3.平面內(nèi)有兩定點(diǎn)上，求一點(diǎn)P使取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值.

2．已知點(diǎn)(-2，3)與拋物線y²=2px(p＞0)的焦點(diǎn) 的距離是5，則p=　　　　　　 .

1. 設(shè)雙曲線兩焦點(diǎn)為F₁、F₂,點(diǎn)Q為雙曲線上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),過(guò)F₁作∠F₁QF₂的平分線的垂線,垂足為P,則點(diǎn)P的軌跡是　(　　　 )

A.橢圓的一部分　 B.雙曲線的一部分

C.拋物線的一部分　 D.圓的一部分.

[例1]設(shè)雙曲線的漸近線為：，求其離心率.

錯(cuò)解：由雙曲線的漸近線為：，可得：，從而

剖析：由雙曲線的漸近線為是不能確定焦點(diǎn)的位置在x軸上的，當(dāng)焦點(diǎn)的位置在y軸上時(shí)，，故本題應(yīng)有兩解，即：

或.

［例2］設(shè)點(diǎn)P(x,y)在橢圓上，求的最大、最小值.

錯(cuò)解：因 ∴，得：，同理得：，故　 ∴最大、最小值分別為3,-3.

剖析：本題中x、y除了分別滿(mǎn)足以上條件外，還受制約條件的約束.當(dāng)x=1時(shí),y此時(shí)取不到最大值2,故x+y的最大值不為3.其實(shí)本題只需令，則，故其最大值為，最小值為.

［例3］已知雙曲線的右準(zhǔn)線為，右焦點(diǎn),離心率,求雙曲線方程.

錯(cuò)解一： 故所求的雙曲線方程為

錯(cuò)解二： 　由焦點(diǎn)知

故所求的雙曲線方程為

錯(cuò)因：　這兩個(gè)解法都是誤認(rèn)為雙曲線的中心在原點(diǎn)，而題中并沒(méi)有告訴中心在原點(diǎn)這個(gè)條件。由于判斷錯(cuò)誤，而造成解法錯(cuò)誤。隨意增加、遺漏題設(shè)條件，都會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤解法.

解法一： 　設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線的右準(zhǔn)線為，右焦點(diǎn)，離心率，由雙曲線的定義知　 整理得

解法二： 依題意，設(shè)雙曲線的中心為,

則　　 　解得　 ,所以　

故所求雙曲線方程為　

［例4］設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率，已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程.

錯(cuò)解：依題意可設(shè)橢圓方程為

則　　 ，

所以　　 ，即　

設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，

則　　

所以當(dāng)時(shí)，有最大值，從而也有最大值。

所以　　 ，由此解得：

于是所求橢圓的方程為

錯(cuò)因：盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯(cuò)誤的。結(jié)果正確只是碰巧而已。由當(dāng)時(shí)，有最大值，這步推理是錯(cuò)誤的，沒(méi)有考慮到的取值范圍.事實(shí)上，由于點(diǎn)在橢圓上，所以有，因此在求的最大值時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論.

正解：若，則當(dāng)時(shí)，(從而)有最大值.

于是從而解得.

所以必有，此時(shí)當(dāng)時(shí)，(從而)有最大值，

所以，解得

于是所求橢圓的方程為

［例5］從橢圓,(>b>0)上一點(diǎn)M向x軸所作垂線恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F₁，A、B分別是橢圓長(zhǎng)、短軸的端點(diǎn)，AB∥OM.設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)QF₂⊥AB時(shí)，延長(zhǎng)QF₂與橢圓交于另一點(diǎn)P，若⊿F₁PQ的面積為20，求此時(shí)橢圓的方程.

解：本題可用待定系數(shù)法求解.

∵b=c, =c，可設(shè)橢圓方程為.

∵PQ⊥AB,∴k_PQ=-，則PQ的方程為y=(x-c)，

代入橢圓方程整理得5x²-8cx+2c²=0，

根據(jù)弦長(zhǎng)公式，得,

又點(diǎn)F₁到PQ的距離d=c

∴ ,由

故所求橢圓方程為.

［例6］已知橢圓：，過(guò)左焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng).

解：a=3,b=1,c=2;　 則F(-2，0)

由題意知：與聯(lián)立消去y得：

設(shè)A(、B(，則是上面方程的二實(shí)根，由違達(dá)定理，

，又因?yàn)锳、B、F都是直線上的點(diǎn)，

所以|AB|=

點(diǎn)評(píng)：也可利用“焦半徑”公式計(jì)算.

［例7］(06年全國(guó)理科)設(shè)P是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，Q為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求｜PQ｜的最大值.

解： 依題意可設(shè)P(0,1)，Q()，則｜PQ｜＝，又因?yàn)镼在橢圓上，所以，，｜PQ｜²＝＝

＝.

因?yàn)?sub>≤1，＞1，若≥，則≤1，當(dāng)時(shí)，｜PQ｜取最大值；若1＜＜，則當(dāng)時(shí)，｜PQ｜取最大值2.

［例8］已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)F(2，0)作斜率為的直線，交雙曲線于M、N 兩點(diǎn)，且=4，求雙曲線方程.

解：設(shè)所求雙曲線方程為，由右焦點(diǎn)為(2，0).知C=2，b²=4-²

則雙曲線方程為，設(shè)直線MN的方程為：，代入雙曲線方程整理得：(20-8²)x²+12²x+5⁴-32²=0

　設(shè)M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)_,則， .

解得　，.

故所求雙曲線方程為：.

點(diǎn)評(píng)：利用待定系數(shù)法求曲線方程，運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系將兩根之和與積整體代入，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體思想，也簡(jiǎn)化了計(jì)算，要求學(xué)生熟練掌握.

19.拋物線的焦半徑公式：

拋物線，

拋物線，

拋物線，

拋物線，

4．拋物線的幾何性質(zhì)

(1)范圍

因?yàn)閜＞0，由方程可知，這條拋物線上的點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)滿(mǎn)足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸．

(2)對(duì)稱(chēng)性

以－y代y，方程不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，我們把拋物線的對(duì)稱(chēng)軸叫做拋物線的軸．

(3)頂點(diǎn)

拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)．在方程中，當(dāng)y=0時(shí)，x=0，因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)．

(4)離心率

拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示．由拋物線的定義可知，e=1．

3．共軛雙曲線

以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，這樣得到的雙曲線稱(chēng)為原雙曲線的共軛雙曲線.　 雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上. 確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)?1.

2．共漸近線的雙曲線系

如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或?qū)懗?sub> .

橢圓、雙曲線、拋物線同屬于圓錐曲線，它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程以及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)都存在著相似之處，也有著一定的區(qū)別,因此，要準(zhǔn)確地理解和掌握三種曲線的特點(diǎn)以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系

1．等軸雙曲線

定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線.　 等軸雙曲線的性質(zhì)：(1)漸近線方程為：；(2)漸近線互相垂直；(3)離心率.

13. 拋物線定義：

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線. 定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.