ρsinθ=0  ∴ρ=0或ρ=8cosθ    ∵ρ=0表示極點，在ρ=8cosθ上   ∴極坐標方程為ρ=8cosθ

說明：將直角坐標方程化成極坐標方程要化簡，能合并的合并

練習：將下列直角坐標方程化成極坐標方程

1、x+y-2=0     (ρcosθ+sinθ=2)

2、在直角坐標系內(nèi)，寫出圓心在點(-1,1)處，且通過原點的圓的直角坐標方程，并化成極坐標方程（(x+1)²+(y-1)²=2,ρ=2(sinθ-cosθ)）

例2、化極坐標方程ρ=6cos(θ-)為直角坐標方程

解：原方程可以化為ρ=6cosθcos+6sinθsin,兩邊同乘ρ，得ρ²=3ρcosθ+3ρsinθ,由x=ρcosθ,y=ρsinθ得直角坐標方程為x²+y²-3x-3y=0

這里兩邊同乘ρ，而ρ=0表示極點，在ρ=6cos(θ-)（ρ=6cos(θ-)=0有解），所以這個變形是同解變形，方程即為所求的方程�；瘶O坐標方程為直角坐標方程一定要注意同解變形

練習：化下列極坐標方程為直角坐標方程

1、ρ=-cosθ     （(x+)²+y²=）

2、ρ²=tanθ      (x³+xy²-y=0)

3、ρ=   (x⁴-x²-y²=0)

例3、求圓ρ²-2ρ（cosθ+sinθ）-5=0的圓心的極坐標和半徑

解：根據(jù)極直互化公式，有：x²+y²-2x-2y-5=0,(x-1)²+(y-)²=9,圓心的直角坐標為(1,),半徑為3，∴圓心的極坐標為(2,),半徑為3

[情況反饋]

第三課時：直線與圓的極坐標方程

[教學目標]

[教學難點、重點]極坐標方程旋轉(zhuǎn)的變換形式

[教學過程]

復(fù)習求極坐標方程的一般方法步驟，提出問題：直線與圓的極坐標方程如何求？標題

二、新課內(nèi)容

1、直線的極坐標方程

(1)直線l過點M(ρ₀,θ₀),且極軸到此直線的角為α，求直線l的極坐標方程

如圖，在直線l上任意一點為P(ρ,θ),則在三角形POM中，有：，因∠OMP=π-α+θ₀,∠OPM=α-θ  ∴直線l的極坐標方程為ρsin(θ-α)=ρ₀sin(θ₀-α)

（2）思考問題：

①ρ₀=0時，方程是什么？畫出圖形   （θ=α(ρ∈R),如圖）

②點M坐標為(a,0),α=時，方程是什么？畫出圖形（ρcosθ=a,如圖）

③點M坐標為M(b, ),α=0時，方程是什么？畫出圖形   （ρsinθ=b,如圖）

2、圓的極坐標方程

(1)若圓心為M(ρ₀，θ₀)，圓的半徑為r，求圓的極坐標方程

   設(shè)圓上任意一點為P(ρ,θ),在三角形POM中，由余弦定理：PM²=OM²+OP²-2OM.OPcos∠POM

故方程為ρ²-2ρ₀ρcos(θ-θ₀)+ρ₀²-r²=0

(2)思考特殊位置的圓

①圓心在極點時：ρ=r

②圓心為(r,0)時：ρ=2rcosθ

③圓心為(r,)時：ρ=2rsinθ

3、例題

例1、在圓心的極坐標為A(4,0)，半徑為4的圓中，求過極點O的弦的中點的軌跡

解：設(shè)M(ρ,θ)是軌跡上任意一點，直線OM與圓交于另一點P(ρ₀,θ₀),則ρ₀=2ρ，θ₀=θ，P在圓上，故ρ₀=8cosθ₀,代入得到ρ=4cosθ表示以（2，0）為圓心以2為半徑的圓

例2、(1)作出極坐標方程ρcos(θ+)=2和ρcos(θ+)=2的曲線，并將它們與ρ=cosθ=2的曲線進行比較

(2) 作出極坐標方程ρ=2cos(θ+)和ρ=2cos(θ+)的曲線，并將它們與ρ=2cosθ的曲線進行比較

(3)說明極坐標方程ρ=f(θ+α)與ρ=f(θ)表示的曲線之間的聯(lián)系（教材P29---16）

解答：ρ=f(θ) ρ=f(θ+α)

練習：定點O到定直線l的距離為a(a>0)，當點A在直線l上移動時，O、A、B按逆時針方向組成一個正三角形

(1)建立適當?shù)臉O坐標系，求點B的軌跡方程，并說明其軌跡

(2)將(1)中曲線上各點繞極點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到什么方程？

[答案：(1)定點O為極點與l 垂直的直線為極軸建立極坐標系，B方程ρcos(θ-)=a，表示過點A(a,)垂直于OA的直線;(2)ρsinθ=a]

[補充習題]

1、極坐標方程ρ²sinθ=ρ表示的曲線是_____________

2、在極坐標系中，曲線ρ=6cos(θ-)關(guān)于下列____________對稱

①直線θ=；②直線θ=；③點(2,);④極點

3、⊙C₁:ρ=2cosθ和⊙C₂:ρ²-2ρsinθ+2=0的位置關(guān)系是___________

4、在極坐標系中，已知圓C的圓心C(3,),半徑r=3

(1)求圓C的極坐標方程   (2)若點Q在圓C上運動，點P在OQ的延長線上，且OQ:QP=3:2, 求動點P的軌跡方程

[補充習題解答]

1、極點及過(1,)且平行于極軸的直線

2、①③

3、外切

4、(1)ρ=6cos(θ-)    (2) ρ=10cos(θ-)

[情況反饋]

                    第四課時      圓錐曲線的極坐標方程

[教學目標]

[教學難點、重點]方程的應(yīng)用

[教學過程]

1、求一個曲線的方程的步驟是什么？（建――設(shè)――限――代――化）

2、如何建立極坐標系比較方便？（以焦點為極點，以焦點所在的直線為極軸，建立極坐標系）

3、畫出草圖，寫出滿足的條件，進而求曲線方程

設(shè)點P(ρ,θ)是其上任意一點，焦準距為p,條件：=e           

 =e,   ρ=

 注意：它是以焦點為極點建立的極坐標系

4、對于橢圓和雙曲線，都有兩個焦點，到底是左焦點為極點還是右焦點為極點？

(1)橢圓：由于ρ(0)=,ρ(π)=,ρ(0)>ρ(π)結(jié)合圖形，是以左焦點建立的極坐標系

(2)雙曲線：ρ(0)=<0,ρ(π)=>0說明是以右焦點建立的極坐標系，而且ρ>0條件下（點(ρρ(0))不再含有，僅僅表示雙曲線的右支，ρ∈R情況下才表示整個雙曲線

例1、以橢圓的左焦點為極點，x軸的正向為極軸的正方向建立極坐標系，寫出此橢圓的極坐標方程

解：e==,p=,ρ==

思考：為什么不能用x=ρcosθ,y=ρsinθ的式子直接代入求方程？（極點不是原點）

練習：一衛(wèi)星運行軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓，近地點（距離地面的最近距離）為m,近地點為n，地球的半徑為R，建立適當?shù)臉O坐標系，寫出衛(wèi)星的極坐標方程

（以地球的中心為極點，焦點所在的直線為極軸建立極坐標系，這樣a+c=m+R,a-c=n+R,a=+R,c=,b=,e=,p=,方程ρ=）

   例2、求證：過拋物線的焦點的弦被焦點分成的兩部分線段長的倒數(shù)和為常數(shù)，并求此常數(shù)

   證明：設(shè)拋物線的極坐標方程為：ρ=，設(shè)過焦點的弦為PQ,傾斜角為θ，則

FP=ρ(0)=, FQ=ρ(π)= ,=

   變形1：在上面例題中，線段PQ的長度為多少？（）

   變形2：如果過焦點再作一條與PQ垂直的直線AB，A、B、P、Q四點圍成的四邊形面積S的最小值是多少？（8p²）

   變形2：對于橢圓,過左焦點F的弦AB，問AB=?,還是否是常數(shù)，若是，常數(shù)是多少？（8ep²,是常數(shù)，常數(shù)為）

五、作業(yè)：教材P29----6,7,10,13

[補充習題]

1、極坐標方程ρ²cos2θ=1表示的曲線形狀是______________

2、曲線ρ=的焦準距為_____________，長軸長為___________,準線方程為___________

3、過拋物線y²=4x的焦點F的弦AB=16，則直線AB的傾斜角為__________

4、(1)寫出橢圓的極坐標方程;(2)過左焦點F₁的弦為AB，右焦點為F₂，求三角形F₂AB的面積的最大值

[補充習題答案]

1、雙曲線；

2、4，，ρcosθ=-4及ρθ=20/3；

3、

4、(1)ρ=      (2)ab