4.2曲線的極坐標方程
第一課時 平面曲線極坐標方程的意義
[教學目標]
一、問題情景與復(fù)習
1、平面直角坐標系中,曲線方程與方程曲線的定義是什么?
2、平面直角坐標系中,求曲線方程的基本步驟是什么?
3、若點M的極坐標(ρ,θ)滿足ρ=5,表示什么圖形?ρ=-5是否在此曲線上?
4、在極坐標系下,如何定義曲線的方程和方程的曲線?
二、問題歸結(jié)與應(yīng)用
1、定義:一般地,一條曲線C上任意一點都有一個點的極坐標適合方程f(ρ,θ)=0;反之,極坐標方程f(ρ,θ)=0的點都在曲線C上,這個方程稱曲線C的極坐標方程,這條曲線C稱極坐標方程f(ρ,θ)=0的曲線,記作:C:f(ρ,θ)=0
思考:“點M滿足C:f(ρ,θ)=
例1、判斷正誤
(1)點P在曲線C上,則P的極坐標方程一定滿足曲線C的方程
(2)在ρ≥0情況下,極坐標方程tanθ=1與θ=表示同一條直線
(3)ρ=3與ρ=-3表示的是同一曲線
解答:××√
練習:ρθ-ρ-2θ+2=0(ρ≥0)表示的曲線是________________(以極點為圓心以2為半徑的圓及過極點傾斜角是1弧度的射線)
去掉ρ≥0的條件呢?
2、如何求曲線的極坐標方程
與求直角坐標方程一樣,關(guān)鍵詞:建---設(shè)---限---代---化
(1)建:建立適當?shù)臉O坐標系,術(shù)語“以…為極點,以…為極軸,建立極坐標系”
(2)設(shè):設(shè)曲線上任意一點的坐標為M (ρ,θ)
(3)限:列出點M滿足的限制條件(等式或不等式)
(4)代:將M點的極坐標代入(3)中關(guān)系式
(5)化簡(4)中的關(guān)系式
例2、求過點A(3,0)且垂直于極軸的直線的極坐標方程(解答ρcosθ=0)
練習1:求過點B(3,)且平行于極軸的直線的極坐標方程(解答ρsinθ=3)
練習2:自極點O向直線l作垂線,垂足E的極坐標為E(p,α),(p>0),求直線l的極坐標方程(ρcos(θ-α)=0)
例3、求圓心在點A(3,0),且過極點的⊙A的極坐標方程 (解答:ρ=6cosθ)
變形1:點A的坐標變?yōu)?-3,0)、(3,)時,⊙A的方程分別為______、_____(ρ=-6cosθ, ρ=6sinθ)
變形2:若O、P、Q三點共線,點Q在例3中的圓上且時,點P的軌跡方程(ρ=cosθ)
[補充習題]
四、作業(yè):教材P29---8,9,14,15
1、在極坐標系中,O為極點,Q(2,0),求線段OQ的垂直平分線方程
2、在極坐標系中,點P到極點O的距離與它到點Q(2,0)的距離比為,求點P的極坐標方程
[補充習題答案]
1、ρcosθ=0
2、ρ2+2ρcosθ-2=0
[情況反饋]
第二課時 極坐標方程與直角坐標方程的互化
[教學目標]
[教學難點、重點]互化中的等價變形
[教學過程]
一、復(fù)習引入:
三、情感態(tài)度與價值觀:體會事物間聯(lián)系的觀點
1、什么是極坐標方程?什么是直角坐標方程?它們之間有什么聯(lián)系?(引入標題:極坐標與直角坐標方程的互化)
2、點的極坐標與直角坐標如何互化?
(1)前提條件:極點與原點重合,極軸與x軸一致
(2)互化公式:x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ=,tanθ=
二、例題說明
例1、將直角坐標方程x2+y2-8y=0化成極坐標方程
解:∵ρ2=x2+y2,y=ρsinθ ∴ρ2-8ρsinθ=0 ∴ρ=0或ρ=8cosθ ∵ρ=0表示極點,在ρ=8cosθ上 ∴極坐標方程為ρ=8cosθ
說明:將直角坐標方程化成極坐標方程要化簡,能合并的合并
練習:將下列直角坐標方程化成極坐標方程
1、x+y-2=0 (ρcosθ+sinθ=2)
2、在直角坐標系內(nèi),寫出圓心在點(-1,1)處,且通過原點的圓的直角坐標方程,并化成極坐標方程((x+1)2+(y-1)2=2,ρ=2(sinθ-cosθ))
例2、化極坐標方程ρ=6cos(θ-)為直角坐標方程
解:原方程可以化為ρ=6cosθcos+6sinθsin,兩邊同乘ρ,得ρ2=3ρcosθ+3ρsinθ,由x=ρcosθ,y=ρsinθ得直角坐標方程為x2+y2-3x-3y=0
這里兩邊同乘ρ,而ρ=0表示極點,在ρ=6cos(θ-)(ρ=6cos(θ-)=0有解),所以這個變形是同解變形,方程即為所求的方程;瘶O坐標方程為直角坐標方程一定要注意同解變形
練習:化下列極坐標方程為直角坐標方程
1、ρ=-cosθ ((x+)2+y2=)
2、ρ2=tanθ (x3+xy2-y=0)
3、ρ= (x4-x2-y2=0)
例3、求圓ρ2-2ρ(cosθ+sinθ)-5=0的圓心的極坐標和半徑
解:根據(jù)極直互化公式,有:x2+y2-2x-2y-5=0,(x-1)2+(y-)2=9,圓心的直角坐標為(1,),半徑為3,∴圓心的極坐標為(2,),半徑為3
[情況反饋]
第三課時:直線與圓的極坐標方程
[教學目標]
[教學難點、重點]極坐標方程旋轉(zhuǎn)的變換形式
[教學過程]
復(fù)習求極坐標方程的一般方法步驟,提出問題:直線與圓的極坐標方程如何求?標題
二、新課內(nèi)容
一、問題與復(fù)習:
1、直線的極坐標方程
(1)直線l過點M(ρ0,θ0),且極軸到此直線的角為α,求直線l的極坐標方程
如圖,在直線l上任意一點為P(ρ,θ),則在三角形POM中,有:,因∠OMP=π-α+θ0,∠OPM=α-θ ∴直線l的極坐標方程為ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α)
(2)思考問題:
①ρ0=0時,方程是什么?畫出圖形 (θ=α(ρ∈R),如圖)
②點M坐標為(a,0),α=時,方程是什么?畫出圖形(ρcosθ=a,如圖)
③點M坐標為M(b, ),α=0時,方程是什么?畫出圖形 (ρsinθ=b,如圖)
2、圓的極坐標方程
(1)若圓心為M(ρ0,θ0),圓的半徑為r,求圓的極坐標方程
設(shè)圓上任意一點為P(ρ,θ),在三角形POM中,由余弦定理:PM2=OM2+OP2-2OM.OPcos∠POM
故方程為ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0
(2)思考特殊位置的圓
①圓心在極點時:ρ=r
②圓心為(r,0)時:ρ=2rcosθ
③圓心為(r,)時:ρ=2rsinθ
3、例題
例1、在圓心的極坐標為A(4,0),半徑為4的圓中,求過極點O的弦的中點的軌跡
解:設(shè)M(ρ,θ)是軌跡上任意一點,直線OM與圓交于另一點P(ρ0,θ0),則ρ0=2ρ,θ0=θ,P在圓上,故ρ0=8cosθ0,代入得到ρ=4cosθ表示以(2,0)為圓心以2為半徑的圓
例2、(1)作出極坐標方程ρcos(θ+)=2和ρcos(θ+)=2的曲線,并將它們與ρ=cosθ=2的曲線進行比較
(2) 作出極坐標方程ρ=2cos(θ+)和ρ=2cos(θ+)的曲線,并將它們與ρ=2cosθ的曲線進行比較
(3)說明極坐標方程ρ=f(θ+α)與ρ=f(θ)表示的曲線之間的聯(lián)系(教材P29---16)
解答:ρ=f(θ) ρ=f(θ+α)
練習:定點O到定直線l的距離為a(a>0),當點A在直線l上移動時,O、A、B按逆時針方向組成一個正三角形
(1)建立適當?shù)臉O坐標系,求點B的軌跡方程,并說明其軌跡
(2)將(1)中曲線上各點繞極點逆時針旋轉(zhuǎn),得到什么方程?
[答案:(1)定點O為極點與l 垂直的直線為極軸建立極坐標系,B方程ρcos(θ-)=a,表示過點A(a,)垂直于OA的直線;(2)ρsinθ=a]
[補充習題]
四、作業(yè):教材P28---1,2
1、極坐標方程ρ2sinθ=ρ表示的曲線是_____________
2、在極坐標系中,曲線ρ=6cos(θ-)關(guān)于下列____________對稱
①直線θ=;②直線θ=;③點(2,);④極點
3、⊙C1:ρ=2cosθ和⊙C2:ρ2-2ρsinθ+2=0的位置關(guān)系是___________
4、在極坐標系中,已知圓C的圓心C(3,),半徑r=3
(1)求圓C的極坐標方程 (2)若點Q在圓C上運動,點P在OQ的延長線上,且OQ:QP=3:2, 求動點P的軌跡方程
[補充習題解答]
1、極點及過(1,)且平行于極軸的直線
2、①③
3、外切
4、(1)ρ=6cos(θ-) (2) ρ=10cos(θ-)
[情況反饋]
第四課時 圓錐曲線的極坐標方程
[教學目標]
[教學難點、重點]方程的應(yīng)用
[教學過程]
二、問題設(shè)問與活動:
1、求一個曲線的方程的步驟是什么?(建――設(shè)――限――代――化)
2、如何建立極坐標系比較方便?(以焦點為極點,以焦點所在的直線為極軸,建立極坐標系)
3、畫出草圖,寫出滿足的條件,進而求曲線方程
設(shè)點P(ρ,θ)是其上任意一點,焦準距為p,條件:=e
=e, ρ=
注意:它是以焦點為極點建立的極坐標系
4、對于橢圓和雙曲線,都有兩個焦點,到底是左焦點為極點還是右焦點為極點?
(1)橢圓:由于ρ(0)=,ρ(π)=,ρ(0)>ρ(π)結(jié)合圖形,是以左焦點建立的極坐標系
(2)雙曲線:ρ(0)=<0,ρ(π)=>0說明是以右焦點建立的極坐標系,而且ρ>0條件下(點(ρρ(0))不再含有,僅僅表示雙曲線的右支,ρ∈R情況下才表示整個雙曲線
三、典型例題
例1、以橢圓的左焦點為極點,x軸的正向為極軸的正方向建立極坐標系,寫出此橢圓的極坐標方程
解:e==,p=,ρ==
思考:為什么不能用x=ρcosθ,y=ρsinθ的式子直接代入求方程?(極點不是原點)
練習:一衛(wèi)星運行軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓,近地點(距離地面的最近距離)為m,近地點為n,地球的半徑為R,建立適當?shù)臉O坐標系,寫出衛(wèi)星的極坐標方程
(以地球的中心為極點,焦點所在的直線為極軸建立極坐標系,這樣a+c=m+R,a-c=n+R,a=+R,c=,b=,e=,p=,方程ρ=)
例2、求證:過拋物線的焦點的弦被焦點分成的兩部分線段長的倒數(shù)和為常數(shù),并求此常數(shù)
證明:設(shè)拋物線的極坐標方程為:ρ=,設(shè)過焦點的弦為PQ,傾斜角為θ,則
FP=ρ(0)=, FQ=ρ(π)= ,=
變形1:在上面例題中,線段PQ的長度為多少?()
變形2:如果過焦點再作一條與PQ垂直的直線AB,A、B、P、Q四點圍成的四邊形面積S的最小值是多少?(8p2)
變形2:對于橢圓,過左焦點F的弦AB,問AB=?,還是否是常數(shù),若是,常數(shù)是多少?(8ep2,是常數(shù),常數(shù)為)
五、作業(yè):教材P29----6,7,10,13
[補充習題]
四、總結(jié):圓錐曲線的極坐標方程為ρ=,它是以焦點為極點建立的極坐標系(橢圓是左焦點,雙曲線是右焦點)
1、極坐標方程ρ2cos2θ=1表示的曲線形狀是______________
2、曲線ρ=的焦準距為_____________,長軸長為___________,準線方程為___________
3、過拋物線y2=4x的焦點F的弦AB=16,則直線AB的傾斜角為__________
4、(1)寫出橢圓的極坐標方程;(2)過左焦點F1的弦為AB,右焦點為F2,求三角形F2AB的面積的最大值
[補充習題答案]
1、雙曲線;
2、4,,ρcosθ=-4及ρθ=20/3;
3、
4、(1)ρ= (2)ab
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