又.可知對(duì)任何..所以. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

∴當(dāng)nk+1時(shí),不等式成立.

根據(jù)(1)和(2)可知對(duì)任何都成立.則上述證法(  )

A.過(guò)程全部正確

B.n=1驗(yàn)得不正確

C.歸納假設(shè)不正確

D.從nknk+1的推理不正確

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設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…滿足a1=a2=1,a3=2,且對(duì)任何自然數(shù)n,都有anan+1an+2≠1,又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,則a1+a2+…+a100的值是
200
200

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已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列,公差為d,為其前n項(xiàng)和,且滿足,.?dāng)?shù)列滿足,,為數(shù)列的前n項(xiàng)和.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前n項(xiàng)和;

(2)若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)是否存在正整數(shù),使得成等比數(shù)列?若存在,求出所有的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】第一問(wèn)利用在中,令n=1,n=2,

   即      

解得,, [

時(shí),滿足,

,

第二問(wèn),①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.   

 ,等號(hào)在n=2時(shí)取得.

此時(shí) 需滿足.  

②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.     

 是隨n的增大而增大, n=1時(shí)取得最小值-6.

此時(shí) 需滿足

第三問(wèn),

     若成等比數(shù)列,則,

即.

,可得,即

        .

(1)(法一)在中,令n=1,n=2,

   即      

解得,, [

時(shí),滿足,

(2)①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.   

 ,等號(hào)在n=2時(shí)取得.

此時(shí) 需滿足.  

②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.     

 是隨n的增大而增大, n=1時(shí)取得最小值-6.

此時(shí) 需滿足

綜合①、②可得的取值范圍是

(3),

     若成等比數(shù)列,則,

即.

,可得,即,

,且m>1,所以m=2,此時(shí)n=12.

因此,當(dāng)且僅當(dāng)m=2, n=12時(shí),數(shù)列中的成等比數(shù)列

 

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((本小題共13分)

若數(shù)列滿足,數(shù)列數(shù)列,記=.

(Ⅰ)寫(xiě)出一個(gè)滿足,且〉0的數(shù)列;

(Ⅱ)若,n=2000,證明:E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011;

(Ⅲ)對(duì)任意給定的整數(shù)n(n≥2),是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列,使得=0?如果存在,寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列;如果不存在,說(shuō)明理由。

【解析】:(Ⅰ)0,1,2,1,0是一具滿足條件的E數(shù)列A5

(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一個(gè)滿足條件的E的數(shù)列A5

(Ⅱ)必要性:因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列,所以.所以A5是首項(xiàng)為12,公差為1的等差數(shù)列.所以a2000=12+(2000—1)×1=2011.充分性,由于a2000—a10001,a2000—a10001……a2—a11所以a2000—a19999,即a2000a1+1999.又因?yàn)閍1=12,a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是遞增數(shù)列.綜上,結(jié)論得證。

 

 

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已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足:,

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和

(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和;

(3)證明:不等式  對(duì)任意的,都成立.

【解析】第一問(wèn)中,由于所以

兩式作差,然后得到

從而得到結(jié)論

第二問(wèn)中,利用裂項(xiàng)求和的思想得到結(jié)論。

第三問(wèn)中,

       

結(jié)合放縮法得到。

解:(1)∵     ∴

      ∴

      ∴   ∴  ………2分

      又∵正項(xiàng)數(shù)列,∴           ∴ 

又n=1時(shí),

   ∴數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列……………3分

                             …………………4分

                   …………………5分 

(2)       …………………6分

    ∴

                          …………………9分

(3)

      …………………12分

        ,

   ∴不等式  對(duì)任意的,都成立.

 

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