在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量

a

=(x，y-4)，

b

=(kx，y+4)（k∈R），

a

⊥

b

，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡為T．
（1）求軌跡T的方程，并說(shuō)明該方程表示的曲線的形狀；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，已知O（0，0）、E（2，1），試探究是否存在這樣的點(diǎn)Q：Q是軌跡T內(nèi)部
的整點(diǎn)（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)），且△OEQ的面積S_△OEQ=2？
若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F、T、M、P滿足

OF

=(1，0)，

OT

=(-1，t)，

FM

=

MT

，

PM

⊥

FT

，

PT

∥

OF

．
（Ⅰ）當(dāng)t變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)F的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求證：直線TA、TF、TB的斜率依次成等差數(shù)列．

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（2，1），B（-1，1），若點(diǎn)P滿足

OP

=α•

OA

+β•

OB

，其中α，β∈R且2α²+β²=

2

3

． 
1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程.2）設(shè)D（0，2），過(guò)D的直線L與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，且M點(diǎn)在D，N之間，設(shè)

DM

=λ

DN

，求λ的取值范圍．

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)A（1，0），B（0，-2），點(diǎn)C滿足

OC

=(m

OA

+n

OB

)，其中m，n∈R且m-2n=1．
（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0且a≠b）交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求證：

1

a2

-

1

b2

為定值；
（3）在（2）的條件下，若雙曲線的離心率不大于

3

，求雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍．

在平面直角坐標(biāo)系中，已知焦距為4的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，橢圓C的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作一條垂直于x軸的直線與橢圓相交于R、S，若線段RS的長(zhǎng)為

10

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)Q（t，m）是直線x=9上的點(diǎn)，直線QA、QB與橢圓C分別交于點(diǎn)M、N，求證：直線MN
必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）實(shí)際上，第（2）小題的結(jié)論可以推廣到任意的橢圓、雙曲線以及拋物線，請(qǐng)你對(duì)拋物線y²=2px（p＞0）寫出一個(gè)更一般的結(jié)論，并加以證明．