已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為（
3
，0）
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由題意設(shè)出雙曲線的方程，再由已知a和c的值求出b2的值，則雙曲線C的方程可求；
（2）直接聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，化為關(guān)于x的方程后由二次項(xiàng)系數(shù)不等于0且判別式大于0求解k的取值范圍．
解答： 解：（1）設(shè)雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a＞0，b＞0)，
由已知得a=
3
，c=2，
∴b2=c2-a2=1．
∴雙曲線C的方程為
x2
3
-y2=1；
（2）將y=kx+
2
代入
x2
3
-y2=1得：
(1-3k2)x2-6
2
kx-9=0，
∵直線l：y=kx+
2
與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴
1-3k2≠0
(6
2
k)2+36(1-3k2)＞0
，
解得：-1＜k＜-
3
3
或-
3
3
＜k＜
3
3
或
3
3
＜k＜1．
∴k的取值范圍是(-1，-
3
3
)∪(-
3
3
，
3
3
)∪(
3
3
，1)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了利用判別式法判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若△ABC的三頂點(diǎn)坐標(biāo)A（3，0），B（0，4），C（0，0），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（
3
2
，0），向△ABC內(nèi)部投一石子，那么石子落在△ABD內(nèi)的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將函數(shù)f（x）=log2（2x）的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，那么所得圖象的函數(shù)解析式為（　�。�
A、y=log2（2x+1）
B、y=log2（2x-1）
C、y=log2（x+1）+1
D、y=log2（x-1）+1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線y=m（0＜m＜2）與函數(shù)y=sinωx+cosωx（ω＞0）的圖象依次交于A（1，m），B（5，m），C（7，m）三點(diǎn)，則ω=（　�。�
A、
π
3
B、
π
4
C、
π
2
D、
π
6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x，y滿足
x≥1
y≤a
x-y≤0
（a＞1），若函數(shù)z=x+y取得最大值4，則實(shí)數(shù)a=（　�。�
A、2
B、3
C、4
D、
3
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，f（x）=
1
3
a2x3-ax2+
2
3
，g（x）=-ax+1，x∈R．
（1）當(dāng) a=1時(shí)，求 f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若在區(qū)間（0，
1
2
]上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使 f（x0）＞g（x0），求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知cosα=-
3
5
，求sin
α
2
，cos
α
2
，tan
α
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直角梯形ABCD與等腰直角△APB所在平面互相垂直，AD∥BC，∠APB=∠ABC=90°，AB=BC=2AD=2，E為PB的中點(diǎn)．
（1）求證：直線AE∥平面PCD；
（2）求平面PCD與平面PAB所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若兩個(gè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為An、Bn，且滿足
An
Bn
=
4n+2
5n-5
，則
a5+a13
b5+b13
的值為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案