海淀區(qū)高三年級第二學期期末練習
數(shù)學(理科) 2009.05
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.
(1)已知集合,集合,則等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
(2)某行業(yè)主管部門所屬的企業(yè)有800家,按企業(yè)固定資產(chǎn)規(guī)模分為大型企業(yè)?中型企業(yè)?小型企業(yè). 大?中?小型企業(yè)分別有80家,320家和400家,該行業(yè)主管部門要對所屬企業(yè)的第一季度生產(chǎn)狀況進行分層抽樣調(diào)查,共抽查100家企業(yè). 其中大型企業(yè)中應抽查 ( )
(A)家 (B)家 (C)家 (D)家
(3)若,則 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(4)在中,所對的邊長分別為,如果,那么一定是( )
(A)銳角三角形 (B)鈍角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形
(5)若直線與直線關于點對稱,則直線恒過定點 ( )
(A) (B) (C) (D)
(6)某班班會準備從甲、乙等7名學生中選派4名學生發(fā)言,要求甲、乙兩名同學至少有一人參加,且若甲乙同時參加,則他們發(fā)言時不能相鄰.那么不同的發(fā)言順序種數(shù)為 ( )
(A)360 (B)520 (C)600 (D)720
(7)在棱長均為2的正四棱錐中,點為的中點,則下列命題正確的是 ( )
(A)∥平面,且到平面的距離為
(B)∥平面,且到平面的距離為
(C)與平面不平行,且與平面所成的角大于
(D)與平面不平行,且與平面所成的角小于
(8)已知點是矩形所在平面內(nèi)任意一點,則下列結(jié)論中正確的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.把答案填在題中橫線上.
(9)已知等比數(shù)列中,,,那么的值為 .
(10)已知函數(shù)是連續(xù)函數(shù),則實數(shù)的值是 .
(11)已知,則的值等于______ _ .
(12)已知函數(shù)的導函數(shù)的部分圖象如圖所示,且導函數(shù)有最小值,則 , .
(13)以雙曲線的一個頂點為圓心的圓經(jīng)過該雙曲線的一個焦點,且與該雙曲線的一條準線相切,則該雙曲線的離心率為 .
(14)下圖展示了一個由區(qū)間(0,1)到實數(shù)集R的映射過程:區(qū)間中的實數(shù)m對應數(shù)軸上的點M,如圖1;將線段圍成一個圓,使兩端點A、B恰好重合,如圖2;再將這個圓放在平面直角坐標系中,使其圓心在y軸上,點A的坐標為,如圖3.圖3中直線與x軸交于點,則m的象就是n,記作.
(?)方程的解是 ;
(?)下列說法中正確命題的序號是 .(填出所有正確命題的序號)
①; ②是奇函數(shù); ③在定義域上單調(diào)遞增; ④的圖象關于點 對稱.
(15)(本小題共13分)
三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明, 演算步驟或證明過程.
已知數(shù)列的前項和為,, (,).
且,,成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式.
(16)(本小題共13分)
檢測部門決定對某市學校教室的空氣質(zhì)量進行檢測,空氣質(zhì)量分為A、B、C三級. 每間教室的檢測方式如下:分別在同一天的上、下午各進行一次檢測,若兩次檢測中有C級或兩次都是B級,則該教室的空氣質(zhì)量不合格. 設各教室的空氣質(zhì)量相互獨立,且每次檢測的結(jié)果也相互獨立. 根據(jù)多次抽檢結(jié)果,一間教室一次檢測空氣質(zhì)量為A、B、C三級的頻率依次為.
(Ⅰ)在該市的教室中任取一間,估計該間教室的空氣質(zhì)量合格的概率;
(Ⅱ)如果對該市某中學的4間教室進行檢測,記在上午檢測空氣質(zhì)量為A級的教室間數(shù)為,并以空氣質(zhì)量為A級的頻率作為空氣質(zhì)量為A級的概率,求的分布列及期望.
(17)(本小題共14分)
如圖,斜三棱柱的底面是直角三角形,,點在底面上的射影恰好是的中點,且.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)求二面角的大小.
(18)(本小題共13分)
已知:函數(shù)(其中常數(shù)).
(Ⅰ)求函數(shù)的定義域及單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若存在實數(shù),使得不等式成立,求a的取值范圍.
(19)(本小題共13分)
已知拋物線C:,過定點,作直線交拋物線于(點在第一象限).
(Ⅰ)當點A是拋物線C的焦點,且弦長時,求直線的方程;
(Ⅱ)設點關于軸的對稱點為,直線交軸于點,且.求證:點B的坐標是并求點到直線的距離的取值范圍.
(20)(本小題共14分)
已知定義域為,滿足:
①;
②對任意實數(shù),有.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)求的值;
(Ⅲ)是否存在常數(shù),使得不等式對一切實數(shù)成立.如果存在,求出常數(shù)的值;如果不存在,請說明理由.
海淀區(qū)高三年級第二學期期末練習
數(shù)學(理科)
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
ACDDB CDC
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分.有兩空的小題,第一空3分,第二空2分,共30分)
(9)62 (10)2 (11) (12)2,
(13) (14),③④
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
(15)(本小題共13分)
解:(Ⅰ)∵(),
∴(). ………………………………………1分
∵,,成等差數(shù)列,
∴. ………………………………………3分
∴. ………………………………………5分
∴. ………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
().
∴數(shù)列為首項是,公差為1的等差數(shù)列. ………………………………………8分
∴.
∴. ………………………………………10分
當時,. ………………………………………12分
當時,上式也成立. ………………………………………13分
∴().
(16)(本小題共13分)
解:(Ⅰ)該間教室兩次檢測中,空氣質(zhì)量均為A級的概率為.………………………………2分
該間教室兩次檢測中,空氣質(zhì)量一次為A級,另一次為B級的概率為.
…………………………………4分
設“該間教室的空氣質(zhì)量合格”為事件E.則 …………………………………5分
. …………………………………6分
答:估計該間教室的空氣質(zhì)量合格的概率為.
(Ⅱ)由題意可知,的取值為0,1,2,3,4. …………………………………7分
.
隨機變量的分布列為:
0
1
2
3
4
…………………………………12分
解法一:
∴. …………………………………13分
解法二:,
∴. …………………………………13分
(17)(本小題共14分)
(Ⅰ)證明:設的中點為.
在斜三棱柱中,點在底面上的射影恰好是的中點,
平面ABC. ……………………1分
平面,
. ……………………2分
,
∴.
,
∴平面. ……………………4分
平面,
平面平面. ………………………………………5分
解法一:(Ⅱ)連接,平面,
是直線在平面上的射影. ………………………………………5分
,
四邊形是菱形.
. ………………………………………7分
. ………………………………………9分
(Ⅲ)過點作交于點,連接.
,
平面.
.
是二面角的平面角. ………………………………………11分
設,則,
.
.
.
.
平面,平面,
.
.
在中,可求.
∵,∴.
∴.
. ………………………………………13分
.
∴二面角的大小為. ………………………………………14分
解法二:(Ⅱ)因為點在底面上的射影是的中點,設的中點為,則平面ABC.以為原點,過平行于的直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.
設,由題意可知,.
設,由,得
………………………………………7分
.
又.
.
. ………………………………………9分
(Ⅲ)設平面的法向量為.
則
∴
.
設平面的法向量為.則
∴
. ………………………………………12分
. ………………………………………13分
二面角的大小為. ………………………………………14分
(18)(本小題共13分)
解:(Ⅰ)函數(shù)的定義域為. ………………………………………1分
. ………………………………………3分
由,解得.
由,解得且.
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,.
………………………………………6分
(Ⅱ)由題意可知,,且在上的最小值小于等于時,存在實數(shù),使得不等式成立. ………………………………………7分
若即時,
x
a+1
-
0
+
ㄋ
極小值
ㄊ
∴在上的最小值為.
則,得. ………………………………………10分
若即時,在上單調(diào)遞減,則在上的最小值為.
由得(舍). ………………………………………12分
綜上所述,. ………………………………………13分
(19)(本小題共13分)
解:(Ⅰ)由拋物線C:得拋物線的焦點坐標為,設直線的方程為:,. ………………………………………1分
由得.
所以,.因為, …………………………………3分
所以.
所以.即.
所以直線的方程為:或. ………………………………………5分
(Ⅱ)設,,則.
由得.
因為,所以,. ……………………………………7分
(?)設,則.
由題意知:∥,.
即.
顯然 ………………………………………9分
(?)由題意知:為等腰直角三角形,,即,即.
. .
.,. ………………………………………11分
.
即的取值范圍是. ………………………………………13分
(20)(本小題共14分)
解:(Ⅰ)取,得,即.
因為,所以. ………………………………………1分
取,得.因為,所以.
取,得,所以.
………………………………………3分
(Ⅱ)在中取得.
所以.
在中取,得.
在中取,
得.
所以.
在中取,
得.
所以.
在中取,
得
.
所以對任意實數(shù)均成立.
所以. ………………………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
在中,
取,得,即 ①
取,得 ②
取,得,即 ③
②+①得,②+③得.
.
將代入①得.
將代入②得.
.
由(Ⅱ)知,所以對一切實數(shù)成立.
故當時,對一切實數(shù)成立.
存在常數(shù),使得不等式對一切實數(shù)成立,且為滿足題設的唯一一組值. ………………………………………14分
說明:其它正確解法按相應步驟給分.
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