得故數(shù)列的通項公式為 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

在數(shù)列中,,當時, 

(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;

(Ⅱ)設,求數(shù)列的前項和.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求和 綜合運用。第一問中 ,利用,得到,故故為以1為首項,公差為2的等差數(shù)列. 從而     

第二問中,

,從而可得

為以1為首項,公差為2的等差數(shù)列.

從而      ……………………6分

(2)……………………9分

 

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設等比數(shù)列的公比,前項和為。已知 求的通項公式

【解析】本試題主要考查了等比數(shù)列的運用。利用等比數(shù)列的公比,前項和為,故有,利用,可知

解方程組可得,代入函數(shù)關系式中得到

 

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已知遞增等差數(shù)列滿足:,且成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列的通項公式;

(2)若不等式對任意恒成立,試猜想出實數(shù)的最小值,并證明.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運用以及數(shù)列求和的運用。第一問中,利用設數(shù)列公差為,

由題意可知,即,解得d,得到通項公式,第二問中,不等式等價于,利用當時,;當時,;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。

解:(1)設數(shù)列公差為,由題意可知,即,

解得(舍去).      …………3分

所以,.        …………6分

(2)不等式等價于

時,;當時,;

,所以猜想,的最小值為.     …………8分

下證不等式對任意恒成立.

方法一:數(shù)學歸納法.

時,,成立.

假設當時,不等式成立,

時,, …………10分

只要證  ,只要證 

只要證  ,只要證  ,

只要證  ,顯然成立.所以,對任意,不等式恒成立.…14分

方法二:單調性證明.

要證 

只要證  ,  

設數(shù)列的通項公式,        …………10分

,    …………12分

所以對,都有,可知數(shù)列為單調遞減數(shù)列.

,所以恒成立,

的最小值為

 

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已知數(shù)列是首項為的等比數(shù)列,且滿足.

(1)   求常數(shù)的值和數(shù)列的通項公式;

(2)   若抽去數(shù)列中的第一項、第四項、第七項、……、第項、……,余下的項按原來的順序組成一個新的數(shù)列,試寫出數(shù)列的通項公式;

(3) 在(2)的條件下,設數(shù)列的前項和為.是否存在正整數(shù),使得?若存在,試求所有滿足條件的正整數(shù)的值;若不存在,請說明理由.

【解析】第一問中解:由,,

又因為存在常數(shù)p使得數(shù)列為等比數(shù)列,

,所以p=1

故數(shù)列為首項是2,公比為2的等比數(shù)列,即.

此時也滿足,則所求常數(shù)的值為1且

第二問中,解:由等比數(shù)列的性質得:

(i)當時,

(ii) 當時,,

所以

第三問假設存在正整數(shù)n滿足條件,則,

則(i)當時,

 

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已知是等差數(shù)列,其前n項和為Sn,是等比數(shù)列,且,.

(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;

(Ⅱ)記,證明).

【解析】(1)設等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q.

,得,,.

由條件,得方程組,解得

所以,,.

(2)證明:(方法一)

由(1)得

     ①

   ②

由②-①得

(方法二:數(shù)學歸納法)

①  當n=1時,,故等式成立.

②  假設當n=k時等式成立,即,則當n=k+1時,有:

   

   

,因此n=k+1時等式也成立

由①和②,可知對任意,成立.

 

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