二次函數(shù)滿足條件：

①對(duì)任意，均有；②函數(shù)的圖象與直線相切。

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，恒成立，試求t、m的值。

若對(duì)任意，，（、）有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，稱為關(guān)于、的二元函數(shù).現(xiàn)定義滿足下列性質(zhì)的二元函數(shù)為關(guān)于實(shí)數(shù)、的廣義“距離”:

（1）非負(fù)性:，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；

（2）對(duì)稱性:；

（3）三角形不等式:對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立.

今給出四個(gè)二元函數(shù):①；②；③；

④.能夠成為關(guān)于的、的廣義“距離”的函數(shù)的所有序號(hào)是（      ）

A. ①       B. ②      C. ③     D. ④

 

已知函數(shù)f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若對(duì)一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值

于是對(duì)一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).　　　　　　　�、�

令則

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí)，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即

從而，又

所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問(wèn)題等，考查運(yùn)算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合；第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

 

（09年華師一附中期中檢測(cè)文）（12分）

已知二次函數(shù)滿足條件：

①對(duì)任意，均有；②函數(shù)的圖象與直線相切

（I）求函數(shù)的解析式；

   （II）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，恒成立，試求的值。

若對(duì)任意，，（、）有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，稱為關(guān)于、的二元函數(shù).現(xiàn)定義滿足下列性質(zhì)的二元函數(shù)為關(guān)于實(shí)數(shù)、的廣義“距離”:

（1）非負(fù)性:，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；

（2）對(duì)稱性:；

（3）三角形不等式:對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立.

今給出四個(gè)二元函數(shù):

①；②③；④.

能夠成為關(guān)于的、的廣義“距離”的函數(shù)的所有序號(hào)是                 .