3.求事件發(fā)生的概率的處理方法和技巧

⑴ 解決等可能性事件的概率問題的關(guān)鍵是：正確求出基本事件總數(shù)和事件A包含的基本事件數(shù)，這就需要有較好的排列、組合知識(shí).

⑵ 要注意恰有k次發(fā)生和指定的k次發(fā)生的關(guān)系，對(duì)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)來說，前者的概率為Cp^k(1―p)^n―k，后者的概率為p^k(1―p)^n―k.

(3)計(jì)算古典概型問題的關(guān)鍵是怎樣把一個(gè)事件劃分為基本事件的和的形式，以便準(zhǔn)確計(jì)算事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)和總的基本事件個(gè)數(shù)；計(jì)算幾何概型問題的關(guān)鍵是怎樣把具體問題(如時(shí)間問題等)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)類型的幾何概型問題，及準(zhǔn)確計(jì)算事件A所包含的基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域的長(zhǎng)度、面積或體積．

(4)在古典概型問題中，有時(shí)需要注意區(qū)分試驗(yàn)過程是有序還是無序；在幾何概型問題中需注意先判斷基本事件是否是“等可能”的．

(5)幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果．

2.二項(xiàng)定理問題的處理方法和技巧

⑴ 運(yùn)用二項(xiàng)式定理一定要牢記通項(xiàng)T_r+1 =Ca^n－rb^r，注意(a +b)ⁿ與(b+a)ⁿ雖然相同，但具體到它們展開式的某一項(xiàng)時(shí)是不相同的，我們一定要注意順序問題.另外二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的(字母)系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分.

⑵ 對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)問題，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

①求二項(xiàng)式所有項(xiàng)的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1；

②關(guān)于組合恒等式的證明，常采用“構(gòu)造法”--構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問題的兩種算法；

③證明不等式時(shí)，應(yīng)注意運(yùn)用放縮法.

⑶ 求二項(xiàng)展開式中指定的項(xiàng)，通常是先根據(jù)已知條件求r，再求T_r+1，有時(shí)還需先求n，再求r，才能求出T_r+1.

⑷ 有些三項(xiàng)展開式問題可以變形為二項(xiàng)式問題加以解決；有時(shí)也可以通過組合解決，但要注意分類清楚，不重不漏.

⑸ 對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)問題，首先要熟記二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，其次要掌握賦值法，賦值法是解決二項(xiàng)式系數(shù)問題的一個(gè)重要手段.

⑹ 近似計(jì)算要首先觀察精確度，然后選取展開式中若干項(xiàng).

⑺ 用二項(xiàng)式定理證明整除問題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P(guān)除式的二項(xiàng)式的形式再展開，常采用“配湊法”“消去法”配合整除的有關(guān)知識(shí)來解決.

1.排列組合應(yīng)用題的處理方法和策略

⑴ 使用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理要根據(jù)我們完成某件事情時(shí)采取的方式而定，分類來完成這件事情時(shí)用分類計(jì)數(shù)原理，分步驟來完成這件事情時(shí)用分步計(jì)數(shù)原理.怎樣確定是分類，還是分步驟？“分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨(dú)立完成所給事件，而“分步驟”必須把各步驟均完成才能完成所給事情.所以準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理的關(guān)鍵在于明確：分類計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾，彼此之間交集為空集，并集為全集，不論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨(dú)完成事件；分步計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成事件，步與步之間互不影響，即前一步用什么方法不影響后一步采取什么方法.

⑵ 排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān).

⑶ 復(fù)雜的排列問題常常通過試驗(yàn)、畫簡(jiǎn)圖、小數(shù)字簡(jiǎn)化等手段使問題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結(jié)果的正確性難以直接檢驗(yàn)，因而常需要用不同的方法求解來獲得檢驗(yàn).

⑷ 按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，是處理組合問題的基本思想方法，要注意題設(shè)中“至少”“至多”等限制詞的意義.

⑸ 處理排列組合的綜合性問題，一般思想方法是先選元素(組合)，后排列，按元素的性質(zhì)“分類”和按事件發(fā)生的連續(xù)過程“分步”，始終是處理排列、組合問題的基本方法和原理，通過解題訓(xùn)練要注意積累分類和分步的基本技能.

⑹ 在解決排列組合綜合性問題時(shí)，必須深刻理解排列與組合的概念，能夠熟練確定--問題是排列問題還是組合問題，牢記排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算公式與組合數(shù)性質(zhì).容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤是重復(fù)和遺漏計(jì)數(shù).

常見的解題策略有以下幾種：

①特殊元素優(yōu)先安排的策略；

②合理分類與準(zhǔn)確分步的策略；

③排列、組合混合問題先選后排的策略；

④正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略；

⑤相鄰問題捆綁處理的策略；

⑥不相鄰問題插空處理的策略；

⑦定序問題除法處理的策略；

⑧分排問題直排處理的策略；

⑨“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略；

⑩構(gòu)造模型的策略.

2、求二項(xiàng)展開式中的多個(gè)系數(shù)的和：此類問題多用賦值法；要注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別；

[命題規(guī)律]

歷年高考二項(xiàng)式定理的試題以客觀題的形式出現(xiàn)，多為課本例題、習(xí)題遷移的改編題，難度不大，重點(diǎn)考查運(yùn)用二項(xiàng)式定理去解決問題的能力和邏輯劃分、化歸轉(zhuǎn)化等思想方法。為此，只要我們把握住二項(xiàng)式定理及其系數(shù)性質(zhì)，會(huì)把實(shí)際問題化歸為數(shù)學(xué)模型問題或方程問題去解決，就可順利獲解。

例4、(2008安徽理)設(shè)則中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　 )

A．2　　　　　　　　　　 B．3　　　　　　　 C．4　　　　　　　　　　 D．5

解：由題知，逐個(gè)驗(yàn)證知，其它為偶數(shù)，選A。

例5、(2008上海理)12.組合數(shù)C(n＞r≥1，n、r∈Z)恒等于(　 　)

　 A．C　　　　　 B．(n+1)(r+1)C　　　　 C．nr C　　　　　 　D．C

解：由.

例6、(2008浙江文)(6)在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是

　　 (A)-15　　　 (B)85　　 　　(C)-120　　　 (D)274

解：本題可通過選括號(hào)(即5個(gè)括號(hào)中4個(gè)提供，其余1個(gè)提供常數(shù))的思路來完成。故含的項(xiàng)的系數(shù)為

例7、(2008重慶文) (10)若(x+)ⁿ的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)，則展開式中x⁴項(xiàng)的系數(shù)為

(A)6　　　　　　　　　　　　　　 (B)7　　　　　　　　　　　　　　 (C)8　　　　　　　 　　 (D)9

解：因?yàn)?sub>的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)、、成等差數(shù)列，所以，即，解得：或(舍)。。令可得，，所以的系數(shù)為，故選B。

考點(diǎn)三：概率

[內(nèi)容解讀]概率試題主要考查基本概念和基本公式，對(duì)等可能性事件的概率、互斥事件的概率、獨(dú)立事件的概率、事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰發(fā)生k次的概率、離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等內(nèi)容都進(jìn)行了考查。掌握古典概型和幾何概型的概率求法。

[命題規(guī)律](1)概率統(tǒng)計(jì)試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6%-10%，試題的難度為中等或中等偏易。

(2)概率統(tǒng)計(jì)試題通常是通過對(duì)課本原題進(jìn)行改編，通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設(shè)問巧、并賦予時(shí)代氣息、貼近學(xué)生實(shí)際的問題。這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試卷新的設(shè)計(jì)理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實(shí)際，體現(xiàn)了人文教育的精神。

例8、(2008江蘇)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨意投一點(diǎn)，則落入E中的概率為　　　　　　　　　　 。

解：如圖：區(qū)域D表示邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的內(nèi)部(含邊界)，區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此。

　答案

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型，利用面積相比求概率。

例9、(2008重慶文)(9)從編號(hào)為1,2,…,10的10個(gè)大小相同的球中任取4個(gè)，則所取4個(gè)球的最大號(hào)碼是6的概率為

(A)　　　　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　　　　　　 (C)　　　　　　　　　 (D)

解：，故選B。

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查組合的基本知識(shí)及等可能事件的概率。

例10、(2008山東理)在某地的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)中，有編號(hào)為1，2，3，…，18的18名火炬手.若從中任選3人，則選出的火炬手的編號(hào)能組成3為公差的等差數(shù)列的概率為

(A)　　　　　　　　(B)

(C)　　　　　　　　(D)

解：基本事件總數(shù)為。

選出火炬手編號(hào)為，時(shí)，由可得4種選法；

時(shí)，由可得4種選法；時(shí)，由可得4種選法。

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型及排列組合問題。

例11、(2008福建理)(5)某一批花生種子，如果每1粒發(fā)牙的概率為,那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是(　)

A.　　　　　　　　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　　　 D.

解：獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，

例12、(2008陜西省理)某射擊測(cè)試規(guī)則為：每人最多射擊3次，擊中目標(biāo)即終止射擊，第次擊中目標(biāo)得分，3次均未擊中目標(biāo)得0分．已知某射手每次擊中目標(biāo)的概率為0.8，其各次射擊結(jié)果互不影響．

(Ⅰ)求該射手恰好射擊兩次的概率；

(Ⅱ)該射手的得分記為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解： (Ⅰ)設(shè)該射手第次擊中目標(biāo)的事件為，則，

．

(Ⅱ)可能取的值為0，1，2，3．　　 的分布列為

	0	1	2	3
	0.008	0.032	0.16	0.8

.

例13、(2008廣東卷17)．隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)(單位：萬元)為．

(1)求的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)(即的數(shù)學(xué)期望)；

(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為，一等品率提高為．如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？

解：的所有可能取值有6，2，1，-2；，

，

故的分布列為：

	6	2	1	-2
	0.63	0.25	0.1	0.02

(2)

(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為

依題意，，即，解得 所以三等品率最多為

考點(diǎn)四：統(tǒng)計(jì)

[內(nèi)容解讀]理解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的概念，了解它們各自的特點(diǎn)及步驟．會(huì)用三種抽樣方法從總體中抽取樣本．會(huì)用樣本頻率分布估計(jì)總體分布．會(huì)用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征．會(huì)利用散點(diǎn)圖和線性回歸方程，分析變量間的相關(guān)關(guān)系；掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟與方法。

[命題規(guī)律](1)概率統(tǒng)計(jì)試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6%-10%，試題的難度為中等或中等偏易。

(2)概率統(tǒng)計(jì)試題通常是通過對(duì)課本原題進(jìn)行改編，通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設(shè)問巧、并賦予時(shí)代氣息、貼近學(xué)生實(shí)際的問題。這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試卷新的設(shè)計(jì)理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實(shí)際，體現(xiàn)了人文教育的精神。

例14、(2007廣東)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生

產(chǎn)能耗Y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)

　　 (1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

　　 (2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，崩最小二乘法求出Y關(guān)于x的線性回歸方程Y=bx+a；

　　 (3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?

　 (參考數(shù)值：32．5+43+54+64．5=66.5)

解：(1)散點(diǎn)圖略.

　 (2), , ,

　　 由所提供的公式可得,故所求線性回歸方程為10分

　 (3)噸.

例15、(2008江蘇模擬)為了研究某高校大學(xué)新生學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名進(jìn)校學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖,如圖.已知前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項(xiàng)，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項(xiàng)．

(Ⅰ)求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(Ⅲ)若規(guī)定視力低于5.0的學(xué)生屬于近視學(xué)生,試估計(jì)該校新生的近視率的大小.

解：(I)由題意知：，

∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴公比

∴ .　

(II) ∵=13,

∴，　

∵數(shù)列是等差數(shù)列，∴設(shè)數(shù)列公差為，則得，

　∴＝87，

，， 　　

(III)=,

(或=)

　　　　 答:估計(jì)該校新生近視率為91%.

例16、(2008江蘇模擬)某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:

　　 該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

　　 (Ⅰ)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個(gè)月的概率；(5分)

　　 (Ⅱ)若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程；(6分)

　　 (Ⅲ)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想?(3分)

　　 (參考公式: )

解：(Ⅰ)設(shè)抽到相鄰兩個(gè)月的數(shù)據(jù)為事件A.因?yàn)閺?組數(shù)據(jù)中選

取2組數(shù)據(jù)共有15種情況,每種情況都是等可能出現(xiàn)的

其中,抽到相鄰兩個(gè)月的數(shù)據(jù)的情況有5種 　　　　　　

所以　　　　　　　

(Ⅱ)由數(shù)據(jù)求得　　

由公式求得　　　　

再由　　　　　　　　

所以關(guān)于的線性回歸方程為　　　　

(Ⅲ)當(dāng)時(shí),, ；

同樣, 當(dāng)時(shí),,

所以,該小組所得線性回歸方程是理想的. 　　　

1、求二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)問題：方法主要是運(yùn)用二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式；

2、解排列組合題的基本方法：

(1)　　　　　 優(yōu)限法：元素分析法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；

位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；

(2)　　　　　 排異法：對(duì)有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。

(3)　　　　　 分類處理：某些問題總體不好解決時(shí)，常常分成若干類，再由分類計(jì)數(shù)原理得出結(jié)論；注意：分類不重復(fù)不遺漏。

(4)　　　　　 分步處理：對(duì)某些問題總體不好解決時(shí)，常常分成若干步，再由分步計(jì)數(shù)原理解決；在解題過程中，常常要既要分類，以要分步，其原則是先分類，再分步。

(5)　　　　　 插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間。

(6)　　　　　 捆綁法：把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列。

(7)　　　　　 窮舉法：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來；這種方法常用于方法數(shù)比較少的問題。

[命題規(guī)律]排列組合的知識(shí)在高考中經(jīng)常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度屬中等。

例1、(2008安徽理) 12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是(　　　 )

A．　　　　　　 　 　 B．　　　　　　　　　　 　　 C．　　　　　　　　　　 D．

解：從后排8人中選2人共種選法，這2人插入前排4人中且保證前排人的順序不變，則先從4人中的5個(gè)空擋插入一人，有5種插法；余下的一人則要插入前排5人的空擋，有6種插法，故為；綜上知選C。

例2、(2008全國II理)12．如圖，一環(huán)形花壇分成A、B、C、D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種一種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法種數(shù)為

(A)96　　　　　　　　　　 　　 (B)　 84　　　　　　　　　

(C) 60　　　　　　 　　　　 (D) 48

解：分三類：種兩種花有種種法；種三種花有種種法；種四種花有種種法.共有.

例3、(2008陜西省理)16．某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有　　　　 種．(用數(shù)字作答)

解：分兩類：第一棒是丙有,第一棒是甲、乙中一人有

因此共有方案種

考點(diǎn)二：二項(xiàng)式定理

[內(nèi)容解讀]掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和論證一些簡(jiǎn)單問題。對(duì)二項(xiàng)式定理的考查主要有以下兩種題型：

考點(diǎn)一：排列組合

[方法解讀]

1、解排列組合題的基本思路：

①　　 將具體問題抽象為排列組合問題，是解排列組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步

②　　 對(duì)“組合數(shù)”恰當(dāng)?shù)姆诸愑?jì)算是解組合題的常用方法；

③　　 是用“直接法”還是用“間接法”解組合題，其前提是“正難則反”；

4、統(tǒng)計(jì)

　(1)三種抽樣方法

�、俸�(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

　簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種最簡(jiǎn)單、最基本的抽樣方法．抽樣中選取個(gè)體的方法有兩種：放回和不放回．我們?cè)诔闃诱{(diào)查中用的是不放回抽�。�

　簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：被抽取樣本的總體個(gè)數(shù)有限．從總體中逐個(gè)進(jìn)行抽取，使抽樣便于在實(shí)踐中操作．它是不放回抽取，這使其具有廣泛應(yīng)用性．每一次抽樣時(shí)，每個(gè)個(gè)體等可能的被抽到，保證了抽樣方法的公平性．

　實(shí)施抽樣的方法：抽簽法：方法簡(jiǎn)單，易于理解．隨機(jī)數(shù)表法：要理解好隨機(jī)數(shù)表，即表中每個(gè)位置上等可能出現(xiàn)0，1，2，…，9這十個(gè)數(shù)字的數(shù)表．隨機(jī)數(shù)表中各個(gè)位置上出現(xiàn)各個(gè)數(shù)字的等可能性，決定了利用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行抽樣時(shí)抽取到總體中各個(gè)個(gè)體序號(hào)的等可能性．

�、谙到y(tǒng)抽樣

　系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個(gè)體數(shù)較多的情況．

　系統(tǒng)抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣之間存在著密切聯(lián)系，即在將總體中的個(gè)體均分后的每一段中進(jìn)行抽樣時(shí)，采用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．

　系統(tǒng)抽樣的操作步驟：第一步，利用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號(hào)；第二步，將總體的編號(hào)分段，要確定分段間隔，當(dāng)(N為總體中的個(gè)體數(shù)，n為樣本容量)是整數(shù)時(shí)，；當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，通過從總體中剔除一些個(gè)體使剩下的個(gè)體個(gè)數(shù)N能被n整除，這時(shí)；第三步，在第一段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體編號(hào)，再按事先確定的規(guī)則抽取樣本．通常是將加上間隔k得到第2個(gè)編號(hào)，將加上k，得到第3個(gè)編號(hào)，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個(gè)樣本．

　③分層抽樣

　當(dāng)總體由明顯差別的幾部分組成時(shí)，為了使抽樣更好地反映總體情況，將總體中各個(gè)個(gè)體按某種特征分成若干個(gè)互不重疊的部分，每一部分叫層；在各層中按層在總體中所占比例進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．

　分層抽樣的過程可分為四步：第一步，確定樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比；第二步，計(jì)算出各層需抽取的個(gè)體數(shù)；第三步，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣在各層中抽取個(gè)體；第四步，將各層中抽取的個(gè)體合在一起，就是所要抽取的樣本．

　(2)用樣本估計(jì)總體

　樣本分布反映了樣本在各個(gè)范圍內(nèi)取值的概率，我們常常使用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)樣本的頻率分布，有時(shí)也利用莖葉圖來描述其分布，然后用樣本的頻率分布去估計(jì)總體分布，總體一定時(shí)，樣本容量越大，這種估計(jì)也就越精確．

�、儆脴颖绢l率分布估計(jì)總體頻率分布時(shí)，通常要對(duì)給定一組數(shù)據(jù)進(jìn)行列表、作圖處理．作頻率分布表與頻率分布直方圖時(shí)要注意方法步驟．畫樣本頻率分布直方圖的步驟：求全距→決定組距與組數(shù)→分組→列頻率分布表→畫頻率分布直方圖．

�、谇o葉圖刻畫數(shù)據(jù)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是所有的信息都可以從圖中得到；二是莖葉圖便于記錄和表示，但數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí)不夠方便．

�、燮骄鶖�(shù)反映了樣本數(shù)據(jù)的平均水平，而標(biāo)準(zhǔn)差反映了樣本數(shù)據(jù)相對(duì)平均數(shù)的波動(dòng)程度，其計(jì)算公式為． 有時(shí)也用標(biāo)準(zhǔn)差的平方---方差來代替標(biāo)準(zhǔn)差，兩者實(shí)質(zhì)上是一樣的．

　(3)兩個(gè)變量之間的關(guān)系

　變量與變量之間的關(guān)系，除了確定性的函數(shù)關(guān)系外，還存在大量因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的相關(guān)關(guān)系．在本章中，我們學(xué)習(xí)了一元線性相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸直線方程就可以根據(jù)其部分觀測(cè)值，獲得對(duì)這兩個(gè)變量之間的整體關(guān)系的了解．分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí),我們可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖確定兩個(gè)變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，還可利用最小二乘估計(jì)求出回歸直線方程．通常我們使用散點(diǎn)圖，首先把樣本數(shù)據(jù)表示的點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中作出，形成散點(diǎn)圖．然后從散點(diǎn)圖上，我們可以分析出兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系：如果這些點(diǎn)大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，那么就說這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線，其對(duì)應(yīng)的方程叫做回歸直線方程．在本節(jié)要經(jīng)常與數(shù)據(jù)打交道，計(jì)算量大，因此同學(xué)們要學(xué)會(huì)應(yīng)用科學(xué)計(jì)算器．

　(4)求回歸直線方程的步驟：

　第一步：先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計(jì)算出；

　第二步：計(jì)算回歸系數(shù)的a，b，公式為

　第三步：寫出回歸直線方程．

(4)獨(dú)立性檢驗(yàn)

①列聯(lián)表：列出的兩個(gè)分類變量和，它們的取值分別為和的樣本頻數(shù)表稱為列聯(lián)表1

分類	1	2	總計(jì)
1
2
總計(jì)

　 　　構(gòu)造隨機(jī)變量(其中)

得到的觀察值常與以下幾個(gè)臨界值加以比較：

　　如果　，就有的把握因?yàn)閮煞诸愖兞?sub>和是有關(guān)系；

如果　　就有的把握因?yàn)閮煞诸愖兞?sub>和是有關(guān)系；

如果　　就有的把握因?yàn)閮煞诸愖兞?sub>和是有關(guān)系；

如果低于，就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)說明變量和是有關(guān)系．

　�、谌�維柱形圖：如果列聯(lián)表1的三維柱形圖如下圖

　　由各小柱形表示的頻數(shù)可見，對(duì)角線上的頻數(shù)的積的差的絕對(duì)值

　較大，說明兩分類變量和是有關(guān)的，否則的話是無關(guān)的．

重點(diǎn)：一方面考察對(duì)角線頻數(shù)之差，更重要的一方面是提供了構(gòu)造隨機(jī)變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的思路方法。

�、鄱�維條形圖(相應(yīng)于上面的三維柱形圖而畫)

　　由深、淺染色的高可見兩種情況下所占比例，由數(shù)據(jù)可知要比小得多，由于差距較大，因此，說明兩分類變量和有關(guān)系的可能性較大，兩個(gè)比值相差越大兩分類變量和有關(guān)的可能性也越的．否則是無關(guān)系的．

重點(diǎn)：通過圖形以及所占比例直觀地粗略地觀察是否有關(guān)，更重要的一方面是提供了構(gòu)造隨機(jī)變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法。

④等高條形圖(相應(yīng)于上面的條形圖而畫)

　由深、淺染色的高可見兩種情況下的百分比；另一方面，數(shù)據(jù)

要比小得多，因此，說明兩分類變量和有關(guān)系的可能性較大，

否則是無關(guān)系的．

重點(diǎn)：直觀地看出在兩類分類變量頻數(shù)相等的情況下，各部分所占的比例情況，是在圖2的基礎(chǔ)上換一個(gè)角度來理解。

3.概率

(1)事件與基本事件：

　基本事件：試驗(yàn)中不能再分的最簡(jiǎn)單的“單位”隨機(jī)事件；一次試驗(yàn)等可能的產(chǎn)生一個(gè)基本事件；任意兩個(gè)基本事件都是互斥的；試驗(yàn)中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式來表示．

　(2)頻率與概率：隨機(jī)事件的頻率是指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值．頻率往往在概率附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加而變化，擺動(dòng)幅度會(huì)越來越小．隨機(jī)事件的概率是一個(gè)常數(shù)，不隨具體的實(shí)驗(yàn)次數(shù)的變化而變化．

　(3)互斥事件與對(duì)立事件：

事件	定義	集合角度理解	關(guān)系
互斥事件	事件與不可能同時(shí)發(fā)生	兩事件交集為空	事件與對(duì)立，則與必為互斥事件； 事件與互斥，但不一是對(duì)立事件
對(duì)立事件	事件與不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生	兩事件互補(bǔ)

　(4)古典概型與幾何概型：

　古典概型：具有“等可能發(fā)生的有限個(gè)基本事件”的概率模型．

　幾何概型：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例．

　兩種概型中每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性都是相等的，但古典概型問題中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，而幾何概型問題中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限個(gè)．

　(5)古典概型與幾何概型的概率計(jì)算公式：

　古典概型的概率計(jì)算公式：．

　幾何概型的概率計(jì)算公式：．

　兩種概型概率的求法都是“求比例”，但具體公式中的分子、分母不同．

　(6)概率基本性質(zhì)與公式

①事件的概率的范圍為：．

②互斥事件與的概率加法公式：．

③對(duì)立事件與的概率加法公式：．

(7) 如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，則它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率是p_n(k) = Cp^k(1―p)^n―k.　實(shí)際上，它就是二項(xiàng)式[(1―p)+p]ⁿ的展開式的第k+1項(xiàng).

(8)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

�、伲�一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．注意這里強(qiáng)調(diào)了三點(diǎn)：(1)相同條件；(2)多次重復(fù)；(3)各次之間相互獨(dú)立；

�、冢�二項(xiàng)分布的概念：一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為．此時(shí)稱隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．

2.二項(xiàng)式定理

⑴ 二項(xiàng)式定理

(a +b)ⁿ =Caⁿ +Ca^n－1b+…+Ca^n－rb^r +…+Cbⁿ，其中各項(xiàng)系數(shù)就是組合數(shù)C，展開式共有n+1項(xiàng)，第r+1項(xiàng)是T_r+1 =Ca^n－rb^r.

⑵ 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)T_r+1=Ca^n－rb^r(r=0,1,…n)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式。

⑶ 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

①在二項(xiàng)式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，

即C= C　(r=0,1,2,…,n).

②若n是偶數(shù)，則中間項(xiàng)(第項(xiàng))的二項(xiàng)公式系數(shù)最大，其值為C；若n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)(第項(xiàng)和第項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)相等，并且最大，其值為C= C.

③所有二項(xiàng)式系數(shù)和等于2ⁿ，即C+C+C+…+C=2ⁿ.

④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，

即C+C+…=C+C+…=2^n―1.