江蘇省姜堰中學(xué)高三年級2006年4月考數(shù)學(xué)試題

命題人:江蘇省姜堰中學(xué) 張圣官(225500)

 

本試卷分第Ⅰ(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分,考試時間120分鐘。

參考公式:

如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);

如果事件A、B相互獨(dú)立,那么P(A•B)=P(A)•P(B);

球的表面積公式S=,其中R表示球的半徑。

第Ⅰ卷(選擇題,共60分)

一、選擇題:本大題共10小題;每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.定義,若,,則(   )

A.{4,8}     B.{1,2,6,10}     C.{1}      D.{2,6,10}

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2.在的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是首項(xiàng)為-2,公差為3的等差數(shù)列的                  (    )

       A.第19項(xiàng)             B.第20項(xiàng)              C.第21項(xiàng)              D.第22項(xiàng)

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3.已知平面上直線L的方向向量=(-,),點(diǎn)O(0,0)和A(1,-2)在L上的射影分別是O1和A1,則=,其中=        (     )

A.       B.-       C.2         D.-2

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4.如果雙曲線上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離等于,那么點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離是                          (    )

       A.                    B.13                      C.5                        D.

 

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(A)0.6小時     (B)0.9小時      (C)1.0小時  (D)1.5小時

 

 

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6.把正方形ABCD沿對角線AC折起,當(dāng)A、B  C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時,直線BD與平面ABC所成的角的大小為                                                     (    )

       A.90°       B.60°        C.45°   D.30°

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7.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),的圖象

 

 

 

 

 

 

 

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8.某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽,其中一班有3位,二班有2位,其它班有5位,若采用抽簽的方式確定他們的演講順序,則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起(指演講序號相連),而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為     (  )

   A.                B.              C.              D.

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9.設(shè)是函數(shù)的反函數(shù),若,則的值為(    )

      A.1                         B.2                       C.3                         D.

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10.如圖,將正三角形以平行于一邊的直線為折痕,折成直二面角后,頂點(diǎn)轉(zhuǎn)到,當(dāng)取得最小值時,將邊截成的兩段之比為(    )

A.1:1     B.2:1     C.2:3      D.1:3

(非選擇題,共90分)

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二、填空題:本大題共6小題;每小題5分,共30分.把答案填在題中橫線上.

11.設(shè)滿足約束條件:

      

則的最大值是             

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12.直角坐標(biāo)平面內(nèi),我們把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn),F(xiàn)有一系列頂點(diǎn)都為整點(diǎn)的等腰直角三角形,其中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)在軸正半軸上,則第個等腰直角三角形內(nèi)(不包括邊界)整點(diǎn)的個數(shù)為 _________ 。

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13.密碼的使用對現(xiàn)代社會是極其重要的。有一種密碼其明文和密文的字母按A、B、C…與26個自然數(shù)1,2,3,…依次對應(yīng)。設(shè)明文的字母對應(yīng)的自然數(shù)為,譯為密文的字母對應(yīng)的自然數(shù)為。例如,有一種譯碼方法是按照以下的對應(yīng)法則實(shí)現(xiàn)的:,其中是被26除所得的余數(shù)與1之和()。按照此對應(yīng)法則,明文A譯為了密文F,那么密文UI譯成明文為_____________。

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14.設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn),且橢圓上至少有21個不同的點(diǎn)Pii=1,2,3,…),

使|FP1|,|FP2|,|FP3|,…組成公差為d的等差數(shù)列,則d的取值范圍為             。

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15.已知矩形的邊平面現(xiàn)有以下五個數(shù)據(jù):

當(dāng)在邊上存在點(diǎn),使時,則可以取_____________(填上一個正確的數(shù)據(jù)序號即可)。

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16. 如圖,小正六邊形沿著大正六邊形的邊,按順時針方向滾動.小正六邊形的邊長是大正六邊形邊長的一半,如果小正六邊形沿著大正六邊形的邊滾動一周后返回出發(fā)時的位置,在這個過程中向量圍繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了角,其中為小正六邊形的中心,則            .

 

 

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三、解答題:本大題5小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分12分)

  設(shè)函數(shù)的最大值為M,最小正周期為T。

(1)求M、T;

(2)若有10個互不相等的正實(shí)數(shù)滿足,且,試求的值。

 

 

 

 

 

 

 

 

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18.(本小題滿分14分)

行駛中的汽車,在剎車時由于慣性的作用,要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下,這段距離稱為剎車距離。在某種路面上,某種型號汽車的剎車距離(米)與汽車車速(千米/小時)滿足下列關(guān)系式(為常數(shù),),我們做過兩次剎車試驗(yàn),有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示,其中。

(1)       求的值;

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(2)要使剎車距離不超過12.6米,則行駛的最大速度應(yīng)為多少?

 

 

 

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19.(本小題滿分14分)

如圖,直三棱柱中,,,為棱的中點(diǎn).

(Ⅰ)求異面直線與所成的角;

(Ⅱ)求證:平面平面.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20. (本小題滿分14分)

已知向量且.

 (1)求點(diǎn)Q的軌跡C的方程;

 (2)設(shè)曲線C與直線相交于不同的兩點(diǎn)M、N,又點(diǎn)A(0,-1),當(dāng) 時,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

 

 

 

 

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21.(本小題滿分16分)

已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,且當(dāng)時,取得極值。

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若點(diǎn),是函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn),且。求證:過A點(diǎn)的切線不可能與過B點(diǎn)的切線垂直;

(Ⅲ)若不等的,且,求證:。

 

 

 

 

06年數(shù)學(xué)4月考試題參考解答

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一、選擇題:每小題5分,滿分50分。

1.D 根據(jù)可得{2,6,10}。

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2.B 系數(shù)為,是等差數(shù)列的第20項(xiàng)。

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3.D 直線OA與L的夾角為arctan,可得|O1A1|=2,注意到方向相反,故選(D)。

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4.C 根據(jù)雙曲線的第二定義,先算出離心率即可。

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6.C 三棱錐體積最大時,平面BAC與平面DAC垂直,直線BD與平面ABC所成的角的大小為45°。

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7.C 通過觀察導(dǎo)函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn),0和2是極大值和極小值點(diǎn),故得f(x)圖象為(C)。

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8.D 根據(jù)等可能性事件的概率公式 。

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9. B  ,則題設(shè)轉(zhuǎn)化為a+b=3,故結(jié)果是f(3)=2 。

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10.A  過作,則為的中點(diǎn),設(shè)為的中點(diǎn),連結(jié),則當(dāng)最短時,即為所求.設(shè),則(設(shè)的邊長為1),時,最小,此時,將邊截成的兩段之比為1:1.故選A.

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二、填空題:每小題5分,共30分。

11. 5  解法1因?yàn),所?nbsp;而如圖,,所以的最大值為5;

解法2: 由已知   ①   ②       

      ①×7+②×5得     即

解法3:待定系數(shù)法 令

           

解法4:分離參數(shù)法

 由 

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12.  的坐標(biāo)為,的坐標(biāo)為(2n,0),內(nèi)(不包括邊界)整點(diǎn)的個數(shù)為:0+1+…+(n-2)+(n-1)+(n-2)+…+1+0= 。

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13.FB  要得到象為UI,原象字母對應(yīng)數(shù)字x分別滿足被26除所得的余數(shù)為20和8,故x分別為6和2,因此密文UI譯成明文為FB 。

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14.   轉(zhuǎn)化為至少21個點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離成等差數(shù)列,而得結(jié)果。

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15.(1)或者(2) 要使得在邊上存在點(diǎn)使,也即是,只要是以AD為直徑的圓與BC邊相交或相切即可,故,(1)和(2)都適合,選其一。

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16.-1  從第一圖的開始位置變化到第二圖時,向量繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了(注意繞點(diǎn)是順時針方向旋轉(zhuǎn)),從第二圖位置變化到第三圖時,向量繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了,則從第一圖的位置變化到第三圖位置時,正好小正六邊形滾過大正六邊形的一條邊,向量繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了.則小正六邊形沿著大正六邊形的邊滾動一周后返回出發(fā)時的位置,向量繞點(diǎn)共旋轉(zhuǎn)了,即,因而.

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三、解答題

17.(本小題滿分12分)

解:    ………………(3分)

 (1) ;                    ………………(5分)

 (2)∵ , ∴

∴                      ………………(8分)

又,∴k=0,1,…,9,

∴ !(12分)

  點(diǎn)評:本題涉及到了三角公式的變形和三角函數(shù)的圖象的運(yùn)用,以及與數(shù)列等知識的結(jié)合考查,雖然小,但很巧。

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19.(本小題滿分14分)

解法一:

(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè),

則,

于是.

………………(3分)

,

異面直線與所成的角為.………………(8分)

(Ⅱ),

.  則.…………(11分)

平面.    又平面,

平面平面.               ………………(14分)

解法二:

(Ⅰ)連結(jié)交于點(diǎn),取中點(diǎn),連結(jié),則∥.

∴直線與所成的角就是異面直線與所成的角.……………(2分)

設(shè),

則 ,

.   

     .

中,,,

直三棱柱中,,則.

.   ………………(6分)

,

異面直線與所成的角為.………………(8分)

(Ⅱ)直三棱柱中,,平面.

 則.                        ………………(10分)

又,,,

則,   于是.

平面.   又平面,

平面平面.             ………………(14分)

點(diǎn)評:兩種思路,從兩個不同角度研究了直三棱柱背景下線面位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系。

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20.(本小題滿分14分)

解:(Ⅰ)

         得

       點(diǎn)的軌跡C的方程為………………(5分)

(Ⅱ)由得

由于直線與橢圓有兩個交點(diǎn),  ①………………(8分)

  (1)當(dāng),設(shè)P為弦MN的中點(diǎn),

從而

  又|AM|=|AN|,

則  即    ②

把②代入①得,解得;由②得,解得,

故所求m的取值范圍是(        ………………(11分)

  (2)當(dāng)時,|AM|=|AN|,

故所求m的取值范圍是(-1,1).       ………………(13分)

當(dāng)時,m的取值范圍是,當(dāng)時,m的取值范圍是(-1,1).…(14分)

點(diǎn)評:本題將向量知識與解析幾何糅合到一起,體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的交匯,反映出了近年來高考數(shù)學(xué)考查的方向和熱點(diǎn)。

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26.(本小題滿分16分)

解:(Ⅰ)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,

∴b=0,              ………………(2分)

∴,

由,且解得

∴,      ………………(6分)

(Ⅱ)過A、B的切線斜率分別是

若,則∴

由于(等號當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)至少一個為零時取得),

而(等號當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)一個為1另一個為-1時取得),

  故不可能相等,

∴過A點(diǎn)的切線不能與過B點(diǎn)的切線垂直!(10分)

(Ⅲ)解法一:當(dāng)時,切線斜率,∴,

   過、的割線的斜率的絕對值恰為,

故!(16分)

解法二:

   ∵,∴,

又因?yàn)椋?/p>

   ∴成立!(16分)

點(diǎn)評:本題將導(dǎo)數(shù)知識與曲線的切線等幾何因素以及不等式等相關(guān)知識有機(jī)地結(jié)合在一起,反映了高中數(shù)學(xué)的綜合性和交匯性,考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力。

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