八年級(jí)上期期中數(shù)學(xué)測(cè)試題

（時(shí)間100W分鐘  總分120分）

試題詳情

§14．3  等腰三角形

1.等腰三角形

知識(shí)要點(diǎn)

    1．有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊．兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角．

    2．三角形按邊分類：三角形

    3．等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，其性質(zhì)是：

    性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）

    性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．

    4．等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）．

例：如圖，五邊形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)．求證：AF⊥CD.

    分析：要證明AF⊥CD，而點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，聯(lián)想到這是等腰三角形特有的性質(zhì)，于是連接AC、AD，證明AC=AD，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到結(jié)論．

證明：連接AC、AD  在△ABC和△AED中

    ∴△ABC≌△AED（SAD）  ∴AC=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

    又∵△ACD中AF是CD邊的中線（已知）

    ∴AF⊥CD（等腰三角形底邊上的高和底邊上的中線互相重合）

練習(xí)題

(第一課時(shí))

試題詳情

§14．2  軸對(duì)稱變換

1.軸對(duì)稱變換

知識(shí)要點(diǎn)

    1．由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換．成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)可以看著由另一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換后得到．

    2．軸對(duì)稱變換的性質(zhì)：

    （1）經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣

    （2）經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱變換得到的圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)．

    （3）連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分．

    3．作一個(gè)圖形關(guān)于某條直線的軸對(duì)稱圖形的步驟：

    （1）作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)．

（2）按原圖形的連接方式連接所得到的對(duì)稱點(diǎn)，即得到原圖形的軸對(duì)稱圖形．

典型例題

例：在銳角∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，試在OA、OB上確定兩點(diǎn)C、D，使△PCD的周長(zhǎng)最短．

    分析：△PCD的周長(zhǎng)等于PC+CD+PD，要使△PCD的周長(zhǎng)最短，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某兩點(diǎn)之間的距離，于是考慮作點(diǎn)P關(guān)于直線OA和OB的對(duì)稱點(diǎn)E、F，則△PCD的周長(zhǎng)等于線段EF的長(zhǎng)．

②作點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)F；

③連接EF分別交OA、OB于點(diǎn)C、D．則C、D就是所要求作的點(diǎn)．

    證明：連接PC、PD，則PC=EC，PD=FD．

    在OA上任取異于點(diǎn)C的一點(diǎn)H，連接HE、HP、HD，則HE=HP．

∵△PHD的周長(zhǎng)

=HP+HD+PD=HE+HD+DF>ED+DF=EF

而△PCD的周長(zhǎng)

=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF

    ∴△PCD的周長(zhǎng)最短．

練習(xí)題

試題詳情

第十四章  生活中的軸對(duì)稱

§14.1  軸對(duì)稱

知識(shí)要點(diǎn)

    1．軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱

    （1）如果一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸．毛

    （2）有的軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不止一條，如圓就有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸．

    （3）有一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)．兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱也叫做軸對(duì)稱．

    （4）圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．

    （5）軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形之間的形狀與位置關(guān)系，成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；軸對(duì)稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形是全等形，并且成軸對(duì)稱．

    2．線段的垂直平分線

    （1）經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）．

    （2）線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過(guò)來(lái)，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．因此線段的垂直平分線可以看成與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合．

例：如圖，點(diǎn)D是△ABC中∠BAC的平分線和邊BC的垂直平分線DE的交點(diǎn)，DG⊥AB于點(diǎn)G，DH⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，求證BG=CH．

    分析：由AD平分∠BAC及DG⊥AB、DH⊥AC可以得到DG=DH（角平分線的性質(zhì)），而DE是BC的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得到BD=CD，于是可利用“HL”證明Rt△BDG≌Rt△CDH得到BG=CH．

    證明：連接BD、CD  ∵點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，又DG⊥AB、DH⊥AC；

    ∴DG=DH（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）

    ∵DE是BC的垂直平分線

    ∴DB=DC（線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）

∵DG⊥AB、DH⊥AC  ∴∠BGD=∠CHD=90°

在Rt△BDG和Rt△CDH中，

    ∴Rt△BDG≌Rt△CDH（HL）  ∴BG=CH（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

練習(xí)題

(第一課時(shí))

試題詳情

12.2.2  用直方圖描述數(shù)據(jù)

知識(shí)要點(diǎn)

    1．繪制頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖時(shí)要將一批數(shù)據(jù)分組，組距和組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，通常數(shù)據(jù)越多，所分的組數(shù)也越多，當(dāng)數(shù)據(jù)在100個(gè)以內(nèi)時(shí)，根據(jù)數(shù)據(jù)的多少常分成5─12組．一般地，所分的小組里含最小值，不含最大值，即數(shù)據(jù)x滿足a≤x<b．

    2．頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖是一組數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布的兩種不同表現(xiàn)形式，前者準(zhǔn)確，后者直觀．

    3．描述頻數(shù)分布情況還可以用頻數(shù)折線圖來(lái)刻畫數(shù)據(jù)的總體規(guī)律．

典型例題

    例：劉楊陽(yáng)調(diào)查了他們班50名同學(xué)的身高（單位：厘米），請(qǐng)你幫助他用統(tǒng)計(jì)圖來(lái)描述所得的數(shù)據(jù)．

    158  157  157  157  169  155  155  141  165  144  171  145  158 145  150  150  157  168  154  168  154  168  149  150  150  154  155 157  162  163  155  160  152  152  145  160  160  163  163  148  159 152  159  144  160  158  162  172  155  145  168  155

    分析：取組距為5，將數(shù)據(jù)分成7組，繪制頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)折圖來(lái)分析數(shù)據(jù)．

解：首先觀察到這組數(shù)據(jù)中最大值是172，最小值是141，它們的差是31．若取組距為5，由于31÷5≈7，因此要將整個(gè)數(shù)據(jù)分為7組，用x（厘米）表示身高，則所分的組為141≤x<146，146≤x<151，151≤x<156，……，171≤x<176．整理可得下列頻數(shù)分布表：

      用橫軸表示身高，等距離標(biāo)出各組的端點(diǎn)141、146、151、……171、176，用縱軸表示頻數(shù)，等距離標(biāo)出4、8、12、16等，以各組的頻數(shù)為高畫出與這一組對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方形，得到下面的頻數(shù)分布直方圖（如圖1）取直方圖中每一個(gè)長(zhǎng)方形上邊的中點(diǎn)，然后在直方圖的左邊取點(diǎn)（138.5，0），在直方圖的右邊取點(diǎn)（178.5，0），將這些點(diǎn)用線段依次連接起來(lái)，就得到頻數(shù)折線圖（如圖2）

                （1）                               （2）

同步練習(xí)

試題詳情

11.3.3  一次函數(shù)與二元一次方程(組) 同步訓(xùn)練

教材基礎(chǔ)知識(shí)針對(duì)性訓(xùn)練

試題詳情

11.3.2 一次函數(shù)與一元一次不等式

知識(shí)庫(kù)

    1．解一元一次不等式可以看作是:當(dāng)一次函數(shù)值大于（或小于）0時(shí)，求自變量相應(yīng)的取值范圍．

    2．解關(guān)于x的不等式kx+b>mx+n可以轉(zhuǎn)化為：

    （1）當(dāng)自變量x取何值時(shí)，直線y=（k-m）x+b-n上的點(diǎn)在x軸的上方．

    或（2）求當(dāng)x取何值時(shí)，直線y=kx+b上的點(diǎn)在直線y=mx+n上相應(yīng)的點(diǎn)的上方．（不等號(hào)為“<”時(shí)是同樣的道理）

魔法師

    例：用畫圖象的方法解不等式2x+1>3x+4

    分析：（1）可將不等式化為-x-3>0，作出直線y=-x-3，然后觀察：自變量x取何值時(shí)，圖象上的點(diǎn)在x軸上方？

    或（2）畫出直線y=2x+1與y=3x+4，然后觀察：對(duì)于哪些x的值，直線y=2x+1上的點(diǎn)在直線y=3x+4上相應(yīng)的點(diǎn)的上方？

    解：方法（1）原不等式為：-x-3>0，在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=-x-3的圖象（圖1）．從圖象可以看出，當(dāng)x<-3時(shí)這條直線上的點(diǎn)在x軸上方，即這時(shí)y=-x-3>0，因此不等式的解集是x<-3．

    方法（2）  把原不等式的兩邊看著是兩個(gè)一次函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫出直線y=2x+1與y=3x+4（圖2），從圖象上可以看出它們的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x=-3，因此當(dāng)x<-3時(shí)，對(duì)于同一個(gè)x的值，直線y=2x+1上的點(diǎn)在直線y=3x+4上相應(yīng)點(diǎn)的上方，此時(shí)有2x+1>3x+4，因此不等式的解集是x<-3．

                   (1)                            (2)

演兵場(chǎng)

    ☆我能選

1．直線y=x-1上的點(diǎn)在x軸上方時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的范圍是（  ）

    A．x>1      B．x≥1      C．x<1      D．x≤1

2．已知直線y=2x+k與x軸的交點(diǎn)為（-2，0），則關(guān)于x的不等式2x+k<0的解集是（  ）

    A．x>-2      B．x≥-2      C．x<-2      D．x≤-2

3．已知關(guān)于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，則直線y=ax+1與x軸的交點(diǎn)是（  ）

    A．（0，1）      B．（-1，0）     C．（0，-1）      D．（1，0）

    ☆我能填

4．當(dāng)自變量x的值滿足____________時(shí)，直線y=-x+2上的點(diǎn)在x軸下方．

5．已知直線y=x-2與y=-x+2相交于點(diǎn)（2，0），則不等式x-2≥-x+2的解集是________．

6．直線y=-3x-3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是________，則不等式-3x+9>12的解集是________．

7．已知關(guān)于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x>-3，則直線y=-kx+2與x軸的交點(diǎn)是__________．

8．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，則直線y=-x+5與y=3x-3的交點(diǎn)坐標(biāo)是_________．

    ☆我能答

9．某單位需要用車，準(zhǔn)備和一個(gè)體車主或一國(guó)有出租公司其中的一家簽訂合同，設(shè)汽車每月行駛xkm，應(yīng)付給個(gè)體車主的月租費(fèi)是y元，付給出租車公司的月租費(fèi)是y元，y，y分別與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象是如圖11-3-4所示的兩條直線，觀察圖象，回答下列問題：

    （1）每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)時(shí)，租國(guó)有出租車公司的出租車合算？

    （2）每月行駛的路程等于多少時(shí)，租兩家車的費(fèi)用相同？

（3）如果這個(gè)單位估計(jì)每月行駛的路程為2300km，那么這個(gè)單位租哪家的車合算？

10．在同一坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y₁=-x+1與y₂=2x-2的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題：

    （1）寫出直線y₁=-x+1與y₂=2x-2的交點(diǎn)P的坐標(biāo)．

    （2）直接寫出：當(dāng)x取何值時(shí)y₁>y₂；y₁<y₂

    探究園

12．已知函數(shù)y₁=kx-2和y₂=-3x+b相交于點(diǎn)A（2，-1）

    （1）求k、b的值，在同一坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象．

    （2）利用圖象求出：當(dāng)x取何值時(shí)有：①y₁<y₂；②y₁≥y₂

    （3）利用圖象求出：當(dāng)x取何值時(shí)有：①y₁<0且y₂<0；②y₁>0且y₂<0

答案:

1．A  2．C  3．D  4．x>2  5．x≥2  6．（-1，0）；x<-1

7．（-3，0）  8．（2，3）

9．①當(dāng)0<x<1500時(shí)，租國(guó)有出租車公司的出租車合算；

    ②1500km；③租個(gè)體車主的車合算

10．①P（1，0）；②當(dāng)x<1時(shí)y₁>y₂，當(dāng)x>1時(shí)y₁<y₂

11．（1）k=、b=5，∴y=x-2、y=-3x+5  圖象略；

    （2）從圖象可以看出：①當(dāng)x<2時(shí)y₁<y₂；②當(dāng)x≥2時(shí)y₁≥y₂；

（3）∵直線y₁=x-2與x軸的交點(diǎn)為B（4，0），

直線y₂=-3x+5與x軸的交點(diǎn)為C（，0），

∴從圖象上可以看出：

①當(dāng)x<4時(shí)y₁<0，當(dāng)x>時(shí)y₂<0，

所以當(dāng)<x<4時(shí)，y₁<0且y₂<0．

②當(dāng)x>4時(shí)，y₁>0；當(dāng)x>時(shí)y₂<0，

∴當(dāng)x>4時(shí)y₁>0且y₂<0．

試題詳情

11．3．1～11．3．2 同步訓(xùn)練

教材基礎(chǔ)知識(shí)針對(duì)性訓(xùn)練

試題詳情

11.3.1 一次函數(shù)與一元一次方程

知識(shí)庫(kù)

    1．解關(guān)于x的方程kx+b=0可以轉(zhuǎn)化為：已知函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值為0，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y=kx+b，確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

    2．在直角坐標(biāo)系中，以方程kx-y+b=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象就是一次函數(shù)y=kx+b的圖象．

魔法師

    例：若直線y=kx+6與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積是24，求常數(shù)k的值是多少？

    分析：（1）一次函數(shù)的圖象與兩條坐標(biāo)軸圍成的圖形是直角三角形，兩條直角邊的長(zhǎng)分別是圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值和與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值．

    （2）確定圖象與兩條坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可以通過(guò)令x=0和y=0解方程求得．

    解：設(shè)直線y=kx+6與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A、B．

    令y=0得x=-；令x=0得y=6．

∴A（-，0）、B（0，6）   

∴OA=||、OA=│6│=6  

∴S=OA?OB=|-|×6=24

    ∴│k│=    ∴k=±

演兵場(chǎng)

    ☆我能選

1．直線y=3x+9與x軸的交點(diǎn)是（  ）

    A．（0，-3）      B．（-3，0）     C．（0，3）    D．（0，-3）

2．直線y=kx+3與x軸的交點(diǎn)是（1，0），則k的值是（  ）

    A．3      B．2      C．-2      D．-3

3．已知直線y=kx+b與直線y=3x-1交于y軸同一點(diǎn)，則b的值是（  ）

    A．1      B．-1       C．      D．-

4．已知直線AB∥x軸，且點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，1），則直線y=x與直線AB的交點(diǎn)是（  ）

    A．（1，1）     B．（-1，-1）      C．（1，-1）     D．（-1，1）

    ☆我能填

5．直線y=3x+6與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的值是方程2x+a=0的解，則a的值是______．

6．已知直線y=2x+8與x軸和y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)分別是_______、_______．與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是__________．

7．已知關(guān)于x的方程mx+n=0的解是x=-2，則直線y=mx+n與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是________．

8．方程3x+2=8的解是__________，則函數(shù)y=3x+2在自變量x等于_________時(shí)的函數(shù)值是8．

    ☆我能答

9．用作圖象的方法解方程2x+3=9

10．彈簧的長(zhǎng)度與所掛物體的質(zhì)量的關(guān)系是一次函數(shù)，如圖所示，請(qǐng)判斷不掛物體時(shí)彈簧的長(zhǎng)度是多少？

探究園

11．有一個(gè)一次函數(shù)的圖象，可心和黃瑤分別說(shuō)出了它的兩個(gè)特征．

    可心：圖象與x軸交于點(diǎn)（6，0）。

    黃瑤：圖象與x軸、y軸圍成的三角形的面積是9。

    你知道這個(gè)一次函數(shù)的關(guān)系式嗎？

答案：

    1．B  2．D  3．B  4．A  5．4  6．（-4，0），（0，8）；16

    7．（-2，0）  8．x=2；2

    9．畫直線y=2x-6，圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即方程的解，或先畫直線y=2x+3，然后觀察當(dāng)自變量x取何值時(shí)函數(shù)值為9．

    10．10kg  11．y=-x+3或y=x-3。

試題詳情

11.2.2 一次函數(shù)同步訓(xùn)練

教材基礎(chǔ)知識(shí)針對(duì)性訓(xùn)練

試題詳情