已知函數(shù)f（x）=lnx-mx+m，m∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，證明：對任意的0＜a＜b，

f(b)-f(a)

b-a

≤

1

a

-1．

如圖，在三棱錐C-OAB中，CO⊥平面AOB，OA=OB=2OC=2，AB=2

2

，D為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面COD；
（Ⅱ）若動點(diǎn)E滿足CE∥平面AOB，問：當(dāng)AE=BE時(shí)，平面ACE與平面AOB所成的銳二面角是否為定值？若是，求出該銳二面角的余弦值；若不是，說明理由．

已知點(diǎn)A（x，y）和點(diǎn)B（-4，y），以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．
（1）求點(diǎn)A的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)P（4，0）的直線l交軌跡C于D，E兩點(diǎn)，判斷△DOE的形狀，并證明你的結(jié)論．

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-

3

2

ax²+a（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)a使得函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，2）上既存在最大值又存在最小值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

圖1是某斜拉式大橋圖片，為了了解橋的一些結(jié)構(gòu)情況，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組將大橋的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了簡化，取其部分可抽象成圖2所示的模型，其中橋塔AB、CD與橋面AC垂直，通過測量得知AB=50m，AC=50m，當(dāng)P為AC中點(diǎn)時(shí)，∠BPD=45°．
（1）求CD的長；
（2）試問P在線段AC的何處時(shí)，∠BPD達(dá)到最大．

求函數(shù)y=3-4sinx-4cos²x的最大值和最小值，并寫出函數(shù)取最值時(shí)對應(yīng)的x的值．

已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（2^x）=2^x+1+1，定義數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n+1=f（a_n）-1（n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，b₁=1，且

Sn+1

-

Sn

=1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令c_n=

bn

an

（n∈N⁺），求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）數(shù)列{a_n}中是否存在三項(xiàng)a_m，a_n，a_k（m＜n＜k，m，n，k∈N^*）使a_m，a_n，a_k成等差數(shù)列，若存在，求出m，n，k的值，若不存在，請說明理由．

如圖長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為1的正方形，E為BB₁延長線上的一點(diǎn)且滿足

BB1

•

B1E

=1．
（Ⅰ）求證：D₁E⊥平面AD₁C；
（Ⅱ）當(dāng)

B1E

BB1

為何值時(shí)，二面角E-AC-D₁的大小為

π

4

．

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）．
（1）若x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值，求實(shí)數(shù)b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）若b=-1，證明對任意正整數(shù)n，不等式

n

k=1

f（

1

k

）＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

都成立．

已知函數(shù)f（x）=sin²x+

3

sinxsin（x+

π

2

），x∈R．
（1）求該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值所對應(yīng)的x的集合．