題目列表(包括答案和解析)
已知
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值
函數(shù).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的最小正周期及其圖象的所有對(duì)稱(chēng)軸的方程.
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
ACDDB CDC
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分.有兩空的小題,第一空3分,第二空2分,共30分)
(9)62 (10)2 (11) (12)2,
(13) (14),③④
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
(15)(本小題共13分)
解:(Ⅰ)∵(),
∴(). ………………………………………1分
∵,,成等差數(shù)列,
∴. ………………………………………3分
∴. ………………………………………5分
∴. ………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
().
∴數(shù)列為首項(xiàng)是,公差為1的等差數(shù)列. ………………………………………8分
∴.
∴. ………………………………………10分
當(dāng)時(shí),. ………………………………………12分
當(dāng)時(shí),上式也成立. ………………………………………13分
∴().
(16)(本小題共13分)
解:(Ⅰ)該間教室兩次檢測(cè)中,空氣質(zhì)量均為A級(jí)的概率為.………………………………2分
該間教室兩次檢測(cè)中,空氣質(zhì)量一次為A級(jí),另一次為B級(jí)的概率為.
…………………………………4分
設(shè)“該間教室的空氣質(zhì)量合格”為事件E.則 …………………………………5分
. …………………………………6分
答:估計(jì)該間教室的空氣質(zhì)量合格的概率為.
(Ⅱ)由題意可知,的取值為0,1,2,3,4. …………………………………7分
.
隨機(jī)變量的分布列為:
0
1
2
3
4
…………………………………12分
解法一:
∴. …………………………………13分
解法二:,
∴. …………………………………13分
(17)(本小題共14分)
(Ⅰ)證明:設(shè)的中點(diǎn)為.
在斜三棱柱中,點(diǎn)在底面上的射影恰好是的中點(diǎn),
平面ABC. ……………………1分
平面,
. ……………………2分
,
∴.
,
∴平面. ……………………4分
平面,
平面平面. ………………………………………5分
解法一:(Ⅱ)連接,平面,
是直線在平面上的射影. ………………………………………5分
,
四邊形是菱形.
. ………………………………………7分
. ………………………………………9分
(Ⅲ)過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),連接.
,
平面.
.
是二面角的平面角. ………………………………………11分
設(shè),則,
.
.
.
.
平面,平面,
.
.
在中,可求.
∵,∴.
∴.
. ………………………………………13分
.
∴二面角的大小為. ………………………………………14分
解法二:(Ⅱ)因?yàn)辄c(diǎn)在底面上的射影是的中點(diǎn),設(shè)的中點(diǎn)為,則平面ABC.以為原點(diǎn),過(guò)平行于的直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè),由題意可知,.
設(shè),由,得
………………………………………7分
.
又.
.
. ………………………………………9分
(Ⅲ)設(shè)平面的法向量為.
則
∴
.
設(shè)平面的法向量為.則
∴
. ………………………………………12分
. ………………………………………13分
二面角的大小為. ………………………………………14分
(18)(本小題共13分)
解:(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?sub>. ………………………………………1分
. ………………………………………3分
由,解得.
由,解得且.
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,.
………………………………………6分
(Ⅱ)由題意可知,,且在上的最小值小于等于時(shí),存在實(shí)數(shù),使得不等式成立. ………………………………………7分
若即時(shí),
x
a+1
-
0
+
ㄋ
極小值
ㄊ
∴在上的最小值為.
則,得. ………………………………………10分
若即時(shí),在上單調(diào)遞減,則在上的最小值為.
由得(舍). ………………………………………12分
綜上所述,. ………………………………………13分
(19)(本小題共13分)
解:(Ⅰ)由拋物線C:得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè)直線的方程為:,. ………………………………………1分
由得.
所以,.因?yàn)?sub>, …………………………………3分
所以.
所以.即.
所以直線的方程為:或. ………………………………………5分
(Ⅱ)設(shè),,則.
由得.
因?yàn)?sub>,所以,. ……………………………………7分
(?)設(shè),則.
由題意知:∥,.
即.
顯然 ………………………………………9分
(?)由題意知:為等腰直角三角形,,即,即.
. .
.,. ………………………………………11分
.
即的取值范圍是. ………………………………………13分
(20)(本小題共14分)
解:(Ⅰ)取,得,即.
因?yàn)?sub>,所以. ………………………………………1分
取,得.因?yàn)?sub>,所以.
取,得,所以.
………………………………………3分
(Ⅱ)在中取得.
所以.
在中取,得.
在中取,
得.
所以.
在中取,
得.
所以.
在中取,
得
.
所以對(duì)任意實(shí)數(shù)均成立.
所以. ………………………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
在中,
取,得,即 ①
取,得 ②
取,得,即 ③
②+①得,②+③得.
.
將代入①得.
將代入②得.
.
由(Ⅱ)知,所以對(duì)一切實(shí)數(shù)成立.
故當(dāng)時(shí),對(duì)一切實(shí)數(shù)成立.
存在常數(shù),使得不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)成立,且為滿足題設(shè)的唯一一組值. ………………………………………14分
說(shuō)明:其它正確解法按相應(yīng)步驟給分.
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