2009年江西省蘆溪中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)(二輪) 數(shù)列
(教師巧撥專版)
一、專題熱點透析
本專題是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一 ,也是高考考查的熱點。高考中著重考查運(yùn)算能力、邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力。其中,選擇題、填空題突出“小、巧、活”的特點,而解答題多以中、高檔題目出現(xiàn)。透析近年高考試題,本專題的命題熱點為:等差,等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式的應(yīng)用;利用數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系解題;數(shù)列的求和問題;遞推數(shù)列問題;數(shù)列應(yīng)用問題;數(shù)列與函數(shù)、三角、不等式的綜合問題;數(shù)列與平面解析幾何的綜合問題,等等。
題型一、等差、等比數(shù)列綜合問題
例1.?dāng)?shù)列中,,(是常數(shù),),且成公比不為的等比數(shù)列.(I)求的值;(II)求的通項公式.
解:(I),,,
因為,,成等比數(shù)列,所以,解得或.
當(dāng)時,,不符合題意舍去,故.
(II)當(dāng)時,由于,,…………,,
所以.
又,,故.當(dāng)時,上式也成立,
所以
例2.若都是各項為正的數(shù)列,對任意的正整數(shù)都有成等差數(shù)列,成等比數(shù)列。
(1)試問是否是等差數(shù)列?為什么?
(2)求證:對任意的正整數(shù)成立;
(3)如果,求。
解:依題意……①有 ……②
(1)∵,∴由②式得從而時,
代入①,∴∴是等差數(shù)列。
(2)因為是等差數(shù)列∴∴
(3)由及①②兩式易得∴的公差
∴∴………………③
又也適合③、∴
∴ ∴
變式:
數(shù)列{an}中,a1=8,a4=2且滿足an+2=2an+1-an,(n∈N*)
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn;
(3)設(shè)bn=(n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整數(shù)m,使得對任意n∈N*均有Tn>成立?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由。
解 (1)由an+2=2an+1-anan+2-an+1=an+1-an可知{an}成等差數(shù)列,d==-2,∴an=10-2n
(2)由an=10-2n≥0可得n≤5,當(dāng)n≤5時,Sn=-n2+9n,
當(dāng)n>5時,Sn=n2-9n+40,故Sn=
(3)bn=
要使Tn>總成立,需<T1=成立,即m<8且m∈Z,故適合條件的m的最大值為7
題型二、與的關(guān)系問題
例1.已知數(shù)列的前n項和為Sn,滿足條件,其中b>0且b1。
(1)求數(shù)列的通項an;(2)若對,試求b的取值范圍。
解:(1)由已知條件得
當(dāng)n=1時,,故
(2)由
例2. 已知數(shù)列的前項和為,若,
(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列,并求其通項公式;
(2)令,①當(dāng)為何正整數(shù)值時,:②若對一切正整數(shù),總有,求的取值范圍。
解:(1)令,,即,由
∵,∴,
即數(shù)列是以為首項、為公差的等差數(shù)列, ∴
(2)①,即 ②∵,又∵時,
∴各項中數(shù)值最大為,∵對一切正整數(shù),總有恒成立,因此
變式:
1.在等差數(shù)列中,,前項和滿足條件,
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)記,求數(shù)列的前項和。
解:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為,由得:,所以,即,又=,所以。
(Ⅱ)由,得。所以,
當(dāng)時,;當(dāng)時,,
即。
2.設(shè)是數(shù)列()的前項和,,且,,.
(I)證明:數(shù)列()是常數(shù)數(shù)列;
(II)試找出一個奇數(shù),使以18為首項,7為公比的等比數(shù)列()中的所有項都是數(shù)列中的項,并指出是數(shù)列中的第幾項.
解:(I)當(dāng)時,由已知得.
因為,所以. ……①于是. ………②
由②-①得:.……………③于是.………………④
由④-③得:.……………⑤即數(shù)列()是常數(shù)數(shù)列.
(II)由①有,所以.由③有,所以,
而⑤表明:數(shù)列和分別是以,為首項,6為公差的等差數(shù)列.
所以,,.
由題設(shè)知,.當(dāng)為奇數(shù)時,為奇數(shù),而為偶數(shù),所以不是數(shù)列中的項,只可能是數(shù)列中的項.若是數(shù)列中的第項,由得,取,得,此時,由,得,,從而是數(shù)列中的第項.
(注:考生取滿足,的任一奇數(shù),說明是數(shù)列中的第項即可)
題型三、遞推數(shù)列問題
例1. 如圖,將圓分成個區(qū)域,用3種不同顏色給每一個區(qū)域染色,要求相鄰區(qū)域顏色互異,把不同的染色方法種數(shù)記為。求
(Ⅰ);
(Ⅱ)與的關(guān)系式;
(Ⅲ)數(shù)列的通項公式,并證明。
解:(Ⅰ) 當(dāng)時,不同的染色方法種數(shù) , 當(dāng)時,不同的染色方法種數(shù) ,
當(dāng)時,不同的染色方法種數(shù) , 當(dāng)時,分扇形區(qū)域1,3同色與異色兩種情形
∴不同的染色方法種數(shù) 。
(Ⅱ)依次對扇形區(qū)域染色,不同的染色方法種數(shù)為,其中扇形區(qū)域1與不同色的有種,扇形區(qū)域1與同色的有種。∴
(Ⅲ)∵
∴ ……………… ,
將上述個等式兩邊分別乘以,再相加,得
,
∴,從而。
證明:當(dāng)時, 當(dāng)時, ,當(dāng)時,
,
故
例2. 在數(shù)列中,,,.
(Ⅰ)證明數(shù)列是等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列的前項和;
(Ⅲ)證明不等式,對任意皆成立.
解:(Ⅰ)證明:由題設(shè),得,.
又,所以數(shù)列是首項為,且公比為的等比數(shù)列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,于是數(shù)列的通項公式為.
所以數(shù)列的前項和.
(Ⅲ)對任意的,
.
所以不等式,對任意皆成立.
變式:
數(shù)列記
(1)求b1、b2、b3、b4的值;(2)求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前n項和
解:(1)
整理得
(2)由
所以
題型四、數(shù)列求和問題
例1. 若函數(shù),數(shù)列 成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項;
(2)若,令,求數(shù)列前項和;
(3)在(2)的條件下對任意,都有,求實數(shù)的取值范圍。
解:(1) 由求得,所以,得.
(2) ,
,錯位相減得
(3) ,則為遞增數(shù)列. 中的最小項為,.
例2. 設(shè)數(shù)列{an}的首項a1=1,前n項和Sn滿足關(guān)系式: 3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,4…)
(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為f(t),作數(shù)列{bn},使b1=1,bn=f()(n=2,3,4…),求數(shù)列{bn}的通項bn;
(3)求和:b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1
解 (1)由S1=a1=1,S2=1+a2,得3t(1+a2)-(2t+3)=3t ∴a2=
又3tSn-(2t+3)Sn-1=3t, ①
3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t ②
①-②得3tan-(2t+3)an-1=0
∴,n=2,3,4…,所以{an}是一個首項為1公比為的等比數(shù)列;
(2)由f(t)= =,得bn=f()=+bn-1?
可見{bn}是一個首項為1,公差為的等差數(shù)列,于是bn=1+(n-1)=;
(3)由bn=,可知{b2n-1}和{b2n}是首項分別為1和,公差均為的等差數(shù)列,于是b2n=,
∴b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1?
=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b2n(b2n-1-b2n+1)
=- (b2+b4+…+b2n)=-?n(+)=- (2n2+3n)
變式:
已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點,其導(dǎo)函數(shù)為,數(shù)列的前n項和為,點均在函數(shù)的圖像上.
(1) 求數(shù)列的通項公式;
(2) 設(shè),是數(shù)列的前n項和,求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m.
解:(1)設(shè)這二次函數(shù)f(x)=ax2+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得
a=3 ,b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.
又因為點均在函數(shù)的圖像上,所以=3n2-2n.
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-=6n-5.
當(dāng)n=1時,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 ()
(2)由(1)得知==,
故Tn===(1-).
因此,要使(1-)<()成立的m,必須且僅須滿足≤,
即m≥10,所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.
題型五、數(shù)列與函數(shù)、三角、不等式綜合問題
例1.已知函數(shù)f(x)=
(1)求f(x)的反函數(shù)f-1 (x)的表達(dá)式;
(2)數(shù)列中,a1 =1;an =f-1 (an-1)(nÎN,n≥2),如果bn =(nÎN),求數(shù)列的通項公式及前n項和Sn;
(3)如果g(n)=2Sn-17n,求函數(shù)g(x) (xÎR)在區(qū)間[t,t+2] (tÎR)上的最小值h(t)的表達(dá)式。
解:(1)
∴f-1 (x)=
(2)
∴ ∴
是以1為首項,公差為1的等差數(shù)列
(3)g(n)=2Sn-17n=n2-16n xÎR
∴g(x)函數(shù)圖像是以頂點M(8,-64)且開口向上的拋物線
(i)當(dāng)t>8時,g(x)在[t,t+2]上是增函數(shù) ∴h(t)=g(t)=t2-16t
(ii)當(dāng)t+2<8時,g(x)在[t,t+2]是減函數(shù) ∴h(t)=g(t+2)=t2-12t-28
(iii)當(dāng)6≤t≤8時 h(t)=g(8)=-64
∴
例2. 函數(shù)的反函數(shù)為,數(shù)列滿足:,數(shù)列滿足:,
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)記,若對任意的,恒有成立,求實數(shù)的取值范圍.
解:(1)∵,∴,
∴,即,
∴數(shù)列是以為首項,公差為1的等差數(shù)列,
∴,即。由于,
∴
兩式相減得,當(dāng)時,,即,
它對也適合,∴
(2)
,得
①,
∴,
②,
,∴∴
由①②可得,對一切都有的的取值范圍為
變式:
已知,,數(shù)列滿足,, .
(Ⅰ)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(Ⅱ)當(dāng)n取何值時,取最大值,并求出最大值;
(III)若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
解:(I)∵,,,
∴. 即.
又,可知對任何,,所以.
∵, ∴是以為首項,公比為的等比數(shù)列.
(II)由(I)可知= ().
∴. .
當(dāng)n=7時,,;當(dāng)n<7時,,;當(dāng)n>7時,,.
∴當(dāng)n=7或n=8時,取最大值,最大值為.
(III)由,得 (*)
依題意(*)式對任意恒成立,
①當(dāng)t=0時,(*)式顯然不成立,因此t=0不合題意.
②當(dāng)t<0時,由,可知().而當(dāng)m是偶數(shù)時,因此t<0不合題意.
③當(dāng)t>0時,由(),∴ ∴. ()
設(shè) ()
∵ =,
∴.∴的最大值為.
所以實數(shù)的取值范圍是.
題型六、數(shù)列應(yīng)用問題
例1. 某地為了防止水土流失,植樹造林,綠化荒沙地,每年比上一年多植相同畝數(shù)的林木,但由于自然環(huán)境和人為因素的影響,每年都有相同畝數(shù)的土地沙化,具體情況為下表所示:
1998年
1999年
2000年
新植畝數(shù)
1000
1400
1800
沙地畝數(shù)
25200
24000
22400
而一旦植完,則不會被沙化。問:(1)每年沙化的畝數(shù)為多少?(2)到那一年可綠化完全部荒沙地?
解:(1)由表知,每年比上一年多造林400畝. 因為1999年新植1400畝,故當(dāng)年沙地應(yīng)降為畝,但當(dāng)年實際沙地面積為24000畝,所以1999年沙化土地為200畝. 同理2000年沙化土地為200畝.所以每年沙化的土地面積為200畝
(2)由(1)知,每年林木的“有效面積”應(yīng)比實造面積少200畝.
設(shè)2000年及其以后各年的造林畝數(shù)分別為、、、…,則n年造林面積總和為:
由題意: 化簡得解得
故8年,即到2007年可綠化完全部沙地.
變式:
某公司按現(xiàn)有能力,每月收入為70萬元,公司分析部門測算,若不進(jìn)行改革,入世后因競爭加劇收入將逐月減少.分析測算得入世第一個月收入將減少3萬元,以后逐月多減少2萬元,如果進(jìn)行改革,即投入技術(shù)改造300萬元,且入世后每月再投入1萬元進(jìn)行員工培訓(xùn),則測算得自入世后第一個月起累計收入Tn與時間n(以月為單位)的關(guān)系為Tn=an+b,且入世第一個月時收入將為90萬元,第二個月時累計收入為170萬元,問入世后經(jīng)過幾個月,該公司改革后的累計純收入高于不改革時的累計純收入.
解:入世改革后經(jīng)過n個月的純收入為萬元,不改革時的純收入為
又
由題意建立不等式
即
答:經(jīng)過13個月改革后的累計純收入高于不改革時的累計純收入.
題型七、數(shù)列與平面解析幾何綜合問題
例1. 設(shè)是兩個數(shù)列,點為直角坐標(biāo)平面上的點.
(1)對若三點共線,求數(shù)列的通項公式;
(2)若數(shù)列{}滿足:,其中是第三項為8,公比為4的等比數(shù)列.求證:點列(1,在同一條直線上,并求出此直線的方程.
解:(1)因三點共線,
得故數(shù)列的通項公式為
(2)由題意
由題意得
當(dāng)時,
.當(dāng)n=1時,,也適合上式,
因為兩點的斜率為常數(shù)
所以點列(1,在同一條直線上, 且方程為,即.
例2. 已知曲線y=,過曲線上一點(異于原點)作切線。
(I)求證:直線與曲線y=交于另一點;
(II)在(I)的結(jié)論中,求出的遞推關(guān)系。若,求數(shù)列的通項公式;
(III)在(II)的條件下,記,問是否存在自然數(shù)m,M,使得不等式m<Rn<M對一切n恒成立,若存在,求出M-m的最小值;否則請說明理由。
解:(I)y′=
(II)
(III)① ②
②-①得:
,此時M=2,m=0
變式:
由坐標(biāo)原點O向曲線引切線,切于O以外的點P1,再由P1引此曲線的切線,切于P1以外的點P2),如此進(jìn)行下去,得到點列{ Pn}.
求:(1)的關(guān)系式;(2)數(shù)列的通項公式
解:(1)由題得,過點P1(的切線為
過原點
又過點Pn(的
因為過點Pn-1(
整理得
(2)由(I)得 所以數(shù)列{xn-a}是以公比為的等比數(shù)列
反饋練習(xí):
1.已知數(shù)列的前n項和,那么這個數(shù)列中的奇數(shù)項依照原來的順序構(gòu)成的數(shù)列的通項公式是( B )
A. B.
C. D.
2.?dāng)?shù)列{an}的前n項和Sn=3n-2n2 (n∈N),當(dāng)n>2時有( D )
A.Sn>na1>nan B.Sn< nan<na
3.已知數(shù)列中,,那么等于( B )
A、-495 B、
4.等差數(shù)列的通項,則由所確定的數(shù)列的前n項和是( C )
A. B. C. D.
5.等差數(shù)列,=-5,它的前11項的算術(shù)平均值為5。若從中抽去一項,余下10項的算術(shù)平均值為4,則抽去的是( D )
A. B. C. D.
6.已知數(shù)列{an}滿足an+1=an?an?1(n≥2),a1=a,a2=b,記Sn=a1+a2+a3+…+an,則下列結(jié)論正確的是( A ).
(A)a100=?a,S100=2b?a (B)a100=?b,S100=2b?a
(C)a100=?b,S100=b?a (D)a100=?a,S100=b?a
7.設(shè)數(shù)列滿足且 等于( D )
A、100a B、100a2 C、101a100 D、100a100
8.已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和,且,則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是( D。
A.2 B.3 C.4 D.5
9.若兩個等差數(shù)列的前n項和(nÎN),則的值等于
10.已知等差數(shù)列的第2項是8,前10項和是185,從數(shù)列中依次取出第2項,第4項,第8項,……,第項,依次排列一個新數(shù)列,則數(shù)列的前n項和=
11.對正整數(shù)n,設(shè)曲線在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)為,則數(shù)列的前n項和的公式是 2n+1-2
12.?dāng)?shù)列中,
13.已知函數(shù)f(x)= (x<-2)
(1)求f(x)的反函數(shù)f--1(x);
(2)設(shè)a1=1, =-f--1(an)(n∈N*),求an;
(3)設(shè)Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整數(shù)m,使得對任意n∈N*,有bn<成立?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.
解 (1)設(shè)y=,∵x<-2,∴x=-,即y=f--1(x)=- (x>0)
(2)∵,∴{}是公差為4的等差數(shù)列,
∵a1=1, =+4(n-1)=4n-3,∵an>0,∴an=
(3)bn=Sn+1-Sn=an+12=,由bn<,得m>,
設(shè)g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是減函數(shù),∴g(n)的最大值是g(1)=5,
∴m>5,存在最小正整數(shù)m=6,使對任意n∈N*有bn<成立
14.已知數(shù)列,滿足,,且()
(I)令,求數(shù)列的通項公式;
(II)求數(shù)列的通項公式及前項和公式.
解:(I)由題設(shè)得,即()
易知是首項為,公差為2的等差數(shù)列,通項公式為.
(II)由題設(shè)得,令,則.
易知是首項為,公比為的等比數(shù)列,通項公式為.
由解得, 求和得.
15. 若數(shù)列為等差數(shù)列,每相鄰兩項,分別為方程的兩根.
(1) 求的通項公式;
(2) 求;
(3) 對于以上的數(shù)列{an}和{cn},整數(shù)981是否為數(shù)列{}中的項?若是,則求出相應(yīng)的項數(shù);若不是,則說明理由.
解:(1) 設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由題意得
由 得
由
(2)
(3)
∵n是正整數(shù), 是隨n的增大而增大,
又<981,>981 ∴ 整數(shù)981不是數(shù)列{}中的項.
16.已知函數(shù)且任意的、都有
(1)若數(shù)列
(2)求的值.
解:(1) ,
而
(2)由題設(shè),有
又得上為奇函數(shù). 由
得
于是
故
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