利用cos²α=

1+cos2α

2

，sin²α=

1-cos2α

2

，作答下列問題：已知表達式3sin²x+

3

sinxcosx+4cos²x+k可化成sin（2x+φ）的形式，0＜φ＜π，求k和φ的值．

已知a＞0，f（x）=

1

3

a²x³-ax²+

2

3

，g（x）=-ax+1，x∈R．
（1）當 a=1時，求 f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若在區(qū)間（0，

1

2

]上至少有一個實數(shù)x₀，使 f（x₀）＞g（x₀），求a的取值范圍．

在△ABC中，已知cos2C=-

1

9

，C為銳角．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面積為

5

，求c的值．

如圖1，△ABC為正三角形，△BCD為等腰直角三角形，∠BCD=90°，將△ABC沿BC邊折疊到△A′BC的位置，使A′B=A′D，E為BD中點，如圖2．
（Ⅰ）求證：A′E⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角B-A′C-D的余弦值．

一批產(chǎn)品需要進行質(zhì)量檢驗，質(zhì)檢部門規(guī)定的檢驗方案是：先從這批產(chǎn)品中任取3件作檢驗，若3件產(chǎn)品都是合格品，則通過檢驗；若有2件產(chǎn)品是合格品，則再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗，這1件產(chǎn)品是合格品才能通過檢驗；若少于2件合格品，則不能通過檢驗，也不再抽檢．假設這批產(chǎn)品的合格率為80%，且各件產(chǎn)品是否為合格品相互獨立．
（1）求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率；
（2）已知每件產(chǎn)品檢驗費為125元，并且所抽取的產(chǎn)品都要檢驗，記這批產(chǎn)品的檢驗費為ζ元，求ζ的概率分布及數(shù)學期望．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁和F₂，離心率e=

2

2

，連接橢圓的四個頂點所得四邊形的面積為4

2

．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設A、B是直線l：x=2

2

上的不同兩點，若

AF1

•

BF2

=0，求|AB|的最小值．

已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為（

3

，0）
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+

2

與雙曲線恒有兩個不同的交點A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O為原點），求k的取值范圍．

某教育主管部門到一所中學檢查學生的體質(zhì)健康情況．從全體學生中，隨機抽取12名進行體質(zhì)健康測試，測試成績（百分制）以莖葉圖形式表示如圖所示．根據(jù)學生體質(zhì)健康標準，成績不低于76的為優(yōu)良．
（Ⅰ）寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
（Ⅱ）將頻率視為概率．根據(jù)樣本估計總體的思想，在該校學生中任選3人進行體質(zhì)健康測試，求至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率；
（Ⅲ）從抽取的12人中隨機選取3人，記ξ表示成績“優(yōu)良”的學生人數(shù)，求ξ的分布列及期望．

設變量x，y滿足不等式組

0≤x+y≤20 1≤y≤10

，則2x+3y的最大值等于（　�。�

在平面區(qū)域

0≤x≤2 0≤y≤2

內(nèi)隨機取一點，則所取的點恰好滿足x+y≤

2

的概率是（　�。�