(Ⅱ)求證:, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）化簡：．

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（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）問的結果證明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
（Ⅲ）其實我們常借用構造等式，對同一個量算兩次的方法來證明組合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=；，由左邊可求得x2的系數為C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系數為Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．請利用此方法證明：（C2n）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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（Ⅰ）求證：
sinx
1-cosx
=
1+cosx
sinx
；
（Ⅱ）化簡：
tan(3π-α)
sin(π-α)sin(
3
2
π-α)
+
sin(2π-α)cos(α-
7π
2
)
sin(
3π
2
+α)cos(2π+α)
．

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（Ⅰ）求證：
C
m
n
=
n
m
C
m-1
n-1
；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）問的結果證明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
（Ⅲ）其實我們常借用構造等式，對同一個量算兩次的方法來證明組合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=
(1+x)[1-(1+x)n]
1-(1+x)
=
(1+x)n+1-(1+x)
x
；，由左邊可求得x2的系數為C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系數為Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．請利用此方法證明：（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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（Ⅰ）求證：
sinx
1-cosx
=
1+cosx
sinx
；
（Ⅱ）化簡：
tan(3π-α)
sin(π-α)sin(
3
2
π-α)
+
sin(2π-α)cos(α-
7π
2
)
sin(
3π
2
+α)cos(2π+α)
．

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一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）

ACDDB CDC

 

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分.有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）

（9）62        （10）2        （11）         （12）2，

（13）    （14），③④

三、解答題（本大題共6小題,共80分）

(15)（本小題共13分）

解：（Ⅰ）∵（），

∴（）.                ………………………………………1分

∵，，成等差數列，

∴.                                  ………………………………………3分

∴.                                     ………………………………………5分

∴.                                             ………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

（）.

∴數列為首項是，公差為1的等差數列.         ………………………………………8分

∴.

∴.                                         ………………………………………10分

當時，.      ………………………………………12分

當時，上式也成立.                             ………………………………………13分

∴（）.

 

（16）（本小題共13分）

解：（Ⅰ）該間教室兩次檢測中，空氣質量均為A級的概率為.………………………………2分

該間教室兩次檢測中，空氣質量一次為A級，另一次為B級的概率為.

                                                          …………………………………4分

設“該間教室的空氣質量合格”為事件E.則                    …………………………………5分

.                              …………………………………6分

答：估計該間教室的空氣質量合格的概率為.

（Ⅱ）由題意可知，的取值為0，1，2，3，4.                …………………………………7分

.

隨機變量的分布列為：

0

1

2

3

4

                                                        …………………………………12分

解法一：

∴.    …………………………………13分

解法二：，

∴.                                       …………………………………13分

 

（17）（本小題共14分）

（Ⅰ）證明：設的中點為.

在斜三棱柱中，點在底面上的射影恰好是的中點,

     平面ABC.         ……………………1分

平面，

.               ……………………2分

，

∴.

，

∴平面.       ……………………4分

平面，

    平面平面.                          ………………………………………5分

解法一：（Ⅱ）連接，平面，

是直線在平面上的射影.          ………………………………………5分

，

四邊形是菱形.

.                                   ………………………………………7分

.                                   ………………………………………9分

（Ⅲ）過點作交于點，連接.

，

平面.

.

是二面角的平面角.               ………………………………………11分

設，則，

.

.

.

.

平面，平面，

.

.

在中，可求.

∵，∴.

∴.

.                   ………………………………………13分

.

∴二面角的大小為.             ………………………………………14分

解法二：（Ⅱ）因為點在底面上的射影是的中點，設的中點為，則平面ABC.以為原點，過平行于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設，由題意可知，.

設，由，得

………………………………………7分

.

  又.

.

.                                              ………………………………………9分

（Ⅲ）設平面的法向量為.

則

∴

.

設平面的法向量為.則

∴

.                                   ………………………………………12分

.                        ………………………………………13分

二面角的大小為.           ………………………………………14分

（18）（本小題共13分）

解：（Ⅰ）函數的定義域為．                 ………………………………………1分

.             ………………………………………3分

由，解得.

由，解得且．

∴的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，．

………………………………………6分

（Ⅱ）由題意可知，，且在上的最小值小于等于時，存在實數，使得不等式成立．                             ………………………………………7分

若即時，

x

a+1

-

0

+

ㄋ

極小值

ㄊ

∴在上的最小值為．

則，得．                           ………………………………………10分

若即時，在上單調遞減，則在上的最小值為．

由得（舍）．                            ………………………………………12分

綜上所述，．                               ………………………………………13分

（19）（本小題共13分）

解：（Ⅰ）由拋物線C:得拋物線的焦點坐標為，設直線的方程為：，.                                       ………………………………………1分

由得.

所以，.因為， …………………………………3分

所以.

所以.即.

所以直線的方程為：或.           ………………………………………5分

（Ⅱ）設，，則.

由得.

因為，所以，. ……………………………………7分

   （?）設，則.

  由題意知：∥，.

即.

  顯然      ………………………………………9分

（?）由題意知：為等腰直角三角形，，即，即.

. .

.，.                      ………………………………………11分

  .

即的取值范圍是.                           ………………………………………13分

 

（20）（本小題共14分）

解：（Ⅰ）取，得，即.

因為，所以.                         ………………………………………1分

取，得.因為，所以.

取，得，所以.

                                                    ………………………………………3分

（Ⅱ）在中取得.

所以.

在中取，得.

在中取，

得.

所以.

在中取，

得.

所以.

在中取，

得

         .

所以對任意實數均成立.

所以.                        ………………………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

在中，

取，得，即  ①

取，得 ②

取，得，即 ③

②+①得，②+③得.

.

將代入①得.

將代入②得.

.

由（Ⅱ）知，所以對一切實數成立.

故當時，對一切實數成立.

存在常數，使得不等式對一切實數成立，且為滿足題設的唯一一組值.                   ………………………………………14分

 

說明：其它正確解法按相應步驟給分.

 

 


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