廣東省2009屆高三數(shù)學(xué)模擬試題分類(lèi)匯總――立體幾何

一、選擇題

1、(2009揭陽(yáng))某師傅需用合板制作一個(gè)工作臺(tái),工作臺(tái)由主體和附屬兩部分組成,主體部分全封閉,附屬部分是為了防止工件滑出臺(tái)面而設(shè)置的三面護(hù)墻,其大致形狀的三視圖如右圖所示(單位長(zhǎng)度: cm), 則按圖中尺寸,做成的工作臺(tái)用去的合板的面積為(制作過(guò)程合板的損耗和合板厚度忽略不計(jì))( 。〥 w

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.w.w.k.s.5.u.c.o.m

 

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A.                  B  

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C.           D.

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2、(2009廣東五校)在下列關(guān)于直線、與平面、的命題中,真命題是(   )B

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(A)若,且,則                (B)若,且,則

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(C)若,且,則            (D)若,且,則

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3、(2009番禺)一個(gè)幾何體的三視圖如右圖,其中主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正三角形,那么這個(gè)幾何體的側(cè)面積為( 。〢

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   A.               B.           C.          D.

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4、(2009吳川)已知α、β是兩個(gè)不同平面,m、n是兩條不同直線,則下列命題不正確的是(    )D

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       A.                        B.mn,m⊥α,則n⊥α

       C.n∥α,n⊥β,則α⊥β       D.m∥β,mn,則n⊥β

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5、(2009北江中學(xué))如圖是一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖,如果主視圖、左視圖所對(duì)應(yīng)的三角形皆為邊長(zhǎng)為2的正三角形,主視圖對(duì)應(yīng)的四邊形為正方形,那么這個(gè)幾何體的體積為(  )B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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  A.     B.       C.      D.不確定

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6、(2009北江中學(xué))已知是兩個(gè)不同的平面,m,n是兩條不同的直線,給出下列命題:

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①若

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②若;

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③如果相交;

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④若

其中正確的命題是 (    ) D

       A.①②                               B.②③                C.③④               D.①④

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7、(2009珠海)已知某個(gè)幾何體的三視圖如下,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位:cm),可得這個(gè)幾何體的體積是( C  )

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A.           B.       

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C.        D.

 

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8、(2009潮州)設(shè)、是空間不同的直線或平面,對(duì)下列四種情形:

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、均為直線;② *是直線,是平面;③ 是直線,、是平面;④ 、均為平面。

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其中使“”為真命題的是 ( 。〤

     A ③ ④           B ① ③                       C ② ③                    D ① ②

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9、(2009澄海)設(shè)m,n是兩條不同的直線,,是三個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題:

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①若m⊥,n∥,則m⊥n;

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②若,,m⊥,則m⊥

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③若m∥,n∥,則m∥n;

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④若,則

其中正確命題的序號(hào)是( 。〢

A.①和②        B.②和③      C.③和④       D.①和④

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10、(2009韶關(guān)田家炳)設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中,其中正確的命題是(     )

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A.        B.

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C.         D.

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二、解答題

1、(2009廣雅期中)已知四棱錐的三視圖如下圖所示,是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn).

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(1) 求四棱錐的體積;

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(2) 是否不論點(diǎn)在何位置,都有?證明你的結(jié)論;

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(3) 若點(diǎn)的中點(diǎn),求二面角的大小.

 

 

 

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2、(2009廣雅期中)如圖,已知平面平面,△為等邊三角形,

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的中點(diǎn).

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(1) 求證:平面;

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(2) 求證:平面平面

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(3) 求直線和平面所成角的正弦值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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3、(09廣東四校理期末)如圖所示,在矩形ABCD中,AD=2AB=2,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),將△DEC沿CE折起到△D′EC的位置,使二面角DECB是直二面角.

    (1)證明:BEC D;

    (2)求二面角D―BCE的正切值.

                                      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4(09廣東四校文期末)如圖:直三棱柱ABC-A1B1C1中,  AC=BC=AA1=2,∠ACB=90°.E為BB1的中點(diǎn),D點(diǎn)在AB上且DE=.

(Ⅰ)求證:CD⊥平面A1ABB1;

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(Ⅱ)求三棱錐A1-CDE的體積.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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5、(09北江中學(xué)文期末)如圖,在底面是矩形的四棱錐中,,、為別為、

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的中點(diǎn),且,

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(Ⅰ)求四棱錐的體積;

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(Ⅱ)求證:直線∥平面

  

 

 

 

 

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6、(2009廣東東莞)在直三棱柱中,,,且異面直線所成的角等于,設(shè).

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(1)求的值;

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(2)求平面與平面所成的銳二面角的大小.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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7、(2009廣州海珠)如圖6,在直角梯形ABCP中,AP//BC,APAB,AB=BC=,D是AP的中點(diǎn),E,F(xiàn),G分別為PC、PD、CB的中點(diǎn),將沿CD折起,使得平面ABCD,如圖7.

(Ⅰ)求證:AP//平面EFG;

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 (Ⅱ) 求二面角的大小;

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(Ⅲ)求三棱椎的體積.

 

 

 

 

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8、(2009廣州(一))如圖,四棱錐中,平面,四邊形是矩形,分別是、的中點(diǎn).若

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(Ⅰ)求證:平面;

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(Ⅱ) 求點(diǎn)到平面的距離;

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(Ⅲ)求直線平面所成角的正弦值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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9、(2009廣東揭陽(yáng))如圖,已知是底面為正方形的長(zhǎng)方體,,,點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn).

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(1)試判斷不論點(diǎn)上的任何位置,是否都有平面

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垂直于平面?并證明你的結(jié)論;

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(2)當(dāng)的中點(diǎn)時(shí),求異面直線所成角的余弦值;

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(3)求與平面所成角的正切值的最大值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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10、(2009廣東潮州期末)如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,垂直于底面分別為的中點(diǎn)。                                       

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(1)求證:;(2)求與平面所成的角;(3)求截面的面積。

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11、(2009珠海期末)已知平面,,交于點(diǎn),,,

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(1)取中點(diǎn),求證:平面。

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(2)求二面角的余弦值。

 

 

 

 

 

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12、(2009中山期末)如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點(diǎn),

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       (I)求證:平面BCD;

       (II)求異面直線AB與CD所成角的余弦;

       (III)求點(diǎn)E到平面ACD的距離.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

答案:

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1、解:(1) 由三視圖可知,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,

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側(cè)棱底面,且.                             …………2分

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即四棱錐的體積為.                                …………4分

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(2) 不論點(diǎn)在何位置,都有.                              …………5分

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證明如下:連結(jié),∵是正方形,∴.           …………6分

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底面,且平面,∴.        …………7分

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又∵,∴平面.                         …………8分

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∵不論點(diǎn)在何位置,都有平面

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∴不論點(diǎn)在何位置,都有.                           …………9分

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(3) 解法1:在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn),連結(jié).

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,,

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∴Rt△≌Rt△

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從而△≌△,∴.

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為二面角的平面角.                              …………12分

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在Rt△中,

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,在△中,由余弦定理得

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,              …………13分

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,即二面角的大小為.           …………14分

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解法2:如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn),所在的直線分別為軸建立空間直角

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坐標(biāo)系. 則,從而

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,,. …………10分

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設(shè)平面和平面的法向量分別為

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,

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,取.      …………11分

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,取.  …………12分

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設(shè)二面角的平面角為,則,         …………13分

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  ∴,即二面角的大小為.        …………14分

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2、方法一:

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(1) 證法一:取的中點(diǎn),連.

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的中點(diǎn),∴. …………1分

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平面,平面

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,∴.                    …………2分

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,∴.                  …………3分

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∴四邊形為平行四邊形,則.    …………4分

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    ∵平面,平面,

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平面.                          …………5分

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證法二:取的中點(diǎn),連.

試題詳情

的中點(diǎn),∴.                     …………1分

試題詳情

平面平面,∴.             …………2分

試題詳情

,

試題詳情

∴四邊形為平行四邊形,則.                …………3分

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平面,平面,

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平面平面.

試題詳情

,∴平面平面.             …………4分

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    ∵平面,

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平面.                      …………5分

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(2) 證:∵為等邊三角形,的中點(diǎn),∴.      …………6分

試題詳情

平面,平面,∴.           …………7分

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,故平面.                   …………8分

試題詳情

,∴平面.                       …………9分

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平面,

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∴平面平面.                 …………10分(3)

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解:在平面內(nèi),過(guò),連.

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  ∵平面平面, ∴平面.

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和平面所成的角.                  …………12分

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設(shè),則

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,

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R t△中,.

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∴直線和平面所成角的正弦值為.                                                           …………14分

方法二:

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設(shè),建立如圖所示的坐標(biāo)系,則

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.…………2分

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的中點(diǎn),∴.                  …………3分

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 (1) 證:,        …………4分

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平面,∴平面.  …………5分

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 (2) 證:∵,         …………6分

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,∴.      …………8分

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平面,又平面,

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∴平面平面.                    …………10分

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 (3) 解:設(shè)平面的法向量為,由可得:

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     ,取.       …………12分

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     又,設(shè)和平面所成的角為,則

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    .

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∴直線和平面所成角的正弦值為.             …………14分

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3、解:(1)∵AD=2AB=2,E是AD的中點(diǎn),

       ∴△BAE,△CDE是等腰直角三角形,

易知, ∠BEC=90°,即BE⊥EC.

       又∵平面D′EC⊥平面BEC,面D′EC∩面BEC=EC,

       ∴BE⊥面D′EC,又C DÌ 面D′EC ,  ∴BE⊥CD′;

   (2)法一:設(shè)M是線段EC的中點(diǎn),過(guò)M作MF⊥BC

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       垂足為F,連接D′M,D′F,則D′M⊥EC.

       ∵平面D′EC⊥平面BEC,

       ∴D′M⊥平面EBC,

       ∴MF是D′F在平面BEC上的射影,由三垂線定理得:

         D′F⊥BC

       ∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.

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       在Rt△D′MF中,D′M=EC=,MF=AB=

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       ∴

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       即二面角D′―BC―E的正切值為.

       法二:如圖,以EB,EC為x軸、y軸,過(guò)E垂直于平面BEC的射線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.

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       則B(,0,0),C(0,,0),D′(0,

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       設(shè)平面BEC的法向量為;平面D′BC的法向量為

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        Þ tan= ∴二面角D′―BC―E的正切值為.

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4、解:(1)在Rt△DBE中,BE=1,DE=,∴BD=== AB,∴  則D為AB中點(diǎn),  而AC=BC, ∴CD⊥AB                                                             

 又∵三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱, ∴CD⊥AA1

 又 AA1∩AB=A 且 AA1、AB Ì 平面A1ABB1

 故 CD⊥平面A1ABB1                                                                                  6分

(2)解:∵A1ABB1為矩形,∴△A1AD,△DBE,△EB1A1都是直角三角形,

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∴  

       =2×2-××2-××1-×2×1=

∴   VA1CDE =VCA1DE = ×SA1DE ×CD= ××=1

∴   三棱錐A1-CDE的體積為1.                                                                 14分

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5、解:(1)取AD的中點(diǎn)O,連接EO,則EO是PAD的中位線,得EO∥PA,故EOABCD,

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EO是四棱錐的高,  6分

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(2)取PC的中點(diǎn)G,連EG,FG, 由中位線得EG∥CD,EG=CD=AF,  四邊形AFGE是平行四邊形,   6分

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6、解法一:(1)

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就是異面直線所成的角,

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,……(2分)

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連接,又,則

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為等邊三角形,……………………………4分

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,,

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;………6分

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(2)取的中點(diǎn),連接,過(guò),連接,

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,平面

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                             ………………8分

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,所以平面,即

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所以就是平面與平面所成的銳二面角的平面角。…………10分

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中,,,

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,…………………………13分

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因此平面與平面所成的銳二面角的大小為!14分

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說(shuō)明:取的中點(diǎn),連接,…………同樣給分(也給10分)

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解法二:(1)建立如圖坐標(biāo)系,于是,,

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, …………3分

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由于異面直線所成的角,

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所以的夾角為

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………6分

                                                          

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(2)設(shè)向量平面

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于是,即,             

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,,所以,不妨設(shè)……8分

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同理得,使平面,(10分)

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設(shè)的夾角為,所以依,

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,………………12分

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平面,平面,

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因此平面與平面所成的銳二面角的大小為!14分

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說(shuō)明:或者取的中點(diǎn),連接,于是顯然平面

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7、解:(Ⅰ) 證明:方法一)連AC,BD交于O點(diǎn),連GO,FO,EO.

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∵E,F分別為PC,PD的中點(diǎn),,同理,

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四邊形EFOG是平行四邊形,平面EFOG. ……3分

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又在三角形PAC中,E,O分別為PC,AC的中點(diǎn),PA//EO……4分

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平面EFOG,PA平面EFOG, ……5分

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PA//平面EFOG,即PA//平面EFG. ……6分

方法二) 連AC,BD交于O點(diǎn),連GO,FO,EO.

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∵E,F分別為PC,PD的中點(diǎn),,同理

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,

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平面EFG//平面PAB, ……4分

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又PA平面PAB,平面EFG. ……6分

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方法三)如圖以D為原點(diǎn),以

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為方向向量建立空間直角坐標(biāo)系.

則有關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)為:

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……2分

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設(shè)平面EFG的法向量為

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.……4分

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,……5分

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平面EFG. AP//平面EFG. ……6分

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(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形,又∵面ABCD

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平面PCD,向量是平面PCD的一個(gè)法向量,=……8分

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又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量為……9分

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……10分

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結(jié)合圖知二面角的平面角為……11分

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(Ⅲ) ……13分

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8、解法一:  (I)取PC的中點(diǎn)G,連結(jié)EG,FG,又由FPD中點(diǎn),

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則  F G .                   …2分

=

=

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    ∴四邊形AEGF是平行四邊形.

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   平面PCE,EG…………5分

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   (II)

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                                                                                                  …………3分

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              .                            …………5分

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   (III)由(II)知

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直線FC與平面PCE所成角的正弦值為.            …………4分

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解法二:如圖建立空間直角坐標(biāo)系

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A(0,0,0),P(0,0,3),D(0,3,0),E,0,0),F(0,,),

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       C,3,0)            ………2分

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   (I)取PC的中點(diǎn)G,連結(jié)EG,        則G

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          1. 試題詳情

            試題詳情

                          …………5分

            試題詳情

               (II)設(shè)平面PCE的法向量為

            試題詳情

                         

                                                             ………3分

            試題詳情

                         

            試題詳情

                                             …………5分

            試題詳情

               (III)

            試題詳情

                     ………2分

            試題詳情

                          直線FC與平面PCE所成角的正弦值為.           …………4分

            試題詳情

            9、解:(1)不論點(diǎn)上的任何位置,都有平面垂直于平面.---1分

            試題詳情

            證明如下:由題意知,,

            試題詳情

                平面

            試題詳情

            平面   平面平面.------------------4分

            試題詳情

            (2)解法一:過(guò)點(diǎn)P作,垂足為,連結(jié)(如圖),則,

            試題詳情

            是異面直線所成的角.----------------------6分

            試題詳情

            中 ∵   ∴

            試題詳情

            ,   ,      

            試題詳情

             

            試題詳情

            試題詳情

            中,

            試題詳情

            .----------8分

            試題詳情

            異面異面直線所成角的余弦值為.----------------9分

            試題詳情

            解法二:以為原點(diǎn),所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示,則,,,,,

            試題詳情

            -----6分

            試題詳情

            試題詳情

            ∴異面異面直線所成角的余弦值為.-----9分

            試題詳情

            (3)由(1)知,平面,

            試題詳情

            與平面所成的角,---------------------------10分

            試題詳情

            .------------------------------------11分

            試題詳情

            當(dāng)最小時(shí),最大,這時(shí),由--13分

            試題詳情

            ,即與平面所成角的正切值的最大值.---14分

            試題詳情

            10、(1)證明:因?yàn)?sub>的中點(diǎn),, 所以。  

                                                      

            試題詳情

            底面,得

            試題詳情

            ,即,

            試題詳情

             平面,所以 ,

            試題詳情

             平面,

            試題詳情

            。                           ………… 4分

            試題詳情

            (2)連結(jié)

            試題詳情

            因?yàn)?sub>平面,即平面,

            試題詳情

            所以與平面所成的角,

            試題詳情

            中,

            試題詳情

            中,,故,

            試題詳情

            中, ,

            試題詳情

            ,

            試題詳情

            與平面所成的角是。        …… 10分

            試題詳情

            (3)由分別為的中點(diǎn),得,且,

            試題詳情

            ,故,

            試題詳情

            由(1)得平面,又平面,故,

            試題詳情

            四邊形是直角梯形,

            試題詳情

            中,,,

            試題詳情

             截面的面積。  …… 14分

            試題詳情

            11、解法1:(1)聯(lián)結(jié),

            試題詳情

            ,,AC=AC

            試題詳情

            ,………………………………….2分

            試題詳情

            中點(diǎn),……………………………………..3分

            試題詳情

            中點(diǎn),

            試題詳情

            ,………………………………………….4分

            試題詳情

            平面…………………………………….5分

            試題詳情

            (2)聯(lián)結(jié)

            試題詳情

            ,

            試題詳情

            ∴在等邊三角形中,中線,…………6分

            試題詳情

            底面,    ∴,

            試題詳情

            ,………………………………….7分

            試題詳情

             ∴平面平面!.8分

            試題詳情

            過(guò),則平面,

            試題詳情

            中點(diǎn),聯(lián)結(jié),則等腰三角形中,,

            試題詳情

            ,∴平面,∴

            試題詳情

            是二面角的平面角……………….10分

            試題詳情

            等腰直角三角形中,,等邊三角形中,

            試題詳情

            ∴Rt中,,∴,…………12分

            試題詳情

            .

            試題詳情

            ∴二面角的余弦值為。……………….14分

              解法2:

            試題詳情

            分別為軸,為原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

            試題詳情

            試題詳情

            ,…………………………………2分

            試題詳情

            是等邊三角形,且中點(diǎn),

            試題詳情

            、、…………………………………………4分

            試題詳情

            (1)…………………5分

            試題詳情

            ,

            試題詳情

            ,∴平面………………….………7分

            試題詳情

            (2)設(shè)平面的法向量分別為,.………9分

            試題詳情

            的夾角的補(bǔ)角就是二面角的平面角;……………….………10分

            試題詳情

            ,,

            試題詳情

            ,,….………12分

            試題詳情

            ,

            試題詳情

            ∴二面角的余弦值為!.……………………………………………14分

            試題詳情

            12、解:方法一:

                   (I)證明:連結(jié)OC

            試題詳情

                   ………1分

            試題詳情

                  

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                   在中,由已知可得

            試題詳情

                   而   

            試題詳情

                   ……………3分

            試題詳情

                    又

            試題詳情

                  平面……………5分

            試題詳情

                   (II)解:取AC的中點(diǎn)M,連結(jié)OM、ME、OE,由E為BC的中點(diǎn)知

            試題詳情

                   直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角。……………6分

            試題詳情

                    在中,

            試題詳情

                   ……………7分

            試題詳情

                   是直角斜邊AC上的中線,

            試題詳情

                 ……………8分

            試題詳情

            試題詳情

                   異面直線AB與CD所成角大小的余弦為;……………9分

            試題詳情

                   (III)解:設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為

            試題詳情

                          ……………11分

            試題詳情

            中,

            試題詳情

                     ……………12分

            試題詳情

            ……………13分

            試題詳情

                      點(diǎn)E到平面ACD的距離為………14分

                   方法二:

                   (II)解:以O(shè)為原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

            試題詳情

                   (I)同方法一.……………5分

            ………………6分

            試題詳情

                   …………7分

            試題詳情

            ………9分

                  

            試題詳情

            異面直線AB與CD所成角大小的余弦為;……………10分

            試題詳情

                   (III)解:設(shè)平面ACD的法向量為則      

            試題詳情

            ……………11分      

            試題詳情

                   令是平面ACD的一個(gè)法向量.……………12分

            試題詳情

                   又 點(diǎn)E到平面ACD的距離

            試題詳情

            ……………14分

             

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