作PM⊥平面，垂足為M，作QN⊥平面，垂足為N，則PM∥QN，M、N分別是正△ABD與正△BCD的中心，從而點(diǎn)A、M、E、N、C共線，PM與QN確定平面PACQ，且PMNQ為矩形．  …………6分

（Ⅰ）求證：PQ⊥BD；

（Ⅱ）求二面角P-BD-Q的余弦值；

（Ⅲ）求點(diǎn)P到平面QBD的距離.

解：（Ⅰ）由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱錐，可知△PBD與△QBD是全等等腰三角形  …１分

取BD中點(diǎn)E，連結(jié)PE、QE，則BD⊥PE，BD⊥QE．故BD⊥平面PQE，從而BD⊥PQ．  ………4分

（Ⅱ）由（1）知∠PEQ是二面角P-BD-Q的平面角                     ……………………５分

32、(廣東省湛江師范學(xué)院附中2009年高考模擬試題)如圖，某建筑物的基本單元可近似地按以下方法構(gòu)作：先在地平面內(nèi)作菱形ABCD，邊長為1，∠BAD＝60°,再在的上方，分別以△與△為底面安裝上相同的正棱錐P－ABD與Q－CBD，∠APB＝90°．

在Rt△PEF中，EG=為所求……………………………… （12分）

∵CD側(cè)面PCD，AB側(cè)面PCD，∴AB//側(cè)面PCD

取CD中點(diǎn)F，連EF、PF，則EF⊥AB

又∵PE⊥AB，∴AB⊥平面PEF

又∵AB//CD，∴CD⊥平面PEF，∴平面PCD⊥平面PEF…………………（10分）

作EG⊥PF，垂足為G，則EC⊥平面PCD

在Rt△PEC中，∠PCE=45°為所求…………………………………………（8分）

（3）解：在矩形ABCD中，AB//CD

又∵BC側(cè)面PBC，∴側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC………………… （4分）

（2）解：取AB中點(diǎn)E，連結(jié)PE、CE

又∵△PAB是等邊三角形，∴PE⊥AB

又∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD

∴∠PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成角………………………………………（6分）

31、(河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2008-2009學(xué)年高三第一次月考)如圖，四棱錐P―ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD．

（1）證明：側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC；

（2）求側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角；

（3）求直線AB與平面PCD的距離．

（1）證明：在矩形ABCD中，BC⊥AB

又∵面PAB⊥底面ABCD側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB，∴BC⊥側(cè)面PAB…（2分）

      又由RtΔA₁AB知，∠AA₁D＋＝∠AA₁B＋＝，故θ＋＝………12分

      于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA₁中，sin∠AA₁D＝,………………10分

      ∴sinθ=sin∠AA₁D,由于θ與∠AA₁D都是銳角，所以θ＝∠AA₁D.