吉林省長春市2009高中畢業(yè)班第一次調(diào)研測試

數(shù) 學 試 題(理)

注意事項:

       本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,試卷滿分150分,考試時間120分。

第Ⅰ卷 (選擇題,共60分)

 

一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題的四個選項中,只有一項

1.已知集合                              (    )

試題詳情

       A.                     B.(0,1)              C.(1,2)              D.(-∞,1)

試題詳情

2.函數(shù)的最小正周期為                                                          (    )

試題詳情

       A.2π                    B.π                      C.                      D.

試題詳情

3.使不等式ab成立的充要條件是                                                                      (    )

試題詳情

       A.             B.               C.lga>lgb              D.

試題詳情

4.關(guān)于線、面的四個命題中不正確的是                                                                 (    )

       A.平行于同一平面的兩個平面一定平行

       B.平行于同一直線的兩條直線一定平行

       C.垂直于同一直線的兩條直線一定平行

       D.垂直于同一平面的兩條直線一定平行

試題詳情

5.已知橢圓的離心率,則m的值為                                    (    )

試題詳情

       A.3                        B.3或              C.                  D.

試題詳情

6.數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,且a6、a9、a15依次為等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項,若數(shù)

試題詳情

   列{bn}的首項b1=,則數(shù)列{bn}的前5項和S5等于                                          (    )

試題詳情

       A.                    B.                    C.31                      D.32

        Y-C-Y

               A.15                      B.-15                     C.20                      D.-20

        試題詳情

        8.平面內(nèi)有兩個定點A、B,動點P滿足|AP|=2|PB|,則點P的軌跡是                   (    )

               A.直線                   B.雙曲線               C.橢圓           D.圓

        試題詳情

        9.已知定義在R上的偶函數(shù)fx)滿足fx+2)=- fx),則f(9)的值為           (    )

               A.-1                       B.0                        C.1                        D.2

        試題詳情

        10.將4個不同顏色的小球全部放入不同標號的3個盒子中,每個盒子都不空的放法種數(shù)為

                                                                                                                                      (    )

               A.96                      B.81                      C.64                      D.36

        試題詳情

        11.已知各頂點都在同一個球面上的正四棱錐高為3,體積為6,則這個球的表面積是(    )

               A.16π                   B.20π                   C.24π                   D.32π

        試題詳情

        12.已知點A(2,2),P為雙曲線上一動點,F為雙曲線的右焦點

               則|PA|+|PF|的最小值為                                                                                     (    )

        試題詳情

               A.                      B.4                        C.            D.

         

        第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)

         

        試題詳情

        二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把正確答案填在題中橫線上)

        13.已知實數(shù)xy滿足,則的最大值為                。

        試題詳情

        14.將直線l按向量a=(2,-1)平移后得到直線l′,再將直線l′按向量b=(-1,2)平移

               后又與直線l重合,則直線l的斜率為                    。

        試題詳情

        15.若正數(shù)a、b滿足,則的最小值為                     。

        試題詳情

        16.已知,則a、b

               c的大小關(guān)系為                        。

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        三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

        17.(本小題滿分10分)

        試題詳情

               已知函數(shù)

        試題詳情

           (1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;

        試題詳情

           (2)求函數(shù)的最值及取得最值時x的值。

         

         

         

         

         

         

         

         

         

        試題詳情

        18.(本小題滿分12分)

        試題詳情

               在△ABC中,a、b、c分別是角A、BC所對的邊,已知

           (1)判斷△ABC的形狀;

        試題詳情

           (2)若,求△ABC的面積。

         

                                       

         

         

         

         

         

         

         

         

        試題詳情

        19.(本小題滿分12分)

               如圖,四棱錐PABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=2,∠PDA=45°,點

        試題詳情

               E、F分別為棱AB、PD的中點。

           (1)求證:AF∥平面PCE;

           (2)求二面角EPDC的大;

           (3)求點A到平面PCE的距離。

         

         

         

         

        試題詳情

        20.(本小題滿分12分)

        試題詳情

               已知數(shù)列{an}滿足關(guān)系式,設(shè)

           (1)求證:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;

           (2)求anSn

        試題詳情

           (3)設(shè)cn= Sn+nan,Tn為數(shù)列{cn}的前n項和,求證:Tn<1.

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

        試題詳情

        21.(本小題滿分12分)

               已知直線ly=kx+1交曲線Cy=ax2a>0)于P、Q兩點,MPQ中點,分別過P

               Q兩點作曲線C的切線,兩切線交于點N,當k變化時。

           (1)求點M的軌跡方程;

           (2)求點N的軌跡方程;

           (3)求證:MN中點必在曲線C上。

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

        試題詳情

        22.(本小題滿分12分)

               設(shè)fx)=ax2+bx+c,若6a+2b+c=0,f(1)f(3)>0,

        試題詳情

           (1)求證:a≠0且

        試題詳情

           (2)求證:方程fx)=0在區(qū)間(0,4)內(nèi)必有兩個實根x1x2,且≤| x1- x2|<3

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

        參 考 答 案

         

        第Ⅰ卷 (選擇題,共60分)

        試題詳情

        一、選擇題(每小題5分,共60分)

        1.B  2.C  3.D  4.C  5.B  6.A  7.A  8.D  9.B  10.D  11.A  12.C

        簡答與提示:

        試題詳情

        1.∵,

           ∴MN=(0,1),故選B。

        試題詳情

        2.∵

        試題詳情

           ,故選C。

        試題詳情

        3.取a=1,b=-2,可驗證A、B、C均不正確,故選D。

        試題詳情

        4.垂直于同一直線的兩條直線不一定平行,可能相交或異面,故選C。

        試題詳情

        5.考慮0<m<5或m>5兩種情況,若0<m<5,則, ,

        試題詳情

           ,故

           選B。

        試題詳情

        6.∵,故選A。

        試題詳情

        7.的展開式中常數(shù)項為第3項,故選A。

        試題詳情

        8.可建立平面直角坐標系求出軌跡方程,根據(jù)方程形式可判斷軌跡為圓,或由平面幾何中

           相關(guān)定理可知軌跡是圓,故選D。

        試題詳情

        9.由f(x+2)=- f(x)可得f(x+4)=- f(x+2)= f(x),所以函數(shù)f(x)為周期函數(shù),最小

           正周期為T=4,f(9)= f(1)=- f(-1),又函數(shù)f(x)為偶函數(shù),所以f(1)=

            f(-1)=0,所以f(9)=0,故選B。

        試題詳情

        10.=36,故選D。

        試題詳情

        11.由,可利用三角形相似計算出r=2,S=4πr2=16π,故

               選A。

        試題詳情

        12.設(shè)雙曲線的左焦點為由雙曲線定義可知,,

               故選C。

        第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)

        試題詳情

        二、填空題(每小題5分,共20分)

        13.7                              14.1                       15.                     16.

        試題詳情

        簡答與提示:

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        13.畫出可行域,如右圖所示,在點A(5,3)處取得

        試題詳情

               最大值為7.

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        14.設(shè)直線l方程為y=kx+b,按向量a=(2,-1)平移

        試題詳情

               后得到按向量b=(-1,2)平移后得直線方程為

        試題詳情

        * :k:y=k(x-2)+b-1再將(x+1-2)+b-1+2=kx-k+b+1,

        試題詳情

               又與直線l重合,∴-k+b+1=b,∴k=1.

        試題詳情

        15.∵

        試題詳情

        16.

        試題詳情

               c=4cos36cos54cos72=4sin36cos36cos72=2sin72cos72=sin144=sin36,

        試題詳情

               ∴

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        三、解答題(本大題共6小題,共70分)

        17.解:本小題主要考查三角恒等變換及三角函數(shù)圖象和性質(zhì)。

        試題詳情

           (1)

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                                                              (4分)

        試題詳情

               ∴當

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               即時,函數(shù)為增函數(shù),

        試題詳情

               ∴增區(qū)間為                                                          (6分)

        試題詳情

           (2)當,即

        試題詳情

               當,即  (10分)

        試題詳情

        18.本小題主要考查正余弦定理的應(yīng)用及三角恒等變換。

        試題詳情

               解:(1)∵

        試題詳情

               ∴

               ∴sinA=2cosBsinC,

               又∵sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

               ∴sinBcosC+ cosBsinC=2cosBsinC,

               ∴sinBcosC- cosBsinC= sin(B-C)=0

               ∴在△ABC中B=C,

               ∴△ABC為等腰三角形

        試題詳情

               另解:∵,

               ∴a2+c2-b2=a2

               ∴c2=b2

               ∴c=b

               ∴△ABC為等腰三角形

        試題詳情

           (2)∵

        試題詳情

               ∵,

        試題詳情

               ∴

        試題詳情

               ∴。                                             (12分)

               另解:b=3,∴c=b=3

        試題詳情

               又∵

        試題詳情

               ∴

        試題詳情

               ∴

        試題詳情

        19.本小題主要考查空間線面關(guān)系,空間想象能力和推理運算能力或空間向量的應(yīng)用。

               解法一:

           (1)證明:

        試題詳情

               取PC的中點G,連接FG、EG,

               ∴FG為△PCD的中位線,

        試題詳情

               ∴FG=CD且FG∥CD,

               又∵底面四邊形ABCD是正方形,E為棱AB的中點,

        試題詳情

               ∴AE=CD且AE∥CD,

               ∴AE=FG且AE∥FG,

               ∴四邊形AEGF是平行四邊形,

               ∴AF∥EG,

        試題詳情

               又EG平面PCE,AF平面PCE,                                                              (4分)

               ∴AF∥平面PCE。

           (2)∵PA⊥底面ABCD,

               ∴PA⊥AD,PA⊥CD,

        試題詳情

               又AD⊥CD,PAAD=A,

               ∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥AF

        試題詳情

               又PA=2,PDA=45°,

               ∴PA=AD=2,

               ∵F是PD的中點,∴AF⊥PD,

        試題詳情

               又CDPD=D,

               ∴AF⊥平面PCD,

               ∵AF∥EG,

               ∴EG⊥平面PCD,

               又GF⊥PD,連結(jié)EF,

        試題詳情

               則GFE是二面角E―PD―C的平面角。                                                      (6分)

        試題詳情

               在Rt△EGF中,EG=AF=,GF=1,

        試題詳情

               ∴tanGFE=

        試題詳情

               ∴二面角E―PD―C的大小為arctan。                                                      (8分)

           (3)設(shè)A到平面PCE的距離為h,

        試題詳情

               由

        試題詳情

               ∴點A到平面PCE的距離為

               解法二:

           (1)由于PA⊥底面ABCD,且底面四邊形ABCD是正方形,以A為坐標原點建立空間

               直角坐標系如圖,

        試題詳情

               ∵PA=2,,PDA=45°,∴AD=AB=PA=2,

               ∴A(0,0,0),B(2,0,0), C(2,2,0),

               D(0,2,0), P(0,0,2)

               ∵點E、F分別為棱AB、PD的中點,

               ∴E(1,0,0),F(xiàn)(0,1,1),取

               PC的中點G,連結(jié)EG,則G(1,1,1),

        試題詳情

               ∴(0,1,1),=(0,1,1),

               ∴AF∥EG,

        試題詳情

               又∵EG平面PCE,AFPCE,

               ∴AF∥平面PCE。                                                                                          (4分)

        試題詳情

           (2)設(shè)平面PDE的法向量為

        試題詳情

               ∵

        試題詳情

               ∴

        試題詳情

               設(shè)平面PCD的法向量為

        試題詳情

               ∵

        試題詳情

               ∴                                          (6分)

        試題詳情

               ∴

        試題詳情

               ∴二面角E―PD―C的大小為arccos。                                                      (8分)

         

        試題詳情

           (3)設(shè)平面PCE的法向量

        試題詳情

               ∵

        試題詳情

               ∴                                (10分)

        試題詳情

               ∵,∴點A到平面PCE的距離        (12分)

        試題詳情

        20.本小題主要考查利用遞推關(guān)系求通項公式的方法,錯位相減法和及轉(zhuǎn)化思想。

        試題詳情

           (1)證明:∵

        試題詳情

               ∴,                                                               (2分)

        試題詳情

               ∴

        試題詳情

               ∴

        試題詳情

               又由,

        試題詳情

               ∴數(shù)列{bn}是以為首項,以為公比的等比數(shù)列。                                      (4分)

        試題詳情

           (2)由(1)知數(shù)列{bn}是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,∴bn=,

        試題詳情

               ∴也合適

        試題詳情

               ∴。(nN*)

        試題詳情

               ∴                                                                                          (8分)

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           (3)

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               ∴                                           (12分)

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        21.本小題主要考查直線與拋物線位置關(guān)系及弦中點問題,軌跡的求法。

           (1)設(shè)Px1,y1),Qx2,y2

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               由

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               ∴       ∴

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               ∴

               ∴點M的軌跡方程為拋物線y=2ax2+1                                                              (4分)

           (2)設(shè)以點Px1y1)為切點的曲線C的切線方程l1y-y1= k1x-x1

               將l1方程代入曲線Cy=ax2并整理得

               ax2- k1x-y1+k1x1=0,

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               △=

               ∴k1=2ax1,(也可利用導數(shù)直接得出此結(jié)論)。                                                 (6分)

               ∴直線l1方程可化為y=2ax1x-ax12                                            ①

               同理,以Q為切點的切線l2方程可化為y=2ax2x-ax22                ②,

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               由①②可解出交點N坐標,=-1

               ∴點N的軌跡方程為直線y=-1

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           (3)由(1)知點M的坐標為由(2)知道點N坐標為

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               ∴MN中點坐標為,滿足曲線C的方程,

               ∴MN中點必在曲線C上。                                                                              (12分)

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        22.本小題主要考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì),二次函數(shù)、二次方程、二次不等式的關(guān)系。

               解:(1)∵f(1)f(3)=(a+b+c)(9a+3b+c)=―(5a+b)(3a+b)>0,

               若a=0則f(1)f(3)=-b2<0,與已知矛盾,∴a≠0                                      (2分)

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               將不等式―(5a+b)(3a+b)兩邊同除以-a2

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               ∴                                                                                              (5分)

           (2)∵f(0)f(4)=c16a+4b+c)=―(6a+2b)(10a+2b)=-4(3a+b)(5a+b),

               ∴f(0)f(4)=4 f(1)f(3)>0,說明f(0)與f(4)同號,                     (6分)

               又f(2)=4a+2b+c=-2a,

               f(0)+ f(4)=c+16a+4b+c=16a+4b+2c=4a=-2 f(2),

               說明f(0)與f(2)異號,f(4)與f(2)異號,                                           (8分)

               ∴必有一根在(0,2)內(nèi),另一根在(2,4)內(nèi),                                          (9分)

               ∴方程fx)在區(qū)間(0,4)內(nèi)必有兩個實根x1,x2

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               ∴

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               ∵

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               ∴                                                                                      (12分)

         

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