廣東省韶關(guān)市2008屆高三調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題
(理科) 2008.2.19
本卷分選擇題和非選擇題兩部分,滿分150分.考試用時(shí)間120分鐘.
注意事項(xiàng):
1. 考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、學(xué)校用藍(lán)、黑墨水鋼筆簽字筆寫(xiě)在答題卷上;
2. 選擇題、填空題每小題得出答案后,請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題卷相應(yīng)指定位置上。答在試題卷上不得分;
3. 考試結(jié)束,考生只需將答題案交回。
參考公式:錐體的體積公式,其中是錐體的底面積,是錐體的高.
如果事件、互斥,那么.
如果事件、相互獨(dú)立,那么.
第一部分 選擇題(共40分)
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1. 已知復(fù)數(shù),則
A. B. C. D.
2. 設(shè)全集且,,則
A. B. C. D.
3. 橢圓的焦點(diǎn)在軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍,則的值為( )
A. B. C. 2 D.4
4. 中,,,,則
A. B. C. D.或
5. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則過(guò)點(diǎn)和
N*)的直線的斜率是
A.4 B.
6.已知函數(shù),且,的導(dǎo)函數(shù),函數(shù)的圖象如圖所示. 則平面區(qū)域所圍成的面積是
A.2 B.
7. 一臺(tái)機(jī)床有的時(shí)間加工零件A, 其余時(shí)間加工零件B, 加工A時(shí),停機(jī)的概率是,
加工B時(shí),停機(jī)的概率是, 則這臺(tái)機(jī)床停機(jī)的概率為( )
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐標(biāo)系中,橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn),如果函數(shù)的圖象恰好通過(guò)個(gè)整點(diǎn),則稱函數(shù)為階整點(diǎn)函數(shù)。有下列函數(shù):
① ; ② ③ ④,
其中是一階整點(diǎn)函數(shù)的是( )
A.①②③④ B.①③④ C.①④ D.④
第二部分 非選擇題(共110分)
二.填空題(每小題5分,共30分)
9. 若奇函數(shù)的定義域?yàn)?sub>,則=
10. 計(jì)算
11.已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的,把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體,類似的結(jié)論是____________________.
12.右圖是用二分法求方程在的近似解的程序框圖,要求解的精確度為,①處填的內(nèi)容是____________, ②處填的內(nèi)容是______________________.
第13至15題,從3題中選答2題,多選按前2題記分
13. 設(shè)M、N分別是曲線和上的動(dòng)點(diǎn),則M、N的最小距離是
14. 如圖,圓是的外接圓,過(guò)點(diǎn)C的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),,。則的長(zhǎng)______________,的長(zhǎng)______________.
15. 已知且,
則 .
16.(本題滿分12分)
某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,將其成績(jī)(均為整數(shù))分成六段,…后畫(huà)出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息,回答下列問(wèn)題:
(Ⅰ)求第四小組的頻率,并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;
(Ⅱ)估計(jì)這次考試的及格率(60分及以上為及格)和
平均分;
(Ⅲ) 從成績(jī)是70分以上(包括70分)的學(xué)生中選兩人,
求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率.
17.(本題滿分12分)
已知,
(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期;
(Ⅱ) 當(dāng),求函數(shù)的零點(diǎn).
18. (本題滿分14分)
如圖,在三棱拄中,側(cè)面,已知
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)試在棱(不包含端點(diǎn)上確定一點(diǎn)的位置,使得;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下,求二面角的平面角的正切值.
19. (本題滿分14分)
在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)(1,0),直線:,點(diǎn)在直線上移動(dòng),是線段與軸的交點(diǎn), .
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ) 記的軌跡的方程為,過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的曲線的弦、,設(shè)、 的中點(diǎn)分別為.求證:直線必過(guò)定點(diǎn).
20.(本題滿分14分)
已知數(shù)列中,,且
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)設(shè),是數(shù)列的前項(xiàng)和,求的解析式;
(Ⅲ)求證:不等式對(duì)恒成立.
21. (本題滿分14分)已知函數(shù)(其中) ,
點(diǎn)從左到右依次是函數(shù)圖象上三點(diǎn),且.
(Ⅰ) 證明: 函數(shù)在上是減函數(shù);
(Ⅱ) 求證:ㄓ是鈍角三角形;
(Ⅲ) 試問(wèn),ㄓ能否是等腰三角形?若能,求ㄓ面積的最大值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
2008屆高三調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題(理科)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
題號(hào)
9
10
11
12
13
14
15
答案
二、填空題
6
4,
1
三、解答題
16.(本題滿分12分)
(Ⅰ)因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1,故第四組的頻率:
……2分
直方圖如右所示……………………………….4分
(Ⅱ)依題意,60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組,
頻率和為
所以,抽樣學(xué)生成績(jī)的合格率是%......................................6分
利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分
………………….8分
=
=71
估計(jì)這次考試的平均分是71分………………………………………….9分
(Ⅲ), ,”的人數(shù)是18,15,3。所以從成績(jī)是70分以上(包括70分)的學(xué)生中選兩人,他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率。
……………………………………………………12分
17.(本題滿分12分)
解:(Ⅰ)=…………………….4分
故…………………………………………………5分
(Ⅱ)令,=0,又 …… ………….7分
…………………………………………9分
故 函數(shù)的零點(diǎn)是 ……………. 12分
18.(本題滿分12分)
證(Ⅰ)因?yàn)?sub>側(cè)面,故
在中, 由余弦定理有
故有
而 且平面
(Ⅱ)由
從而 且 故
不妨設(shè) ,則,則
又 則
在中有 從而(舍負(fù))
故為的中點(diǎn)時(shí),
法二:以為原點(diǎn)為軸,設(shè),則 由得 即
化簡(jiǎn)整理得 或
當(dāng)時(shí)與重合不滿足題意
當(dāng)時(shí)為的中點(diǎn)
故為的中點(diǎn)使
(Ⅲ)取的中點(diǎn),的中點(diǎn),的中點(diǎn),的中點(diǎn)
連則,連則,連則
連則,且為矩形,
又 故為所求二面角的平面角
在中,
法二:由已知, 所以二面角的平面角的大小為向量與的夾角
因?yàn)?sub>
故
.
19. (本題滿分14分)
解:(Ⅰ)依題意知,直線的方程為:.點(diǎn)是線段的中點(diǎn),且⊥,∴是線段的垂直平分線.…………………….2分
∴是點(diǎn)到直線的距離.
∵點(diǎn)在線段的垂直平分線,∴.…………4分
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為:.…………………………………………………….7分
(Ⅱ) 設(shè),,直線AB的方程為
…………………………………………………….8分
則
(1)―(2)得,即,……………………………………9分
代入方程,解得.
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為.……………………………………10分
同理可得:的坐標(biāo)為.
直線的斜率為,方程為
,整理得,………………12分
顯然,不論為何值,均滿足方程,
所以直線恒過(guò)定點(diǎn).………………14
20. (本題滿分14分)
.解:
故,.……………………………………1分
又因?yàn)?sub>
則,即.………………………3分
所以, ……………………………………4
(2)
= ……………………………………6
因?yàn)?sub>=
所以,當(dāng)時(shí), ……………………………7
當(dāng)時(shí),……….(1)
得……(2)
=
……………………………9
綜上所述: ……………………………10
(3)因?yàn)?sub>
又,易驗(yàn)證當(dāng),3時(shí)不等式不成立; ……………………………11
假設(shè),不等式成立,即
兩邊乘以3得:
又因?yàn)?sub>
所以
即時(shí)不等式成立.故不等式恒成立. ……………………………14
21. (本題滿分14分)
解:(Ⅰ)
…………………………
所以函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù). …………………………4分
(Ⅱ) 證明:據(jù)題意且x1<x2<x3,
由(Ⅰ)知f (x1)>f (x2)>f (x3), x2=…………………………6分
…………………8分
即ㄓ是鈍角三角形……………………………………..9分
(Ⅲ)假設(shè)ㄓ為等腰三角形,則只能是
即
① …………………………………………..12分
而事實(shí)上, ②
由于,故(2)式等號(hào)不成立.這與式矛盾. 所以ㄓ不可能為等腰三角形..14分
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