又.所以平面.即. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

如圖,三棱錐中,側(cè)面底面, ,且,.(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)若為側(cè)棱PB的中點(diǎn),求直線AE與底面所成角的正弦值.

【解析】第一問中,利用由知, ,

又AP=PC=2,所以AC=2,

又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,

又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,

平面ACP,所以第二問中結(jié)合取AC中點(diǎn)O,連接PO、OB,并取OB中點(diǎn)H,連接AH、EH,因?yàn)镻A=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易證平面ABC,又EH//PO,所以EH平面ABC ,

為直線AE與底面ABC 所成角,

 (Ⅰ) 證明:由用由知, ,

又AP=PC=2,所以AC=2,

又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,

又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,

平面ACP,所以

………………………………………………6分

(Ⅱ)如圖, 取AC中點(diǎn)O,連接PO、OB,并取OB中點(diǎn)H,連接AH、EH,

因?yàn)镻A=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易證平面ABC,

又EH//PO,所以EH平面ABC ,

為直線AE與底面ABC 所成角,

………………………………………10分

又PO=1/2AC=,也所以有EH=1/2PO=,

由(Ⅰ)已證平面PBC,所以,即,

,

于是

所以直線AE與底面ABC 所成角的正弦值為

 

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已知函數(shù).

(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性; 

(Ⅱ)設(shè),證明:對任意,.

    1.選修4-1:幾何證明選講

    如圖,的角平分線的延長線交它的外接圓于點(diǎn)

(Ⅰ)證明:∽△;

(Ⅱ)若的面積,求的大小.

證明:(Ⅰ)由已知條件,可得∠BAE=∠CAD.

因?yàn)椤?i>AEB與∠ACB是同弧上的圓周角,所以∠AEB=∠ACD.

故△ABE∽△ADC.

(Ⅱ)因?yàn)椤?i>ABE∽△ADC,所以,即AB·ACAD·AE.

SAB·ACsin∠BAC,且SAD·AE,故AB·ACsin∠BACAD·AE.

則sin∠BAC=1,又∠BAC為三角形內(nèi)角,所以∠BAC=90°.

 

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如圖6,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.

(Ⅰ)證明:BD⊥PC;

(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直線PD與平面PAC所成的角為30°,求四棱錐P-ABCD的體積.

【解析】(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912413079631221/SYS201207091242012651351203_ST.files/image002.png">

是平面PAC內(nèi)的兩條相較直線,所以BD平面PAC,

平面PAC,所以.

(Ⅱ)設(shè)AC和BD相交于點(diǎn)O,連接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC,

所以是直線PD和平面PAC所成的角,從而.

由BD平面PAC,平面PAC,知.在中,由,得PD=2OD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形,,所以均為等腰直角三角形,從而梯形ABCD的高為于是梯形ABCD面積

在等腰三角形AOD中,

所以

故四棱錐的體積為.

【點(diǎn)評】本題考查空間直線垂直關(guān)系的證明,考查空間角的應(yīng)用,及幾何體體積計算.第一問只要證明BD平面PAC即可,第二問由(Ⅰ)知,BD平面PAC,所以是直線PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面積和棱錐的高,由算得體積

 

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在四棱錐中,平面,底面為矩形,.

(Ⅰ)當(dāng)時,求證:;

(Ⅱ)若邊上有且只有一個點(diǎn),使得,求此時二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時,底面ABCD為正方形,

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,………………2分

,得證。

第二問,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》

要使,只要

所以,即………6分

由此可知時,存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點(diǎn)Q,使得

由此知道a=2,  設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解:(Ⅰ)當(dāng)時,底面ABCD為正方形,

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,………………3分

(Ⅱ) 因?yàn)锳B,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系,如圖所示,

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要

所以,即………6分

由此可知時,存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點(diǎn)Q,使得由此知道a=2,

設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

 

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如圖,已知直線)與拋物線和圓都相切,的焦點(diǎn).

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)設(shè)上的一動點(diǎn),以為切點(diǎn)作拋物線的切線,直線軸于點(diǎn),以、為鄰邊作平行四邊形,證明:點(diǎn)在一條定直線上;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,記點(diǎn)所在的定直線為,    直線軸交點(diǎn)為,連接交拋物線、兩點(diǎn),求△的面積的取值范圍.

【解析】第一問中利用圓的圓心為,半徑.由題設(shè)圓心到直線的距離.  

,解得舍去)

設(shè)與拋物線的相切點(diǎn)為,又,得,.     

代入直線方程得:,∴    所以,

第二問中,由(Ⅰ)知拋物線方程為,焦點(diǎn).   ………………(2分)

設(shè),由(Ⅰ)知以為切點(diǎn)的切線的方程為.   

,得切線軸的點(diǎn)坐標(biāo)為    所以,,    ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911460473385651/SYS201207091146532963151648_ST.files/image007.png">是定點(diǎn),所以點(diǎn)在定直線

第三問中,設(shè)直線,代入結(jié)合韋達(dá)定理得到。

解:(Ⅰ)由已知,圓的圓心為,半徑.由題設(shè)圓心到直線的距離.  

,解得舍去).     …………………(2分)

設(shè)與拋物線的相切點(diǎn)為,又,得,.     

代入直線方程得:,∴    所以,.      ……(2分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知拋物線方程為,焦點(diǎn).   ………………(2分)

設(shè),由(Ⅰ)知以為切點(diǎn)的切線的方程為.   

,得切線軸的點(diǎn)坐標(biāo)為    所以,,    ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形,

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911460473385651/SYS201207091146532963151648_ST.files/image007.png">是定點(diǎn),所以點(diǎn)在定直線上.…(2分)

(Ⅲ)設(shè)直線,代入,  ……)得,                 ……………………………     (2分)

,

的面積范圍是

 

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