3.圓錐曲線的統(tǒng)一定義

平面內(nèi)的動點P(x,y)到一個定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之比是一個常數(shù)e(e＞0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線.

其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù)e稱為離心率.

當(dāng)0＜e＜1時，軌跡為橢圓

當(dāng)e=1時，軌跡為拋物線

當(dāng)e＞1時，軌跡為雙曲線

2.點與曲線的關(guān)系　 若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點P₀(x₀,y₀)在曲線C上f(x₀,y₀)=0；

點P₀(x₀,y₀)不在曲線C上f(x₀,y₀)≠0兩條曲線的交點　 若曲線C₁，C₂的方程分別為f₁(x,y)=0,f₂(x,y)=0,則點P₀(x₀,y₀)是C₁，C₂的交點

方程組有n個不同的實數(shù)解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數(shù)解，曲線就沒有交點.

1.方程的曲線

在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡 )上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：

(1)曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；

(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.

9．設(shè)曲線C的方程是y＝x³-x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動t,s單 位長度后得曲線C₁.

　(1)寫出曲線C₁的方程；

　(2)證明曲線C與C₁關(guān)于點A()對稱；

(3)如果曲線C與C1有且僅有一個公共點，證明s＝且t≠0.

§7.4軌跡問題

5． 如圖，過拋物線y²=4x的頂點O作任意兩條互相垂直的弦OM、ON，求(1)MN與x軸交點的坐標(biāo)；(2)求MN中點的軌跡方程.

4． 設(shè)過原點的直線l與拋物線y²=4(x－1)交于A、B兩點，且以AB為直徑的圓恰好過拋物線的焦點F，

　　 (1)求直線l的方程；

　　 (2)求|AB|的長.

3．

試求m的取值范圍.

2.直線m：y=kx+1和雙曲線x²－y²=1的左支交于A、B兩點，直線l過點P(－2，0)和線段AB的中點，則直線l在y軸上的截距b的取值范圍為　　　　　　

1．頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線被直線l：y=2x+1截得的弦長為，則拋物線方程為　　　　　

[例1]求過點的直線，使它與拋物線僅有一個交點.

錯解： 設(shè)所求的過點的直線為，則它與拋物線的交點為

，消去得整理得　

直線與拋物線僅有一個交點，解得所求直線為

正解： �、佼�(dāng)所求直線斜率不存在時，即直線垂直軸，因為過點，所以即軸，它正好與拋物線相切.②當(dāng)所求直線斜率為零時，直線為y = 1平行軸，它正好與拋物線只有一個交點.③一般地，設(shè)所求的過點的直線為,則，

令解得k = ,∴ 所求直線為

綜上，滿足條件的直線為：

[例2]已知曲線C：與直線L：僅有一個公共點，求m的范圍.

錯解：曲線C：可化為①，聯(lián)立，得：

，由Δ＝0,得.

錯因：方程①與原方程并不等價，應(yīng)加上.

正解：原方程的對應(yīng)曲線應(yīng)為橢圓的上半部分.(如圖)，結(jié)合圖形易求得m的范圍為.

注意：在將方程變形時應(yīng)時時注意范圍的變化，這樣才不會出錯.

[例3]已知雙曲線，過P(1,1)能否作一條直線L與雙曲線交于A、B兩點，且P為AB中點.

錯解：(1)過點P且與x軸垂直的直線顯然不符合要求.

(2)設(shè)過P的直線方程為，代入并整理得：

∴，又∵ ∴

解之得：k=2，故直線方程為：y=2x-1,即直線是存在的.

正解：接以上過程，考慮隱含條件“Δ>0”，當(dāng)k=2時代入方程可知Δ<0，故這樣的直線不存在.

[例4]已知A、B是圓與x軸的兩個交點，CD是垂直于AB的動弦，直線AC和DB相交于點P，問是否存在兩個定點E、F, 使 | | PE |－| PF | | 為定值？若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解：由已知得 A (－1, 0 )、B ( 1, 0 ),

　 設(shè) P ( x, y ),　 C ( ) ,　 則 D (),

　 由A、C、P三點共線得　 　�、�

　 由D、B、P三點共線得　 　　②

①×② 得　 　　　　　�、�

又 ,　 ∴，　 代入③得 ，

即點P在雙曲線上， 故由雙曲線定義知，存在兩個定點E (－, 0 )、

F (, 0 )(即此雙曲線的焦點)，使 | | PE |－| PF | | = 2　 (即此雙曲線的實軸長為定值).

[例5]已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1 與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，｜PQ｜=，求橢圓的方程.

解：設(shè)所求橢圓的方程為=1.

　依題意知，點P、Q的坐標(biāo)滿足方程組：

　將②代入①，整理得

　　　 ，　　　　　　　　　 ③

設(shè)方程③的兩個根分別為、，則直線y=x+1和橢圓的交點為

P(,+1)，Q(,+1)

　由題設(shè)OP⊥OQ，｜OP｜=，可得

　整理得

　解這個方程組，得

　 或 　

　根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由③式得

　　 (1)　 或　 (2)

　解方程組(1)、(2)得

　　 　 或

　故所求橢圓方程為

　=1 ，　 或 =1.

[例6]已知橢圓C₁：＝1，拋物線C₂：，且C₁、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點。(1)當(dāng)AB⊥軸時，求、的值，并判斷拋物線C₂的焦點是否在直線AB上；(2)若＝，且拋物線C₂的焦點在直線AB上，求的值及直線AB的方程.

解：(1)當(dāng)AB⊥軸時，點A、B關(guān)于軸對稱，所以＝0，直線AB的方程為＝1，

　從而點A的坐標(biāo)為(1，)或(1，－)，

　因為點A在拋物線上，所以，＝.

　此時，拋物線C₂的焦點坐標(biāo)為(，0)，該焦點不在直線AB上.

　(2)當(dāng)拋物線C₂的焦點在直線AB上時，由(1)知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為　.

　由消去得　�、�

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為　()、().

則，是方程①的兩根，+＝.

因為AB既是過C₁的右焦點的弦，又是C₂的焦點的弦，

所以｜AB｜＝(2－)+(2－)＝4－，且

｜AB｜＝()+()＝＝.

從而＝4－

所以，即

解得.

因為C₂的焦點F^、()在直線上，所以，

即

當(dāng)時直線AB的方程為；

當(dāng)時直線AB的方程為.