§4.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

新課標(biāo)要求

1.     了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景瞬時(shí)速度,加速度等),掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義,理解導(dǎo)函數(shù)的概念.

2.     熟記基本導(dǎo)數(shù)公式,掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則,了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,會(huì)求某些簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

重難點(diǎn)聚焦

重點(diǎn):理解導(dǎo)數(shù)的概念及常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

難點(diǎn):理解導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

高考分析及預(yù)測(cè)

在高考中,常以選擇或填空的形式考查導(dǎo)數(shù)的概念,及幾何意義,也以解答題的形式考查與切線有關(guān)的綜合性題目,難度不大.

再現(xiàn)型題組

1.函數(shù)的圖像是折線段ABC,其中A.B.C的坐標(biāo)分別為,則     ，＝         .

2. 在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,t秒時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度為,則運(yùn)動(dòng)員在1秒時(shí)的瞬時(shí)速度為         ,此時(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是                       

3.過P(-1,2)且與曲線在點(diǎn)M(1,1)處的切線平行的直線方程是                   .

4.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)     (1)  (2)    (3)         

鞏固型題組

5.函數(shù)的圖像在點(diǎn)M處的切線方程是,=        .

6.已知曲線求

  (1).曲線在P(1,1)處的切線方程.

  (2).曲線過點(diǎn)Q(1,0)的切線方程.

  (3).滿足斜率為-的切線的方程.

提高型題組

7.已知直線y=kx與y=lnx有公共點(diǎn),則k的最大值為            .

8在下列四個(gè)函數(shù)中，滿足性質(zhì)：“對(duì)于區(qū)間（1，2）的任意恒成立的是（   ）.

   A     B      C         D

9. 設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（  ）

A     B      C       D

反饋型題組

10.,若則a=          .

11.若曲線的一條切線與垂直,則的方程為                   

12.曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為              .

13設(shè)則(  )

   A  sinx   B ?sinx   C  cosx     D  -cosx

14.點(diǎn)P是曲線上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值是        。

                                                          沾化一中    馮樹華

4.2函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

新課標(biāo)要求

1.     借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。

2.     能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

重點(diǎn)、難點(diǎn)聚焦

1.     在確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)首先考慮所給函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子集。

2.     當(dāng)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（如單調(diào)增區(qū)間）有多個(gè)時(shí)，不能把這些區(qū)間取并集。

3.     （或）是在某一區(qū)間上為增函數(shù)（或減函數(shù)）的充分不必要條件。

高考分析及預(yù)測(cè)

   函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是新課標(biāo)的要求。在2008年的高考中，絕大部分地區(qū)都在此考點(diǎn)命題。，估計(jì)在2009年的高考中，仍將是熱點(diǎn)，應(yīng)高度重視。

題組設(shè)計(jì)

再現(xiàn)型題組

1.在某個(gè)區(qū)間（a,b）內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)           ；如果，那么這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)               。

2.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間            單調(diào)遞減區(qū)間        。

鞏固型題組

3.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

4.     已知函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求的取值范圍。

提高型題組

5. 已知函數(shù)

   （1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；

   （2）若在區(qū)間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值

6.設(shè)函數(shù)，其中，求的單調(diào)區(qū)間。

反饋型題組

7.下列函數(shù)中,在上為增函數(shù)的是（  ）                                

    A．           B．          C．           D．

8.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（  ）

A.     B.     C.   D.

9.若函數(shù)的遞減區(qū)間為，則的取值范圍是（  ）

A.     B.    C.      D.

10．以下四圖，都是同一坐標(biāo)系中三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖像，其中一定不正確的序號(hào)是（  ）

A．①、②           B．①、③           C．③、④           D．①、④

11.若在區(qū)間內(nèi)有且則在內(nèi)有（  ）

A.    B.   C.   D.不能確定

12.已知函數(shù).

  （1）設(shè),討論的單調(diào)性；

  （2）如對(duì)任意恒有，求的取值范圍。

13. 設(shè)函數(shù)，已知是奇函數(shù)。

（Ⅰ）求、的值。（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間與極值。

沾化一中  馬海峰

§4.3  函數(shù)的極值、最值及優(yōu)化問題

新課標(biāo)要求

1、結(jié)合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；

2、會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值以及閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值；體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性．

3通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用．

重點(diǎn)難點(diǎn)聚焦

1、重點(diǎn)：結(jié)合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值以及閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值；

2、難點(diǎn)：體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性．

命題趨勢(shì)

1、 該節(jié)是2009年高考考查的熱點(diǎn)，主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的應(yīng)用，包括求函數(shù)的最值、極值，實(shí)際問題中的優(yōu)化問題等。

2、導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性，方程根的分布，解析幾何中的切線問題等有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合性試題，在這方面多下工夫。

題組設(shè)計(jì)

再現(xiàn)型題組

1、函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（    ）

A．         B．        C．         D．

2、函數(shù)有（    ）

A．極大值，極小值           B．極大值，極小值

C．極大值，無極小值             D．極小值，無極大值

3、已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，，

則時(shí)（    ） 

A．          B．

C．               D．

4、已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則             

5、設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的

取值范圍為             。

鞏固型題組

6、已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值

(1)求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)，不等式恒成立，求的取值范圍。

7、統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：．已知甲、乙兩地相距100千米

       （Ⅰ）當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？

       （Ⅱ）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

提高型題組

8、已知在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),又

(Ⅰ)求的解析式;

(Ⅱ)若在區(qū)間(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范圍。

9、已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同。

（I）用表示，并求的最大值；

（II）求證：（）。

反饋型題組

10、函數(shù)的最大值為（    ）

A．          B．         C．     D．

11、對(duì)于上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿足，則必有（     ）

A．            B.

C.              D.

12、若函數(shù)在處有極大值，則常數(shù)的值為       ；

13、函數(shù)在時(shí)有極值，那么的值分別為    ，    。

14、用長(zhǎng)為18 cm的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2：1，問該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？

15、設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

沾化一中  王建國

4.4定積分概念及微積分原理

1、  了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念。

2、  了解微積分定理的含義。

1、定積分幾何意義：

①表示y=f(x)與x軸，x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積

②表示y=f(x)與x軸，x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積的相反數(shù)

2、微積分基本定理

如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則此公式進(jìn)一步揭示了定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。

3、定積分的計(jì)算

①定義法：分割―近似代替―求和―取極限

②利用定積分幾何意義

③微積分基本公式

④換元法與分部積分法

4、定積分的基本應(yīng)用：

（1）定積分在幾何上的應(yīng)用――計(jì)算平面圖形的面積

（2）定積分在物理上的應(yīng)用：①變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，②變力作功。

本部分知識(shí)以選擇、填空題為主考查定積分的幾何意義、基本性質(zhì)和微積分基本定理

1、下列等于1的積分是                                                   （    ）

    A．        B．     C．          D．

2、已知自由落體運(yùn)動(dòng)的速率，則落體運(yùn)動(dòng)從到所走的路程為  （    ）

    A．          B．           C．          D．

3、曲線與坐標(biāo)周圍成的面積                           （    ）

    A．4              B．2              C．             D．3

4、=                                                      （    ）

    A．          B．2e             C．             D．

5、求由圍成的曲邊梯形的面積時(shí)，若選擇ｘ為積分變量，則積分區(qū)間為（�。�

    A．［0，］       B．［0，2］　      C．［1，2］　      D．［0，1］

6、如果1N力能拉長(zhǎng)彈簧1cm，為將彈簧拉長(zhǎng)6cm，所耗費(fèi)的功是 （    ）

    A．0.18          B．0.26             C．0.12        D．0.2

7、計(jì)算下列定積分的值

    （1）；（2）；

（3）；  （4）

8、求由曲線與，，所圍成的平面圖形的面積

9、設(shè)y=f（x）是二次函數(shù),方程f（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且=2x+2.

（1）求y=f（x）的表達(dá)式；

（2）求y=f（x）的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積.

（2）若直線x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值.

10、拋物線y=ax²＋bx在第一象限內(nèi)與直線x＋y=4相切．此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S．求使S達(dá)到最大值的a、b值，并求S_max

11．求曲線與軸所圍成的圖形的面積

12．一物體按規(guī)律x＝bt³作直線運(yùn)動(dòng)，式中x為在時(shí)間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方．試求物體由x＝0運(yùn)動(dòng)到x＝a時(shí)，阻力所作的功．

【歸納小結(jié)】

1．定積分的概念，要抓住定義中的本質(zhì)內(nèi)容，分割、近似、求和、取極限，并能解釋定義和有關(guān)性質(zhì)的幾何意義，幫助加深和理解。

2．定積分應(yīng)用主要表現(xiàn)在：（1）求平面圖形的面積（2）變速直線運(yùn)動(dòng)的路程（3）變力作功。應(yīng)通過足夠例子熟練運(yùn)用定積分表示一些幾何、物理量。

沾化一中   朱忠祥

第4單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用45分鐘單元綜合測(cè)試題

1、函數(shù)f(x)=x³+ax+1在（-∞,-1）上為增函數(shù)，在（-1，1）上為減函數(shù)，則f(1)為(    )

A                  B.1              C.                   D.-1

2、已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，對(duì)于任意

實(shí)數(shù)有則的最小值（ ）      

 Ａ．      Ｂ．      Ｃ．      Ｄ．

3、設(shè)函數(shù)是上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線在的切線的斜率為（ ）

Ａ．        Ｂ．          Ｃ．          Ｄ．

4設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增，，則是的

（　　）

Ａ．充分不必要條件 Ｂ．必要不充分條件 Ｃ．充分必要條件  Ｄ．既不充分也不必要條件

5、曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（    ）

A．          B．           C．           D．

6、在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小于的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（       ）                   

A．3             B．2          C．1             D．0

7、若函數(shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍      

8、已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則

___．

9、已知曲線，則_____________。

10、P是拋物線上的點(diǎn)，若過點(diǎn)P的切線方程與直線垂直，則過P點(diǎn)處的切線方程是____________。 

11、設(shè)，．令，討論在

內(nèi)的單調(diào)性。

12、如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，記，梯形

面積為．

（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；

（II）求面積的最大值．                                                                           

沾化一中   李方成

§4.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算答案或提示

再現(xiàn)型題組

1  [答案或提示]  2；2

[基礎(chǔ)知識(shí)聚焦]  函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義為及其變形,特別注意函數(shù)值的增量與自變量的增量.幾何意義表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.

2．[答案或提示]-3.3m/s  以3.3m/s的速率下降。

[基礎(chǔ)知識(shí)聚焦] 此題考察導(dǎo)數(shù)的物理意義,速度是位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)

3.  [答案或提示]

[基礎(chǔ)知識(shí)聚焦]此題考察函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線方程的求法。即求切線的斜率

4．[答案或提示]（1）     （2）     （3）

 [基礎(chǔ)知識(shí)聚焦]要熟記常見函數(shù)的求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的法則。在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)關(guān)鍵是分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系逐步求導(dǎo)直到最后，把中間變量轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞康暮瘮?shù)。

5 .

[解] 點(diǎn)M在上

又

    ∴

[點(diǎn)評(píng)] 切點(diǎn)既在曲線上又在切線上,以及切線得我斜率為,這三點(diǎn)往往用在解與切線有關(guān)的題目.

6.

[解](1),P(1,1)是切點(diǎn)

   曲線在P處的切線方程是

(2)顯然Q(1,0)不在曲線上,則可設(shè)過該點(diǎn)的切線的切點(diǎn)是,則該切線的斜率是.

則切線的方程為

將Q(1,0)代入上面方程得,故所求方程為.

(3).設(shè)切點(diǎn)得坐標(biāo)為A,則切線得斜率為,

解得所以切線方程為

[點(diǎn)評(píng)] 不管是求函數(shù)圖像在某點(diǎn)處得切線方程還是求過某點(diǎn)得切線方程,首先都要求(或設(shè))切點(diǎn)得坐標(biāo),得出切線得斜率,在解決問題.

7.解：求k的最大值就是求相切時(shí)切線的斜率

設(shè)切點(diǎn)為,則,

[點(diǎn)評(píng)] 把所求問題轉(zhuǎn)化為與切線有關(guān)的問題.

8.選A.

[解] 由,即-1<k<1,A中,當(dāng)時(shí)滿足題意.B中    不滿足題意C中,當(dāng)x =2時(shí),,不滿足題意.D中不滿足題意.

[點(diǎn)評(píng)]本題考查函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

9.[解]選A.由題意得

所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為：

[點(diǎn)評(píng)] 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義及數(shù)列的求和

反饋型題組

10．[答案或提示]

11．[答案或提示]y=4x-3

12. [答案或提示]

13. . [答案或提示]A

14. . [答案或提示]

4.2函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（解答部分）

再現(xiàn)型題組

1.       解答：?jiǎn)握{(diào)遞增  單調(diào)遞減

【評(píng)析】㈠與為增函數(shù)的關(guān)系。

能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，∴是為增函數(shù)的充分不必要條件。

㈡時(shí)，與為增函數(shù)的關(guān)系。

若將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有�！喈�(dāng)時(shí)，是為增函數(shù)的充分必要條件。

㈢與為增函數(shù)的關(guān)系。

為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)?sub>，即為或。當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。∴是為增函數(shù)的必要不充分條件。

2.       解答：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間   單調(diào)遞減區(qū)間

【評(píng)析】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是兩個(gè)區(qū)間，但是不能寫成。有關(guān)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在單調(diào)遞增。

鞏固型題組

3.       解答：函數(shù)的定義域?yàn)?sub>

令則>0

或.

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和.

令則<0.

且

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和

另解：可以結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)來解決。

【評(píng)析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的符號(hào)來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，體現(xiàn)了形象思維的直觀性和運(yùn)動(dòng)性，解決這類問題，如果僅利用函數(shù)單調(diào)性的定義來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，則運(yùn)算復(fù)雜且難以找準(zhǔn)。

4.解答1： 因?yàn)閒 ’(x)=2x-a

       令2x-a<0　得x<a／2

　要使f(x)在(－∞，1)上是減函數(shù),

解答2： 因?yàn)閒 ’(x)=2x-a

　要使f(x)在(－∞，1)上是減函數(shù),

   只要f ’(x)＝2x-a在(－∞，1)上恒小于0

　即 2x-a＜0 在(－∞，1)上恒成立.

　即 a>2x在(－∞，1)上恒成立.

　因?yàn)閤<1  所以2x<2

  因此a≥2

【評(píng)析】主要考查，與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系

提高型題組

5.解答：（1）

令

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（－，－1）和（3，+）（2）

因?yàn)?sub>

所以

因?yàn)樵冢ǎ?，3）上>0，所以在[－1，2]上單調(diào)遞增，

又由于在[－2，－1]上單調(diào)遞減，

因此f（2）和f（－1）分別是在區(qū)間[－2，2]上的最大值和最小值

于是有22+a=20，解得a=－2。

故

因此f（－1）=1+3－9－2=－7，

即函數(shù)在區(qū)間[－2，2]上的最小值為－7。

【評(píng)析】函數(shù)的單調(diào)性與極值最值結(jié)合是高考中的重點(diǎn).

6.解答:由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，且

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

（2）當(dāng)時(shí)，由解得

、隨的變化情況如下表

―

0

+

ㄋ

極小值

ㄊ

從上表可知

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增.

【評(píng)析】考查應(yīng)用導(dǎo)求函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式一定要熟練掌握。

反饋型題組

7.解答：B

8解答：D

【評(píng)析】注意單調(diào)區(qū)間不要用并集。

9.解答：A

【評(píng)析】在求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間時(shí)注意對(duì)a進(jìn)行分類討論，且是函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間的子集。

10.解答：C

【評(píng)析】利用數(shù)形結(jié)合在解決導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性問題上有很重要的作用.

11.解答：A

【評(píng)析】是函數(shù)單調(diào)遞增的充分不必要條件。

12.解答：（1）的定義域?yàn)?sub>，對(duì)求導(dǎo)得.

①當(dāng)時(shí)，在和上均大于0，所以在上為增函數(shù).

②當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù).

③當(dāng)時(shí)，

令解得

當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下表：

   ―

ㄊ

ㄋ

ㄊ

ㄊ

在上為增函數(shù)，在為減函數(shù).

（2）①當(dāng)時(shí)，由（1）知：對(duì)任意恒有

②當(dāng)時(shí)，取則由（1）知

③當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒有且得

綜上當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒有

【評(píng)析】注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟

已知 

（1）分析 的定義域；   （2）求導(dǎo)數(shù)

（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間

（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間

函數(shù)解析式中有參數(shù)時(shí)，注意對(duì)參數(shù)的分類討論.

13. 【解析】：（Ⅰ）∵，∴。

從而＝是一個(gè)奇函數(shù)，所以得，由奇函數(shù)定義得；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，從而，由此可知，和是函數(shù)是單調(diào)遞增區(qū)間；是函數(shù)是單調(diào)遞減區(qū)間；

在時(shí)，取得極大值，極大值為，在時(shí)，取得極小值，極小值為。

§4.3函數(shù)的極值、最值及優(yōu)化問題（解答部分）

再現(xiàn)型題組

1、【提示或答案】D

      得而端點(diǎn)的函數(shù)值，得

   【基礎(chǔ)知識(shí)聚焦】考查利用導(dǎo)數(shù)求最值

2、【提示或答案】C  ，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，；取不到，無極小值

   【基礎(chǔ)知識(shí)聚焦】考查利用導(dǎo)數(shù)求極值

3、【提示或答案】B   ,所以為奇函數(shù)，為偶函數(shù)。那么 為偶函數(shù)，為奇函數(shù)。利用對(duì)稱性，故選B。

【基礎(chǔ)知識(shí)聚焦】考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性以及導(dǎo)數(shù)在這方面的作用。

4、【提示或答案】32    解得： 為極大值，為極小值。計(jì)算  ∴，

【基礎(chǔ)知識(shí)聚焦】考查函數(shù)在必區(qū)間上的最值問題

5、【提示或答案】         時(shí)，

【基礎(chǔ)知識(shí)聚焦】考查利用導(dǎo)數(shù)求最值

鞏固型題組

6、 解：（1）

由，得

，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如下表：

­

極大值

¯

極小值

­

所以函數(shù)的遞增區(qū)間是與,遞減區(qū)間是；

（2），當(dāng)時(shí)，

為極大值，而，則為最大值，要使

恒成立，則只需要，得。

【點(diǎn)評(píng)】在利用導(dǎo)數(shù)求極值的過程中要注意嚴(yán)格按步驟。

 7、解：（I）當(dāng)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，

       要耗油（升）。

       答：當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升。

      （II）當(dāng)速度為千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為升，

        依題意得

             令得

         當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；

         當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)。

        當(dāng)時(shí)，取到極小值

         因?yàn)?sub>在上只有一個(gè)極值，所以它是最小值。

    答：當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。

【點(diǎn)評(píng)】在利用導(dǎo)數(shù)求最值的過程中要注意嚴(yán)格按步驟，注意格式規(guī)范，步驟完整。

提高型題組

8、解：（Ⅰ），由已知，

即解得

，，，．

（Ⅱ）令，即，

，或．

又在區(qū)間上恒成立，．

【點(diǎn)評(píng)】 考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)求最值的作用，注意體會(huì)導(dǎo)數(shù)的優(yōu)越性，注意總結(jié)這一類問題的解決方法。

9、解：（Ⅰ）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同．

，，由題意，．

即由得：，或（舍去）．

即有．

令，則．于是

當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，．

故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

于是在的最大值為．

（Ⅱ）設(shè)，

則．

故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

于是函數(shù)在上的最小值是．

故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，．

【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。

課堂小結(jié)  

1、函數(shù)的極值和最值是有區(qū)別和聯(lián)系的：函數(shù)的極值是一個(gè)局部概念，而最值是某個(gè)區(qū)間上的整體概念，函數(shù)的極值可以有多個(gè)，而函數(shù)的最值最多有一個(gè)。

2、在求可導(dǎo)函數(shù)的最值時(shí)，不必討論導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，而直接將導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較即可。

反饋型題組

10、A

11、C

12、6  

13、4，-11

14、解：設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x（m），則長(zhǎng)為2x(m)，高為

.

故長(zhǎng)方體的體積為

從而

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，V′（x）＞0；當(dāng)1＜x＜時(shí)，V′（x）＜0，

故在x=1處V（x）取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V（x）的最大值。

從而最大體積V＝V′（x）＝9×1²-6×1³（m³），此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2 m，高為1.5 m.

答：當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2 m時(shí)，寬為1 m，高為1.5 m時(shí)，體積最大，最大體積為3 m³。

15、解：（Ⅰ），

當(dāng)時(shí)，取最小值，

即．

（Ⅱ）令，

由得，（不合題意，舍去）．

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

遞增

極大值

遞減

在內(nèi)有最大值．

在內(nèi)恒成立等價(jià)于在內(nèi)恒成立，

即等價(jià)于，

所以的取值范圍為．

4.4定積分概念及微積分原理

答案部分

1、C   2、C   3、D   4、D    5、B   6、A

7．【提示或答案】

（1）

（2）

（3）

  （4） 如圖是 圓面積：積分 是圖中陰影部分的面積

=

8．【提示或答案】

【點(diǎn)評(píng)】定積分計(jì)算題為近幾年高考的考查重點(diǎn)。

9．【提示或答案】解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，則f′（x）=2ax+b，

又已知f′（x）=2x+2

∴a=1，b=2.

∴f（x）=x²+2x+c

又方程f（x）=0有兩個(gè)相等實(shí)根，

∴判別式Δ=4－4c=0，即c=1.

故f（x）=x²+2x+1.

（2）依題意，有所求面積=.

（3）依題意，有，

∴，－t³+t²－t+=t³－t²+t，2t³－6t²+6t－1=0，

∴2（t－1）³=－1，于是t=1－.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查導(dǎo)數(shù)和積分的基本概念.

10．【提示或答案】解 依題設(shè)可知拋物線為凸形，它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁=0，x₂=－b/a，所以(1)

又直線x＋y=4與拋物線y=ax²＋bx相切，即它們有唯一的公共點(diǎn)，

由方程組

得ax²＋(b＋1)x－4=0，其判別式必須為0，即(b＋1)²＋16a=0．

于是代入（1）式得：

，；　

令S'(b)=0；在b＞0時(shí)得唯一駐點(diǎn)b=3，且當(dāng)0＜b＜3時(shí)，S'(b)＞0；當(dāng)b＞3時(shí)，S'(b)＜0．故在b=3時(shí)，S(b)取得極大值，也是最大值，即a=－1，b=3時(shí)，S取得最大值，且．

【點(diǎn)評(píng)】在知識(shí)模塊的結(jié)合處出考題考查學(xué)生。

11．【提示或答案】解：首先求出函數(shù)的零點(diǎn)：，，.又易判斷出在內(nèi)，圖形在軸下方，在內(nèi)，圖形在軸上方，

所以所求面積為

12．【答案提示】解：物體的速度．媒質(zhì)阻力，其中k為比例常數(shù)，k>0．

當(dāng)x=0時(shí)，t=0；當(dāng)x=a時(shí)，，又ds=vdt，故阻力所作的功為

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

(45分鐘單元綜合測(cè)試題解答與提示)

1、（C）分析:∵f′(x)=x²+a,又f′(-1)=0,∴a=-1,f(1)= -1+1=.

2、（C）

3、（B）　分析：這道題可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義來求，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)f(x)在點(diǎn)

的導(dǎo)數(shù)是曲線在點(diǎn)處的切線斜率.

4、（B）

5、（A）

6、（D）

  解：切線的斜率，傾斜角小于，

    所以不存在符合條件的整數(shù)x，故應(yīng)選D.

分析：考查導(dǎo)數(shù)幾何性質(zhì)的運(yùn)用及斜率和傾斜角的關(guān)系，屬于中低檔題，立足交匯處設(shè)計(jì)試題是�？汲Ｐ�，值得關(guān)注.

7、解：，

由題意得 總成立，故，　∴

8、32

9、

10、2x-y-1=0

11、解：根據(jù)求導(dǎo)法則有，

故，

于是，   當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，

故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)。．

12 (I)依題意，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（如圖），則點(diǎn)的橫坐標(biāo)

為．點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足方程，

解得

　　則，其定義域?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com/pic4/docfiles/down/test/down/69e867888754a3be072f115164c958f1.zip/57902/第4單元%20%20導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.files/image1161.gif" >．

　　（II）記，則．令

，得．

　　因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以是的

最大值．

　　因此，當(dāng)時(shí)，也取得最大值，最大值為．即梯形面積

的最大值為．

　分析：在求實(shí)際問題中的最大值或最小值時(shí)，一般是先求出自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域。如果定義域是一個(gè)開區(qū)間，函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)（一般初等函數(shù)在自己的定義域內(nèi)必可導(dǎo)），且此函數(shù)在這一開區(qū)間內(nèi)有最大（小）值，那么只要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，立即可以斷定在這個(gè)極值點(diǎn)處的函數(shù)值就是最大（小）值。如果定義域是閉區(qū)間，則必須對(duì)該點(diǎn)處的函數(shù)值與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較才能確定。