第4單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
四、高考分析及預(yù)測(cè)
§4.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算
新課標(biāo)要求
1. 了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景瞬時(shí)速度,加速度等),掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義,理解導(dǎo)函數(shù)的概念.
2. 熟記基本導(dǎo)數(shù)公式,掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則,了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,會(huì)求某些簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
重難點(diǎn)聚焦
重點(diǎn):理解導(dǎo)數(shù)的概念及常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
難點(diǎn):理解導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
高考分析及預(yù)測(cè)
在高考中,常以選擇或填空的形式考查導(dǎo)數(shù)的概念,及幾何意義,也以解答題的形式考查與切線有關(guān)的綜合性題目,難度不大.
再現(xiàn)型題組
1.函數(shù)的圖像是折線段ABC,其中A.B.C的坐標(biāo)分別為,則 ,= .
2. 在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,t秒時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度為,則運(yùn)動(dòng)員在1秒時(shí)的瞬時(shí)速度為 ,此時(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是
3.過P(-1,2)且與曲線在點(diǎn)M(1,1)處的切線平行的直線方程是 .
4.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) (2) (3)
鞏固型題組
5.函數(shù)的圖像在點(diǎn)M處的切線方程是,= .
6.已知曲線求
(1).曲線在P(1,1)處的切線方程.
(2).曲線過點(diǎn)Q(1,0)的切線方程.
(3).滿足斜率為-的切線的方程.
提高型題組
7.已知直線y=kx與y=lnx有公共點(diǎn),則k的最大值為 .
8在下列四個(gè)函數(shù)中,滿足性質(zhì):“對(duì)于區(qū)間(1,2)的任意恒成立的是( ).
A B C D
9. 設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是,則數(shù)列的前n項(xiàng)和為( )
A B C D
反饋型題組
10.,若則a= .
11.若曲線的一條切線與垂直,則的方程為
12.曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 .
13設(shè)則( )
A sinx B ?sinx C cosx D -cosx
14.點(diǎn)P是曲線上任一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線的距離的最小值是 。
沾化一中 馮樹華
4.2函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)
新課標(biāo)要求
1. 借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。
2. 能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
重點(diǎn)、難點(diǎn)聚焦
1. 在確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),應(yīng)首先考慮所給函數(shù)的定義域,函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子集。
2. 當(dāng)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(如單調(diào)增區(qū)間)有多個(gè)時(shí),不能把這些區(qū)間取并集。
3. (或)是在某一區(qū)間上為增函數(shù)(或減函數(shù))的充分不必要條件。
高考分析及預(yù)測(cè)
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條重要性質(zhì),也是高中階段研究的重點(diǎn),用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是新課標(biāo)的要求。在2008年的高考中,絕大部分地區(qū)都在此考點(diǎn)命題。,估計(jì)在2009年的高考中,仍將是熱點(diǎn),應(yīng)高度重視。
題組設(shè)計(jì)
再現(xiàn)型題組
1.在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi) ;如果,那么這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi) 。
2.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 單調(diào)遞減區(qū)間 。
鞏固型題組
3.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
4. 已知函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增,求的取值范圍。
提高型題組
5. 已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若在區(qū)間[-2,2]上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值
6.設(shè)函數(shù),其中,求的單調(diào)區(qū)間。
反饋型題組
7.下列函數(shù)中,在上為增函數(shù)的是( )
A. B. C. D.
8.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為( )
A. B. C. D.
9.若函數(shù)的遞減區(qū)間為,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
10.以下四圖,都是同一坐標(biāo)系中三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖像,其中一定不正確的序號(hào)是( )
A.①、② B.①、③ C.③、④ D.①、④
11.若在區(qū)間內(nèi)有且則在內(nèi)有( )
A. B. C. D.不能確定
12.已知函數(shù).
(1)設(shè),討論的單調(diào)性;
(2)如對(duì)任意恒有,求的取值范圍。
13. 設(shè)函數(shù),已知是奇函數(shù)。
(Ⅰ)求、的值。(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間與極值。
沾化一中 馬海峰
§4.3 函數(shù)的極值、最值及優(yōu)化問題
新課標(biāo)要求
1、結(jié)合函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件;
2、會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值以及閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值;體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性.
3通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題,體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.
重點(diǎn)難點(diǎn)聚焦
1、重點(diǎn):結(jié)合函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件;會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值以及閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值;
2、難點(diǎn):體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性.
命題趨勢(shì)
1、 該節(jié)是2009年高考考查的熱點(diǎn),主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的應(yīng)用,包括求函數(shù)的最值、極值,實(shí)際問題中的優(yōu)化問題等。
2、導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性,方程根的分布,解析幾何中的切線問題等有機(jī)結(jié)合,設(shè)計(jì)綜合性試題,在這方面多下工夫。
題組設(shè)計(jì)
再現(xiàn)型題組
1、函數(shù)在區(qū)間上的最小值為( )
A. B. C. D.
2、函數(shù)有( )
A.極大值,極小值 B.極大值,極小值
C.極大值,無極小值 D.極小值,無極大值
3、已知對(duì)任意實(shí)數(shù),有,且時(shí),,
則時(shí)( )
A. B.
C. D.
4、已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為,則
5、設(shè),當(dāng)時(shí),恒成立,則實(shí)數(shù)的
取值范圍為 。
鞏固型題組
6、已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值
(1)求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì),不等式恒成立,求的取值范圍。
7、統(tǒng)計(jì)表明,某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量(升)關(guān)于行駛速度(千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為:.已知甲、乙兩地相距100千米
(Ⅰ)當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地要耗油多少升?
(Ⅱ)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?
提高型題組
8、已知在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),又
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若在區(qū)間(m>0)上恒有≤x成立,求m的取值范圍。
9、已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù),,其中.設(shè)兩曲線,有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同。
(I)用表示,并求的最大值;
(II)求證:()。
反饋型題組
10、函數(shù)的最大值為( )
A. B. C. D.
11、對(duì)于上可導(dǎo)的任意函數(shù),若滿足,則必有( )
A. B.
C. D.
12、若函數(shù)在處有極大值,則常數(shù)的值為 ;
13、函數(shù)在時(shí)有極值,那么的值分別為 , 。
14、用長(zhǎng)為
15、設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
沾化一中 王建國
4.4定積分概念及微積分原理
1、 了解定積分的實(shí)際背景,了解定積分的基本思想,了解定積分的概念。
2、 了解微積分定理的含義。
1、定積分幾何意義:
①表示y=f(x)與x軸,x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積
②表示y=f(x)與x軸,x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積的相反數(shù)
2、微積分基本定理
如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù),則此公式進(jìn)一步揭示了定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。
3、定積分的計(jì)算
①定義法:分割―近似代替―求和―取極限
②利用定積分幾何意義
③微積分基本公式
④換元法與分部積分法
4、定積分的基本應(yīng)用:
(1)定積分在幾何上的應(yīng)用――計(jì)算平面圖形的面積
(2)定積分在物理上的應(yīng)用:①變速直線運(yùn)動(dòng)的路程,②變力作功。
本部分知識(shí)以選擇、填空題為主考查定積分的幾何意義、基本性質(zhì)和微積分基本定理
A. B. C. D.
2、已知自由落體運(yùn)動(dòng)的速率,則落體運(yùn)動(dòng)從到所走的路程為 ( )
A. B. C. D.
3、曲線與坐標(biāo)周圍成的面積 ( )
A.4
B.
4、= ( )
A. B.2e C. D.
5、求由圍成的曲邊梯形的面積時(shí),若選擇x為積分變量,則積分區(qū)間為(。
A.[0,] B.[0,2] C.[1,2] D.[0,1]
6、如果1N力能拉長(zhǎng)彈簧
A.0.18
B.
7、計(jì)算下列定積分的值
(1);(2);
(3); (4)
8、求由曲線與,,所圍成的平面圖形的面積
9、設(shè)y=f(x)是二次函數(shù),方程f(x)=0有兩個(gè)相等的實(shí)根,且=2x+2.
(1)求y=f(x)的表達(dá)式;
(2)求y=f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積.
(2)若直線x=-t(0<t<1=把y=f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積二等分,求t的值.
10、拋物線y=ax2+bx在第一象限內(nèi)與直線x+y=4相切.此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S.求使S達(dá)到最大值的a、b值,并求Smax
11.求曲線與軸所圍成的圖形的面積
12.一物體按規(guī)律x=bt3作直線運(yùn)動(dòng),式中x為在時(shí)間t內(nèi)通過的距離,媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方.試求物體由x=0運(yùn)動(dòng)到x=a時(shí),阻力所作的功.
【歸納小結(jié)】
1.定積分的概念,要抓住定義中的本質(zhì)內(nèi)容,分割、近似、求和、取極限,并能解釋定義和有關(guān)性質(zhì)的幾何意義,幫助加深和理解。
2.定積分應(yīng)用主要表現(xiàn)在:(1)求平面圖形的面積(2)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程(3)變力作功。應(yīng)通過足夠例子熟練運(yùn)用定積分表示一些幾何、物理量。
沾化一中 朱忠祥
第4單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用45分鐘單元綜合測(cè)試題
一、選擇題
1、函數(shù)f(x)=x3+ax+1在(-∞,-1)上為增函數(shù),在(-1,1)上為減函數(shù),則f(1)為( )
A
B
2、已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,,對(duì)于任意
實(shí)數(shù)有則的最小值( )
A. B. C. D.
3、設(shè)函數(shù)是上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù),則曲線在的切線的斜率為( )
A. B. C. D.
4設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增,,則是的
( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
5、曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為( )
A. B. C. D.
6、在函數(shù)的圖象上,其切線的傾斜角小于的點(diǎn)中,坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )
A.3 B.
二、填空題
7、若函數(shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍
8、已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為,,則
___.
9、已知曲線,則_____________。
10、P是拋物線上的點(diǎn),若過點(diǎn)P的切線方程與直線垂直,則過P點(diǎn)處的切線方程是____________。
三、解答題
11、設(shè),.令,討論在
內(nèi)的單調(diào)性。
12、如圖,有一塊半橢圓形鋼板,其半軸長(zhǎng)為,短半軸長(zhǎng)為,計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀,下底是半橢圓的短軸,上底的端點(diǎn)在橢圓上,記,梯形
面積為.
(I)求面積以為自變量的函數(shù)式,并寫出其定義域;
(II)求面積的最大值.
沾化一中 李方成
§4.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算答案或提示
再現(xiàn)型題組
1 [答案或提示] 2;2
[基礎(chǔ)知識(shí)聚焦] 函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義為及其變形,特別注意函數(shù)值的增量與自變量的增量.幾何意義表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.
2.[答案或提示]
[基礎(chǔ)知識(shí)聚焦] 此題考察導(dǎo)數(shù)的物理意義,速度是位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)
3. [答案或提示]
[基礎(chǔ)知識(shí)聚焦]此題考察函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線方程的求法。即求切線的斜率
4.[答案或提示](1) (2) (3)
[基礎(chǔ)知識(shí)聚焦]要熟記常見函數(shù)的求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的法則。在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)關(guān)鍵是分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系逐步求導(dǎo)直到最后,把中間變量轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞康暮瘮?shù)。
5 .
[解] 點(diǎn)M在上
又
∴
[點(diǎn)評(píng)] 切點(diǎn)既在曲線上又在切線上,以及切線得我斜率為,這三點(diǎn)往往用在解與切線有關(guān)的題目.
6.
[解](1),P(1,1)是切點(diǎn)
曲線在P處的切線方程是
(2)顯然Q(1,0)不在曲線上,則可設(shè)過該點(diǎn)的切線的切點(diǎn)是,則該切線的斜率是.
則切線的方程為
將Q(1,0)代入上面方程得,故所求方程為.
(3).設(shè)切點(diǎn)得坐標(biāo)為A,則切線得斜率為,
解得所以切線方程為
[點(diǎn)評(píng)] 不管是求函數(shù)圖像在某點(diǎn)處得切線方程還是求過某點(diǎn)得切線方程,首先都要求(或設(shè))切點(diǎn)得坐標(biāo),得出切線得斜率,在解決問題.
7.解:求k的最大值就是求相切時(shí)切線的斜率
設(shè)切點(diǎn)為,則,
[點(diǎn)評(píng)] 把所求問題轉(zhuǎn)化為與切線有關(guān)的問題.
8.選A.
[解] 由,即-1<k<1,A中,當(dāng)時(shí)滿足題意.B中 不滿足題意C中,當(dāng)x =2時(shí),,不滿足題意.D中不滿足題意.
[點(diǎn)評(píng)]本題考查函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.
9.[解]選A.由題意得
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為:
[點(diǎn)評(píng)] 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義及數(shù)列的求和
反饋型題組
10.[答案或提示]
11.[答案或提示]y=4x-3
12. [答案或提示]
13. . [答案或提示]A
14. . [答案或提示]
4.2函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(解答部分)
再現(xiàn)型題組
1. 解答:?jiǎn)握{(diào)遞增 單調(diào)遞減
【評(píng)析】㈠與為增函數(shù)的關(guān)系。
能推出為增函數(shù),但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增,但,∴是為增函數(shù)的充分不必要條件。
㈡時(shí),與為增函數(shù)的關(guān)系。
若將的根作為分界點(diǎn),因?yàn)橐?guī)定,即摳去了分界點(diǎn),此時(shí)為增函數(shù),就一定有!喈(dāng)時(shí),是為增函數(shù)的充分必要條件。
㈢與為增函數(shù)的關(guān)系。
為增函數(shù),一定可以推出,但反之不一定,因?yàn)?sub>,即為或。當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù),函數(shù)不具有單調(diào)性。∴是為增函數(shù)的必要不充分條件。
2. 解答:?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間 單調(diào)遞減區(qū)間
【評(píng)析】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是兩個(gè)區(qū)間,但是不能寫成。有關(guān)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞增,又知函數(shù)在處連續(xù),因此在單調(diào)遞增。
鞏固型題組
3. 解答:函數(shù)的定義域?yàn)?sub>
令則>0
或.
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和.
令則<0.
且
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和
另解:可以結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)來解決。
【評(píng)析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的符號(hào)來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,體現(xiàn)了形象思維的直觀性和運(yùn)動(dòng)性,解決這類問題,如果僅利用函數(shù)單調(diào)性的定義來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,則運(yùn)算復(fù)雜且難以找準(zhǔn)。
4.解答1: 因?yàn)閒 ’(x)=2x-a
令2x-a<0 得x<a/2
要使f(x)在(-∞,1)上是減函數(shù),
解答2: 因?yàn)閒 ’(x)=2x-a
要使f(x)在(-∞,1)上是減函數(shù),
只要f ’(x)=2x-a在(-∞,1)上恒小于0
即 2x-a<0 在(-∞,1)上恒成立.
即 a>2x在(-∞,1)上恒成立.
因?yàn)閤<1 所以2x<2
因此a≥2
【評(píng)析】主要考查,與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系
提高型題組
5.解答:(1)
令
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-,-1)和(3,+)(2)
因?yàn)?sub>
所以
因?yàn)樵冢ǎ?,3)上>0,所以在[-1,2]上單調(diào)遞增,
又由于在[-2,-1]上單調(diào)遞減,
因此f(2)和f(-1)分別是在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值
于是有22+a=20,解得a=-2。
故
因此f(-1)=1+3-9-2=-7,
即函數(shù)在區(qū)間[-2,2]上的最小值為-7。
【評(píng)析】函數(shù)的單調(diào)性與極值最值結(jié)合是高考中的重點(diǎn).
6.解答:由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?sub>,且
(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,
(2)當(dāng)時(shí),由解得
、隨的變化情況如下表
―
0
+
ㄋ
極小值
ㄊ
從上表可知
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增.
綜上所述:
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)在上單調(diào)遞增.
【評(píng)析】考查應(yīng)用導(dǎo)求函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式一定要熟練掌握。
反饋型題組
7.解答:B
8解答:D
【評(píng)析】注意單調(diào)區(qū)間不要用并集。
9.解答:A
【評(píng)析】在求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間時(shí)注意對(duì)a進(jìn)行分類討論,且是函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間的子集。
10.解答:C
【評(píng)析】利用數(shù)形結(jié)合在解決導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性問題上有很重要的作用.
11.解答:A
【評(píng)析】是函數(shù)單調(diào)遞增的充分不必要條件。
12.解答:(1)的定義域?yàn)?sub>,對(duì)求導(dǎo)得.
①當(dāng)時(shí),在和上均大于0,所以在上為增函數(shù).
②當(dāng)時(shí),在上為增函數(shù).
③當(dāng)時(shí),
令解得
當(dāng)變化時(shí),和的變化情況如下表:
―
ㄊ
ㄋ
ㄊ
ㄊ
在上為增函數(shù),在為減函數(shù).
(2)①當(dāng)時(shí),由(1)知:對(duì)任意恒有
②當(dāng)時(shí),取則由(1)知
③當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒有且得
綜上當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒有
【評(píng)析】注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟
已知
(1)分析 的定義域; (2)求導(dǎo)數(shù)
(3)解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間
(4)解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間
函數(shù)解析式中有參數(shù)時(shí),注意對(duì)參數(shù)的分類討論.
13. 【解析】:(Ⅰ)∵,∴。
從而=是一個(gè)奇函數(shù),所以得,由奇函數(shù)定義得;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,從而,由此可知,和是函數(shù)是單調(diào)遞增區(qū)間;是函數(shù)是單調(diào)遞減區(qū)間;
在時(shí),取得極大值,極大值為,在時(shí),取得極小值,極小值為。
§4.3函數(shù)的極值、最值及優(yōu)化問題(解答部分)
再現(xiàn)型題組
1、【提示或答案】D
得而端點(diǎn)的函數(shù)值,得
【基礎(chǔ)知識(shí)聚焦】考查利用導(dǎo)數(shù)求最值
2、【提示或答案】C ,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),;取不到,無極小值
【基礎(chǔ)知識(shí)聚焦】考查利用導(dǎo)數(shù)求極值
3、【提示或答案】B ,所以為奇函數(shù),為偶函數(shù)。那么 為偶函數(shù),為奇函數(shù)。利用對(duì)稱性,故選B。
【基礎(chǔ)知識(shí)聚焦】考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性以及導(dǎo)數(shù)在這方面的作用。
4、【提示或答案】32 解得: 為極大值,為極小值。計(jì)算 ∴,
【基礎(chǔ)知識(shí)聚焦】考查函數(shù)在必區(qū)間上的最值問題
5、【提示或答案】 時(shí),
【基礎(chǔ)知識(shí)聚焦】考查利用導(dǎo)數(shù)求最值
鞏固型題組
6、 解:(1)
由,得
,函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如下表:
極大值
¯
極小值
所以函數(shù)的遞增區(qū)間是與,遞減區(qū)間是;
(2),當(dāng)時(shí),
為極大值,而,則為最大值,要使
恒成立,則只需要,得。
【點(diǎn)評(píng)】在利用導(dǎo)數(shù)求極值的過程中要注意嚴(yán)格按步驟。
7、解:(I)當(dāng)時(shí),汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí),
要耗油(升)。
答:當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油
(II)當(dāng)速度為千米/小時(shí)時(shí),汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí),設(shè)耗油量為升,
依題意得
令得
當(dāng)時(shí),是減函數(shù);
當(dāng)時(shí),是增函數(shù)。
當(dāng)時(shí),取到極小值
因?yàn)?sub>在上只有一個(gè)極值,所以它是最小值。
答:當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油最少,最少為
【點(diǎn)評(píng)】在利用導(dǎo)數(shù)求最值的過程中要注意嚴(yán)格按步驟,注意格式規(guī)范,步驟完整。
提高型題組
8、解:(Ⅰ),由已知,
即解得
,,,.
(Ⅱ)令,即,
,或.
又在區(qū)間上恒成立,.
【點(diǎn)評(píng)】 考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)求最值的作用,注意體會(huì)導(dǎo)數(shù)的優(yōu)越性,注意總結(jié)這一類問題的解決方法。
9、解:(Ⅰ)設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同.
,,由題意,.
即由得:,或(舍去).
即有.
令,則.于是
當(dāng),即時(shí),;
當(dāng),即時(shí),.
故在為增函數(shù),在為減函數(shù),
于是在的最大值為.
(Ⅱ)設(shè),
則.
故在為減函數(shù),在為增函數(shù),
于是函數(shù)在上的最小值是.
故當(dāng)時(shí),有,即當(dāng)時(shí),.
【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。
課堂小結(jié)
1、函數(shù)的極值和最值是有區(qū)別和聯(lián)系的:函數(shù)的極值是一個(gè)局部概念,而最值是某個(gè)區(qū)間上的整體概念,函數(shù)的極值可以有多個(gè),而函數(shù)的最值最多有一個(gè)。
2、在求可導(dǎo)函數(shù)的最值時(shí),不必討論導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是否為極值點(diǎn),而直接將導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較即可。
反饋型題組
10、A
11、C
12、6
13、4,-11
14、解:設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x(m),則長(zhǎng)為2x(m),高為
.
故長(zhǎng)方體的體積為
從而
令V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.
當(dāng)0<x<1時(shí),V′(x)>0;當(dāng)1<x<時(shí),V′(x)<0,
故在x=1處V(x)取得極大值,并且這個(gè)極大值就是V(x)的最大值。
從而最大體積V=V′(x)=9×12-6×13(m3),此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為
答:當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為
15、解:(Ⅰ),
當(dāng)時(shí),取最小值,
即.
(Ⅱ)令,
由得,(不合題意,舍去).
當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:
遞增
極大值
遞減
在內(nèi)有最大值.
在內(nèi)恒成立等價(jià)于在內(nèi)恒成立,
即等價(jià)于,
所以的取值范圍為.
4.4定積分概念及微積分原理
答案部分
1、C 2、C 3、D 4、D 5、B 6、A
7.【提示或答案】
(1)
(2)
(3)
(4) 如圖是 圓面積:積分 是圖中陰影部分的面積
=
8.【提示或答案】
【點(diǎn)評(píng)】定積分計(jì)算題為近幾年高考的考查重點(diǎn)。
9.【提示或答案】解:(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c,則f′(x)=2ax+b,
又已知f′(x)=2x+2
∴a=1,b=2.
∴f(x)=x2+2x+c
又方程f(x)=0有兩個(gè)相等實(shí)根,
∴判別式Δ=4-
故f(x)=x2+2x+1.
(2)依題意,有所求面積=.
(3)依題意,有,
∴,-t3+t2-t+=t3-t2+t,2t3-6t2+6t-1=0,
∴2(t-1)3=-1,于是t=1-.
【點(diǎn)評(píng)】:本題考查導(dǎo)數(shù)和積分的基本概念.
10.【提示或答案】解 依題設(shè)可知拋物線為凸形,它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1=0,x2=-b/a,所以(1)
又直線x+y=4與拋物線y=ax2+bx相切,即它們有唯一的公共點(diǎn),
由方程組
得ax2+(b+1)x-4=0,其判別式必須為0,即(b+1)2+
于是代入(1)式得:
,;
令S'(b)=0;在b>0時(shí)得唯一駐點(diǎn)b=3,且當(dāng)0<b<3時(shí),S'(b)>0;當(dāng)b>3時(shí),S'(b)<0.故在b=3時(shí),S(b)取得極大值,也是最大值,即a=-1,b=3時(shí),S取得最大值,且.
【點(diǎn)評(píng)】在知識(shí)模塊的結(jié)合處出考題考查學(xué)生。
11.【提示或答案】解:首先求出函數(shù)的零點(diǎn):,,.又易判斷出在內(nèi),圖形在軸下方,在內(nèi),圖形在軸上方,
所以所求面積為
12.【答案提示】解:物體的速度.媒質(zhì)阻力,其中k為比例常數(shù),k>0.
當(dāng)x=0時(shí),t=0;當(dāng)x=a時(shí),,又ds=vdt,故阻力所作的功為
第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
(45分鐘單元綜合測(cè)試題解答與提示)
一、選擇題
1、(C)分析:∵f′(x)=x2+a,又f′(-1)=0,∴a=-1,f(1)= -1+1=.
2、(C)
3、(B) 分析:這道題可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義來求,導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)f(x)在點(diǎn)
的導(dǎo)數(shù)是曲線在點(diǎn)處的切線斜率.
4、(B)
5、(A)
6、(D)
解:切線的斜率,傾斜角小于,
所以不存在符合條件的整數(shù)x,故應(yīng)選D.
分析:考查導(dǎo)數(shù)幾何性質(zhì)的運(yùn)用及斜率和傾斜角的關(guān)系,屬于中低檔題,立足交匯處設(shè)計(jì)試題是?汲P,值得關(guān)注.
二、填空題
7、解:,
由題意得 總成立,故, ∴
8、32
9、
10、2x-y-1=0
三、解答題
11、解:根據(jù)求導(dǎo)法則有,
故,
于是, 當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),
故知在內(nèi)是減函數(shù),在內(nèi)是增函數(shù)。.
12 (I)依題意,以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系(如圖),則點(diǎn)的橫坐標(biāo)
為.點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足方程,
解得
則,其定義域?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com/pic4/docfiles/down/test/down/69e867888754a3be072f115164c958f1.zip/57902/第4單元%20%20導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.files/image1161.gif" >.
(II)記,則.令
,得.
因?yàn)楫?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以是的
最大值.
因此,當(dāng)時(shí),也取得最大值,最大值為.即梯形面積
的最大值為.
分析:在求實(shí)際問題中的最大值或最小值時(shí),一般是先求出自變量、因變量,建立函數(shù)關(guān)系式,并確定其定義域。如果定義域是一個(gè)開區(qū)間,函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)(一般初等函數(shù)在自己的定義域內(nèi)必可導(dǎo)),且此函數(shù)在這一開區(qū)間內(nèi)有最大(小)值,那么只要對(duì)函數(shù)求導(dǎo),當(dāng)發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí),立即可以斷定在這個(gè)極值點(diǎn)處的函數(shù)值就是最大(小)值。如果定義域是閉區(qū)間,則必須對(duì)該點(diǎn)處的函數(shù)值與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較才能確定。
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