Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁和F₂，離心率e=

2

2

，連接橢圓的四個頂點所得四邊形的面積為4

2

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A、B是直線l：x=2

2

上的不同兩點，若

AF1

•

BF2

=0，求|AB|的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由題意列出關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b，c的值，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；
（2）由橢圓方程求出兩個交點的坐標(biāo)，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，由

AF1

•

BF2

=0得到A，B兩交點縱坐標(biāo)的關(guān)系，寫出距離公式后利用基本不等式求最值．

解答： 解：（1）由題意得：

e= c a = 2 2 a2=b2+c2 S= 1 2 ×(2a)×(2b)=4 2

，
解得：

a=2 b= 2 c= 2

．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

4

+

y2

2

=1； 
（2）由（1）知，F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，
設(shè)直線l：x=2

2

上的不同兩點A，B的坐標(biāo)分別為A(2

2

，y1)、B(2

2

，y2)，
則

AF1

=(-3

2

，-y1)，

BF2

=(-

2

，-y2)，
由

AF1

•

BF2

=0，得y₁y₂+6=0，
即y2=-

6

y1

，不妨設(shè)y₁＞0，則|AB|=|y1-y2|=y1+

6

y1

≥2

6

，
當(dāng)y1=

6

，y2=-

6

時取等號．
∴|AB|的最小值是2

6

．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關(guān)系，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．