0  1262  1270  1276  1280  1286  1288  1292  1298  1300  1306  1312  1316  1318  1322  1328  1330  1336  1340  1342  1346  1348  1352  1354  1356  1357  1358  1360  1361  1362  1364  1366  1370  1372  1376  1378  1382  1388  1390  1396  1400  1402  1406  1412  1418  1420  1426  1430  1432  1438  1442  1448  1456  3002 

絕密★啟用前                                                        試卷類型:A

2009年山東省濱州市高考模擬考試

                    理科綜合試題                2009.3

     本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分,共14頁。滿分240分。考試用時150分鐘?荚嚱Y(jié)束后,將答題紙和答題卡一并交回。答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目填涂在答題紙和答題卡規(guī)定的位置。

第I卷(必做題  共88分)

注意事項(xiàng):

    1.每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號。不涂在答題卡上,只答在試卷上不得分。

2.第I卷共22小題,每小題4分,共88分。

以下數(shù)據(jù)可供答題時參考:

相對原子質(zhì)量:H:1  C:12  O:16  Na:23   AI:27   CI:35.5  Fe:56   Cu:64

試題詳情

2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)十八

難點(diǎn)18  不等式的證明策略

不等式的證明,方法靈活多樣,它可以和很多內(nèi)容結(jié)合.高考解答題中,常滲透不等式證明的內(nèi)容,純不等式的證明,歷來是高中數(shù)學(xué)中的一個難點(diǎn),本難點(diǎn)著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力,邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.

●難點(diǎn)磁場

(★★★★)已知a>0,b>0,且a+b=1.

求證:(a+6ec8aac122bd4f6e)(b+6ec8aac122bd4f6e)≥6ec8aac122bd4f6e.

●案例探究

[例1]證明不等式6ec8aac122bd4f6e(nN*)

命題意圖:本題是一道考查數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明的綜合性題目,考查學(xué)生觀察能力、構(gòu)造能力以及邏輯分析能力,屬★★★★★級題目.

知識依托:本題是一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題,首先想到應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法,另外還涉及不等式證明中的放縮法、構(gòu)造法等.

錯解分析:此題易出現(xiàn)下列放縮錯誤:

6ec8aac122bd4f6e

這樣只注重形式的統(tǒng)一,而忽略大小關(guān)系的錯誤也是經(jīng)常發(fā)生的.

技巧與方法:本題證法一采用數(shù)學(xué)歸納法從n=kn=k+1的過渡采用了放縮法;證法二先放縮,后裂項(xiàng),有的放矢,直達(dá)目標(biāo);而證法三運(yùn)用函數(shù)思想,借助單調(diào)性,獨(dú)具匠心,發(fā)人深省.

證法一:(1)當(dāng)n等于1時,不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立;

(2)假設(shè)n=k(k≥1)時,不等式成立,即1+6ec8aac122bd4f6e<26ec8aac122bd4f6e,

6ec8aac122bd4f6e

∴當(dāng)n=k+1時,不等式成立.

綜合(1)、(2)得:當(dāng)nN*時,都有1+6ec8aac122bd4f6e<26ec8aac122bd4f6e.

另從kk+1時的證明還有下列證法:

6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

證法二:對任意kN*,都有:

6ec8aac122bd4f6e

證法三:設(shè)f(n)=6ec8aac122bd4f6e

那么對任意kN?* 都有:

6ec8aac122bd4f6e

f(k+1)>f(k)

因此,對任意nN* 都有f(n)>f(n-1)>…>f(1)=1>0,

6ec8aac122bd4f6e

[例2]求使6ec8aac122bd4f6ea6ec8aac122bd4f6e(x>0,y>0)恒成立的a的最小值.

命題意圖:本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學(xué)生邏輯分析能力,屬于★★★★★級題目.

知識依托:該題實(shí)質(zhì)是給定條件求最值的題目,所求a的最值蘊(yùn)含于恒成立的不等式中,因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a呈現(xiàn)出來,等價轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口,然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值.

錯解分析:本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍,此時我們習(xí)慣是將x、y與cosθ、sinθ來對應(yīng)進(jìn)行換元,即令6ec8aac122bd4f6e=cosθ,6ec8aac122bd4f6e=sinθ(0<θ6ec8aac122bd4f6e),這樣也得a≥sinθ+cosθ,但是這種換元是錯誤的.其原因是:(1)縮小了x、y的范圍;(2)這樣換元相當(dāng)于本題又增加了“x、y=1”這樣一個條件,顯然這是不對的.

技巧與方法:除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外,解法二的方法也很典型,即若參數(shù)a滿足不等關(guān)系,af(x),則amin=f(x)max;若 af(x),則amax=f(x)min,利用這一基本事實(shí),可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問題.還有三角換元法求最值用的恰當(dāng)好處,可以把原問題轉(zhuǎn)化.

解法一:由于a的值為正數(shù),將已知不等式兩邊平方,得:

x+y+26ec8aac122bd4f6ea2(x+y),即26ec8aac122bd4f6e≤(a2-1)(x+y),                                                     ①

x,y>0,∴x+y≥26ec8aac122bd4f6e,                                                                                  ②

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,②中有等號成立.

比較①、②得a的最小值滿足a2-1=1,

a2=2,a=6ec8aac122bd4f6e (因a>0),∴a的最小值是6ec8aac122bd4f6e.

解法二:設(shè)6ec8aac122bd4f6e.

x>0,y>0,∴x+y≥26ec8aac122bd4f6e (當(dāng)x=y時“=”成立),

6ec8aac122bd4f6e≤1,6ec8aac122bd4f6e的最大值是1.

從而可知,u的最大值為6ec8aac122bd4f6e,

又由已知,得au,∴a的最小值為6ec8aac122bd4f6e.

解法三:∵y>0,

∴原不等式可化為6ec8aac122bd4f6e+1≤a6ec8aac122bd4f6e,

設(shè)6ec8aac122bd4f6e=tanθ,θ∈(0,6ec8aac122bd4f6e).

∴tanθ+1≤a6ec8aac122bd4f6e;即tanθ+1≤asecθ

a≥sinθ+cosθ=6ec8aac122bd4f6esin(θ+6ec8aac122bd4f6e),                                                                        ③

又∵sin(θ+6ec8aac122bd4f6e)的最大值為1(此時θ=6ec8aac122bd4f6e).

由③式可知a的最小值為6ec8aac122bd4f6e.

●錦囊妙計(jì)

1.不等式證明常用的方法有:比較法、綜合法和分析法,它們是證明不等式的最基本的方法.

(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟,變形的主要方向是因式分解、配方,判斷過程必須詳細(xì)敘述;如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式,則考慮用判別式法證.

(2)綜合法是由因?qū)Ч治龇ㄊ菆?zhí)果索因,兩法相互轉(zhuǎn)換,互相滲透,互為前提,充分運(yùn)用這一辯證關(guān)系,可以增加解題思路,開擴(kuò)視野.

2.不等式證明還有一些常用的方法:換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等.換元法主要有三角代換,均值代換兩種,在應(yīng)用換元法時,要注意代換的等價性.放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一,放縮要有的放矢,目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考查.有些不等式,從正面證如果不易說清楚,可以考慮反證法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題,適宜用反證法.

證明不等式時,要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系,選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法,要熟悉各種證法中的推理思維,并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點(diǎn).

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

試題詳情

2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)十七

難點(diǎn)17  三角形中的三角函數(shù)式

三角形中的三角函數(shù)關(guān)系是歷年高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一,本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、余弦定理,掌握解斜三角形的方法和技巧.

●難點(diǎn)磁場

(★★★★★)已知△ABC的三個內(nèi)角AB、C滿足A+C=2B.6ec8aac122bd4f6e,求cos6ec8aac122bd4f6e的值.

●案例探究

6ec8aac122bd4f6e[例1]在海島A上有一座海拔1千米的山,山頂設(shè)有一個觀察站P,上午11時,測得一輪船在島北30°東,俯角為60°的B處,到11時10分又測得該船在島北60°西、俯角為30°的C處。

(1)求船的航行速度是每小時多少千米;

(2)又經(jīng)過一段時間后,船到達(dá)海島的正西方向的D處,問此時船距島A有多遠(yuǎn)?

命題意圖:本題主要考查三角形基礎(chǔ)知識,以及學(xué)生的識圖能力和綜合運(yùn)用三角知識解決實(shí)際問題的能力.

知識依托:主要利用三角形的三角關(guān)系,關(guān)鍵找準(zhǔn)方位角,合理利用邊角關(guān)系.

錯解分析:考生對方位角識別不準(zhǔn),計(jì)算易出錯.

技巧與方法:主要依據(jù)三角形中的邊角關(guān)系并且運(yùn)用正弦定理來解決問題.

解:(1)在Rt△PAB中,∠APB=60° PA=1,∴AB=6ec8aac122bd4f6e (千米)

在Rt△PAC中,∠APC=30°,∴AC=6ec8aac122bd4f6e (千米)

在△ACB中,∠CAB=30°+60°=90°

6ec8aac122bd4f6e

(2)∠DAC=90°-60°=30°

sinDCA=sin(180°-∠ACB)=sinACB=6ec8aac122bd4f6e

sinCDA=sin(∠ACB-30°)=sinACB?cos30°-cosACB?sin30°6ec8aac122bd4f6e.

6ec8aac122bd4f6e

在△ACD中,據(jù)正弦定理得6ec8aac122bd4f6e,

6ec8aac122bd4f6e

答:此時船距島A6ec8aac122bd4f6e千米.

[例2]已知△ABC的三內(nèi)角AB、C滿足A+C=2B,設(shè)x=cos6ec8aac122bd4f6e,f(x)=cosB(6ec8aac122bd4f6e).

(1)試求函數(shù)f(x)的解析式及其定義域;

(2)判斷其單調(diào)性,并加以證明;

(3)求這個函數(shù)的值域.

命題意圖:本題主要考查考生運(yùn)用三角知識解決綜合問題的能力,并且考查考生對基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用的程度和考生的運(yùn)算能力,屬★★★★級題目.

知識依托:主要依據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)公式和性質(zhì)以及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去解決問題.

錯解分析:考生對三角函數(shù)中有關(guān)公式的靈活運(yùn)用是難點(diǎn),并且不易想到運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性去求函數(shù)的值域問題.

技巧與方法:本題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)公式求出f(x)的解析式,公式主要是和差化積和積化和差公式.在求定義域時要注意|6ec8aac122bd4f6e|的范圍.

解:(1)∵A+C=2B,∴B=60°,A+C=120°

6ec8aac122bd4f6e

∵0°≤|6ec8aac122bd4f6e|<60°,∴x=cos6ec8aac122bd4f6e∈(6ec8aac122bd4f6e,16ec8aac122bd4f6e

又4x2-3≠0,∴x6ec8aac122bd4f6e,∴定義域?yàn)?6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e)∪(6ec8aac122bd4f6e,1].

(2)設(shè)x1x2,∴f(x2)-f(x1)=6ec8aac122bd4f6e

=6ec8aac122bd4f6e,若x1,x2∈(6ec8aac122bd4f6e),則4x12-3<0,4x22-3<0,4x1x2+3>0,x1x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0

f(x2)<f(x1),若x1,x2∈(6ec8aac122bd4f6e,1],則4x12-3>0.

4x22-3>0,4x1x2+3>0,x1x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0.

f(x2)<f(x1),∴f(x)在(6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e)和(6ec8aac122bd4f6e,16ec8aac122bd4f6e上都是減函數(shù).

(3)由(2)知,f(x)<f(6ec8aac122bd4f6e)=-6ec8aac122bd4f6ef(x)≥f(1)=2.

f(x)的值域?yàn)?-∞,-6ec8aac122bd4f6e)∪[2,+∞6ec8aac122bd4f6e.

●錦囊妙計(jì)

本難點(diǎn)所涉及的問題以及解決的方法主要有:

(1)運(yùn)用方程觀點(diǎn)結(jié)合恒等變形方法巧解三角形;

(2)熟練地進(jìn)行邊角和已知關(guān)系式的等價轉(zhuǎn)化;

(3)能熟練運(yùn)用三角形基礎(chǔ)知識,正、余弦定理及面積公式與三角函數(shù)公式配合,通過等價轉(zhuǎn)化或構(gòu)建方程解答三角形的綜合問題,注意隱含條件的挖掘.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

試題詳情

2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)十六

難點(diǎn)16  三角函數(shù)式的化簡與求值

三角函數(shù)式的化簡和求值是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)使考生掌握化簡和求值問題的解題規(guī)律和途徑,特別是要掌握化簡和求值的一些常規(guī)技巧,以優(yōu)化我們的解題效果,做到事半功倍.

●難點(diǎn)磁場

(★★★★★)已知6ec8aac122bd4f6eβα6ec8aac122bd4f6e,cos(αβ)=6ec8aac122bd4f6e,sin(α+β)=-6ec8aac122bd4f6e,求sin2α的值_________.

●案例探究

[例1]不查表求sin220°+cos280°+6ec8aac122bd4f6ecos20°cos80°的值.

命題意圖:本題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法,對計(jì)算能力的要求較高.屬于★★★★級題目.

知識依托:熟知三角公式并能靈活應(yīng)用.

錯解分析:公式不熟,計(jì)算易出錯.

技巧與方法:解法一利用三角公式進(jìn)行等價變形;解法二轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,使解法更簡單更精妙,需認(rèn)真體會.

解法一:sin220°+cos280°+6ec8aac122bd4f6esin220°cos80°

=6ec8aac122bd4f6e (1-cos40°)+6ec8aac122bd4f6e (1+cos160°)+ 6ec8aac122bd4f6esin20°cos80°

=1-6ec8aac122bd4f6ecos40°+6ec8aac122bd4f6ecos160°+6ec8aac122bd4f6esin20°cos(60°+20°)

=1-6ec8aac122bd4f6ecos40°+6ec8aac122bd4f6e (cos120°cos40°-sin120°sin40°)+6ec8aac122bd4f6esin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°)

=1-6ec8aac122bd4f6ecos40°-6ec8aac122bd4f6ecos40°-6ec8aac122bd4f6esin40°+6ec8aac122bd4f6esin40°-6ec8aac122bd4f6esin220°

=1-6ec8aac122bd4f6ecos40°-6ec8aac122bd4f6e(1-cos40°)= 6ec8aac122bd4f6e

解法二:設(shè)x=sin220°+cos280°+6ec8aac122bd4f6esin20°cos80°

y=cos220°+sin280°-6ec8aac122bd4f6ecos20°sin80°,則

x+y=1+1-6ec8aac122bd4f6esin60°=6ec8aac122bd4f6e,xy=-cos40°+cos160°+6ec8aac122bd4f6esin100°

=-2sin100°sin60°+6ec8aac122bd4f6esin100°=0

x=y=6ec8aac122bd4f6e,即x=sin220°+cos280°+6ec8aac122bd4f6esin20°cos80°=6ec8aac122bd4f6e.

[例2]設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值為f(a),試確定滿足f(a)=6ec8aac122bd4f6ea值,并對此時的a值求y的最大值.

命題意圖:本題主要考查最值問題、三角函數(shù)的有界性、計(jì)算能力以及較強(qiáng)的邏輯思維能力.屬★★★★★級題目

知識依托:二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.

錯解分析:考生不易考查三角函數(shù)的有界性,對區(qū)間的分類易出錯.

技巧與方法:利用等價轉(zhuǎn)化把問題化歸為二次函數(shù)問題,還要用到配方法、數(shù)形結(jié)合、分類講座等.

解:由y=2(cosx6ec8aac122bd4f6e)26ec8aac122bd4f6e及cosx∈[-1,1]得:

f(a)6ec8aac122bd4f6e

f(a)=6ec8aac122bd4f6e,∴1-4a=6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6ea=6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e[2,+∞6ec8aac122bd4f6e

故-6ec8aac122bd4f6e2a-1=6ec8aac122bd4f6e,解得:a=-1,此時,

y=2(cosx+6ec8aac122bd4f6e)2+6ec8aac122bd4f6e,當(dāng)cosx=1時,即x=2kπ,kZymax=5.

[例3]已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+6ec8aac122bd4f6e)-6ec8aac122bd4f6esin2x+sinxcosx

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)的最小值及取得最小值時相應(yīng)的x的值;

(3)若當(dāng)x∈[6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e]時,f(x)的反函數(shù)為f1(x),求f-1(1)的值.

命題意圖:本題主要考查三角公式、周期、最值、反函數(shù)等知識,還考查計(jì)算變形能力,綜合運(yùn)用知識的能力,屬★★★★★級題目.

知識依托:熟知三角函數(shù)公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)、反函數(shù)等知識.

錯解分析:在求f-1(1)的值時易走彎路.

技巧與方法:等價轉(zhuǎn)化,逆向思維.

解:(1)f(x)=2cosxsin(x+6ec8aac122bd4f6e)-6ec8aac122bd4f6esin2x+sinxcosx

=2cosx(sinxcos6ec8aac122bd4f6e+cosxsin6ec8aac122bd4f6e)-6ec8aac122bd4f6esin2x+sinxcosx

=2sinxcosx+6ec8aac122bd4f6ecos2x=2sin(2x+6ec8aac122bd4f6e)

f(x)的最小正周期T=π

(2)當(dāng)2x+6ec8aac122bd4f6e=2kπ6ec8aac122bd4f6e,即x=kπ6ec8aac122bd4f6e (kZ)時,f(x)取得最小值-2.

(3)令2sin(2x+6ec8aac122bd4f6e)=1,又x∈[6ec8aac122bd4f6e],

∴2x+6ec8aac122bd4f6e∈[6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e],∴2x+6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e,則

x=6ec8aac122bd4f6e,故f-1(1)= 6ec8aac122bd4f6e.

●錦囊妙計(jì)

本難點(diǎn)所涉及的問題以及解決的方法主要有:

1.求值問題的基本類型:1°給角求值,2°給值求值,3°給式求值,4°求函數(shù)式的最值或值域,5°化簡求值.

2.技巧與方法:

1°要尋求角與角關(guān)系的特殊性,化非特角為特殊角,熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式.

2°注意切割化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運(yùn)用.

3°對于條件求值問題,要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系,尋找解題的突破口,很難入手的問題,可利用分析法.

4°求最值問題,常用配方法、換元法來解決.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

試題詳情

2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)十五

難點(diǎn)15  三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考的熱點(diǎn),在復(fù)習(xí)時要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,把圖象和性質(zhì)結(jié)合起來.本節(jié)主要幫助考生掌握圖象和性質(zhì)并會靈活運(yùn)用.

●難點(diǎn)磁場

(★★★★)已知α、β為銳角,且x(α+β6ec8aac122bd4f6e)>0,試證不等式f(x)=6ec8aac122bd4f6ex<2對一切非零實(shí)數(shù)都成立.

●案例探究

[例1]設(shè)z1=m+(2-m2)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θR,已知z1=2z2,求λ的取值范圍.

命題意圖:本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì),考查考生的綜合分析問題的能力和等價轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,屬★★★★★級題目.

知識依托:主要依據(jù)等價轉(zhuǎn)化的思想和二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題來解決.

錯解分析:考生不易運(yùn)用等價轉(zhuǎn)化的思想方法來解決問題.

技巧與方法:對于解法一,主要運(yùn)用消參和分離變量的方法把所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題;對于解法二,主要運(yùn)用三角函數(shù)的平方關(guān)系把所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.

解法一:∵z1=2z2,

m+(2-m2)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴6ec8aac122bd4f6e

λ=1-2cos2θ-sinθ=2sin2θ-sinθ-1=2(sinθ6ec8aac122bd4f6e)26ec8aac122bd4f6e.

當(dāng)sinθ=6ec8aac122bd4f6eλ取最小值-6ec8aac122bd4f6e,當(dāng)sinθ=-1時,λ取最大值2.

解法二:∵z1=2z2  ∴6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e,

6ec8aac122bd4f6e=1.

m4-(3-4λ)m2+4λ2-8λ=0,設(shè)t=m2,則0≤t≤4,

f(t)=t2-(3-4λ)t+4λ2-8λ,則6ec8aac122bd4f6ef(0)?f(4)≤0

6ec8aac122bd4f6e

∴-6ec8aac122bd4f6eλ≤0或0≤λ≤2.

λ的取值范圍是[-6ec8aac122bd4f6e,2].

6ec8aac122bd4f6e[例2]如右圖,一滑雪運(yùn)動員自h=50m高處A點(diǎn)滑至O點(diǎn),由于運(yùn)動員的技巧(不計(jì)阻力),在O點(diǎn)保持速率v0不為,并以傾角θ起跳,落至B點(diǎn),令OB=L,試問,α=30°時,L的最大值為多少?當(dāng)L取最大值時,θ為多大?

命題意圖:本題是一道綜合性題目,主要考查考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來解決物理問題的能力.屬★★★★★級題目.

知識依托:主要依據(jù)三角函數(shù)知識來解決實(shí)際問題.

錯解分析:考生不易運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識來解決物理問題,知識的遷移能力不夠靈活.

技巧與方法:首先運(yùn)用物理學(xué)知識得出目標(biāo)函數(shù),其次運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)知識來解決實(shí)際問題.

解:由已知條件列出從O點(diǎn)飛出后的運(yùn)動方程:

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

由①②整理得:v0cosθ=6ec8aac122bd4f6e

v02+gLsinα=6ec8aac122bd4f6eg2t2+6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e=gL

運(yùn)動員從A點(diǎn)滑至O點(diǎn),機(jī)械守恒有:mgh=6ec8aac122bd4f6emv02,

v02=2gh,∴L6ec8aac122bd4f6e=200(m)

Lmax=200(m),又6ec8aac122bd4f6eg2t2=6ec8aac122bd4f6e.

6ec8aac122bd4f6e

得cosθ=cosα,∴θ=α=30°∴L最大值為200米,當(dāng)L最大時,起跳仰角為30°.

[例3]如下圖,某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b.

(1)求這段時間的最大溫差.

(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式.

6ec8aac122bd4f6e

命題意圖:本題以應(yīng)用題的形式考查備考中的熱點(diǎn)題型,要求考生把所學(xué)的三角函數(shù)知識與實(shí)際問題結(jié)合起來分析、思考,充分體現(xiàn)了“以能力立意”的命題原則.屬★★★★級題目.

知識依托:依據(jù)圖象正確寫出解析式.

錯解分析:不易準(zhǔn)確判斷所給圖象所屬的三角函數(shù)式的各個特定系數(shù)和字母.

技巧與方法:數(shù)形結(jié)合的思想,以及運(yùn)用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式.

解:(1)由圖示,這段時間的最大溫差是30-10=20(℃);

(2)圖中從6時到14時的圖象是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的半個周期的圖象.

6ec8aac122bd4f6e=14-6,解得ω=6ec8aac122bd4f6e,由圖示A=6ec8aac122bd4f6e(30-10)=10,b=6ec8aac122bd4f6e(30+10)=20,這時y=10sin(6ec8aac122bd4f6ex+φ)+20,將x=6,y=10代入上式可取φ=6ec8aac122bd4f6eπ.綜上所求的解析式為y=10sin(6ec8aac122bd4f6ex+

6ec8aac122bd4f6eπ)+20,x∈[6,14].

●錦囊妙計(jì)

本難點(diǎn)所涉及的問題及解決的方法主要有:

1.考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)題目,此類題目要求考生在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上要對三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運(yùn)用.

2.三角函數(shù)與其他知識相結(jié)合的綜合題目,此類題目要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和邏輯思維能力.在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點(diǎn)和重點(diǎn),并可以逐漸加強(qiáng).

3.三角函數(shù)與實(shí)際問題的綜合應(yīng)用.

此類題目要求考生具有較強(qiáng)的知識遷移能力和數(shù)學(xué)建模能力,要注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

試題詳情

2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)十四

難點(diǎn)14  數(shù)列綜合應(yīng)用問題

縱觀近幾年的高考,在解答題中,有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高,不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系,而且還與三角、立體幾何密切相關(guān);數(shù)列作為特殊的函數(shù),在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用,如增長率,減薄率,銀行信貸,濃度匹配,養(yǎng)老保險,圓鋼堆壘等問題.這就要求同學(xué)們除熟練運(yùn)用有關(guān)概念式外,還要善于觀察題設(shè)的特征,聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識和方法,迅速確定解題的方向,以提高解數(shù)列題的速度.

●難點(diǎn)磁場

(★★★★★)已知二次函數(shù)y=f(x)在x=6ec8aac122bd4f6e處取得最小值-6ec8aac122bd4f6e (t>0),f(1)=0.

(1)求y=f(x)的表達(dá)式;

(2)若任意實(shí)數(shù)x都滿足等式f(x)?g(x)+anx+bn=xn+1g(x)]為多項(xiàng)式,nN*),試用t表示anbn;

(3)設(shè)圓Cn的方程為(xan)2+(ybn)2=rn2,圓CnCn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列,記Sn為前n個圓的面積之和,求rn、Sn.

●案例探究

[例1]從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā),某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè),并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè),根據(jù)規(guī)劃,本年度投入800萬元,以后每年投入將比上年減少6ec8aac122bd4f6e,本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元,由于該項(xiàng)建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用,預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加6ec8aac122bd4f6e.

(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元,旅游業(yè)總收入為bn萬元,寫出an,bn的表達(dá)式;

(2)至少經(jīng)過幾年,旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?

命題意圖:本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識;考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力,本題有很強(qiáng)的區(qū)分度,屬于應(yīng)用題型,正是近幾年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型,屬★★★★★級題目.

知識依托:本題以函數(shù)思想為指導(dǎo),以數(shù)列知識為工具,涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識點(diǎn).

錯解分析:(1)問an、bn實(shí)際上是兩個數(shù)列的前n項(xiàng)和,易與“通項(xiàng)”混淆;(2)問是既解一元二次不等式又解指數(shù)不等式,易出現(xiàn)偏差.

技巧與方法:正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系,建立數(shù)量模型是本題的靈魂,(2)問中指數(shù)不等式采用了換元法,是解不等式常用的技巧.

解:(1)第1年投入為800萬元,第2年投入為800×(1-6ec8aac122bd4f6e)萬元,…第n年投入為800×(1-6ec8aac122bd4f6e)n1萬元,所以,n年內(nèi)的總投入為

an=800+800×(1-6ec8aac122bd4f6e)+…+800×(1-6ec8aac122bd4f6e)n1=6ec8aac122bd4f6e800×(1-6ec8aac122bd4f6e)k1

=4000×[1-(6ec8aac122bd4f6e)n

第1年旅游業(yè)收入為400萬元,第2年旅游業(yè)收入為400×(1+6ec8aac122bd4f6e),…,第n年旅游業(yè)收入400×(1+6ec8aac122bd4f6e)n1萬元.所以,n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為

bn=400+400×(1+6ec8aac122bd4f6e)+…+400×(1+6ec8aac122bd4f6e)k1=6ec8aac122bd4f6e400×(6ec8aac122bd4f6e)k1.

=1600×[(6ec8aac122bd4f6e)n-1]

(2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入,由此bnan>0,即:

1600×[(6ec8aac122bd4f6e)n-1]-4000×[1-(6ec8aac122bd4f6e)n]>0,令x=(6ec8aac122bd4f6e)n,代入上式得:5x2-7x+2>0.解此不等式,得x6ec8aac122bd4f6e,或x>1(舍去).即(6ec8aac122bd4f6e)n6ec8aac122bd4f6e,由此得n≥5.

∴至少經(jīng)過5年,旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.

[例2]已知Sn=1+6ec8aac122bd4f6e+…+6ec8aac122bd4f6e,(nN*)設(shè)f(n)=S2n+1Sn+1,試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍,使得對于一切大于1的自然數(shù)n,不等式:f(n)>[logm(m-1)]26ec8aac122bd4f6e[log(m1)m2恒成立.

命題意圖:本題主要考查應(yīng)用函數(shù)思想解決不等式、數(shù)列等問題,需較強(qiáng)的綜合分析問題、解決問題的能力.屬★★★★★級題目.

知識依托:本題把函數(shù)、不等式恒成立等問題組合在一起,構(gòu)思巧妙.

錯解分析:本題學(xué)生很容易求f(n)的和,但由于無法求和,故對不等式難以處理.

技巧與方法:解決本題的關(guān)鍵是把f(n)(nN*)看作是n的函數(shù),此時不等式的恒成立就轉(zhuǎn)化為:函數(shù)f(n)的最小值大于[logm(m-1)]26ec8aac122bd4f6e[log(m1)m2.

解:∵Sn=1+6ec8aac122bd4f6e+…+6ec8aac122bd4f6e.(nN*)

6ec8aac122bd4f6e

f(n+1)>f(n)

f(n)是關(guān)于n的增函數(shù)

f(n) min=f(2)=6ec8aac122bd4f6e

∴要使一切大于1的自然數(shù)n,不等式

f(n)>[logm(m-1)]26ec8aac122bd4f6e[log(m1)m2恒成立

只要6ec8aac122bd4f6e>[logm(m-1)]26ec8aac122bd4f6e[log(m1)m2成立即可

6ec8aac122bd4f6em>1且m≠2

此時設(shè)[logm(m-1)]2=t  則t>0

于是6ec8aac122bd4f6e解得0<t<1

 由此得0<[logm(m-1)]2<1

 解得m6ec8aac122bd4f6em≠2.

●錦囊妙計(jì)

1.解答數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題既要有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識,又要有良好的思維能力和分析、解決問題的能力;解答應(yīng)用性問題,應(yīng)充分運(yùn)用觀察、歸納、猜想的手段,建立出有關(guān)等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型,再綜合其他相關(guān)知識來解決問題.

2.縱觀近幾年高考應(yīng)用題看,解決一個應(yīng)用題,重點(diǎn)過三關(guān):

(1)事理關(guān):需要讀懂題意,明確問題的實(shí)際背景,即需要一定的閱讀能力.

(2)文理關(guān):需將實(shí)際問題的文字語言轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)的符號語言,用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系.

(3)事理關(guān):在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中;要求考生對數(shù)學(xué)知識的檢索能力,認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,完成用實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化.構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型后,要正確得到問題的解,還需要比較扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和較強(qiáng)的數(shù)理能力.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

試題詳情

2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)十三

難點(diǎn)13  數(shù)列的通項(xiàng)與求和

數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸,數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可以看作項(xiàng)數(shù)n的函數(shù),是函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用.數(shù)列以通項(xiàng)為綱,數(shù)列的問題,最終歸結(jié)為對數(shù)列通項(xiàng)的研究,而數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn可視為數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)。通項(xiàng)及求和是數(shù)列中最基本也是最重要的問題之一,與數(shù)列極限及數(shù)學(xué)歸納法有著密切的聯(lián)系,是高考對數(shù)列問題考查中的熱點(diǎn),本點(diǎn)的動態(tài)函數(shù)觀點(diǎn)解決有關(guān)問題,為其提供行之有效的方法.

●難點(diǎn)磁場

(★★★★★)設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,并且對于所有的自然數(shù)n,an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng).

(1)寫出數(shù)列{an}的前3項(xiàng).

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(寫出推證過程)

(3)令bn=6ec8aac122bd4f6e(nN*),求6ec8aac122bd4f6e (b1+b2+b3+…+bnn).

●案例探究

[例1]已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是公比為q的(qRq≠1)的等比數(shù)列,若函數(shù)f(x)=(x-1)2,且a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q+1),b3=f(q-1),

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn,對一切nN*,都有6ec8aac122bd4f6e=an+1成立,求6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e.

命題意圖:本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的極限,以及運(yùn)算能力和綜合分析問題的能力.屬★★★★★級題目.

知識依托:本題利用函數(shù)思想把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為方程問題非常明顯,而(2)中條件等式的左邊可視為某數(shù)列前n項(xiàng)和,實(shí)質(zhì)上是該數(shù)列前n項(xiàng)和與數(shù)列{an}的關(guān)系,借助通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解cn是該條件轉(zhuǎn)化的突破口.

錯解分析:本題兩問環(huán)環(huán)相扣,(1)問是基礎(chǔ),但解方程求基本量a1、b1、dq,計(jì)算不準(zhǔn)易出錯;(2)問中對條件的正確認(rèn)識和轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.

技巧與方法:本題(1)問運(yùn)用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為方程問題,思路較為自然,(2)問“借雞生蛋”構(gòu)造新數(shù)列{dn},運(yùn)用和與通項(xiàng)的關(guān)系求出dn,絲絲入扣.

解:(1)∵a1=f(d-1)=(d-2)2,a3=f(d+1)=d2,

a3a1=d2-(d-2)2=2d

d=2,∴an=a1+(n-1)d=2(n-1);又b1=f(q+1)=q2,b3=f(q-1)=(q-2)2,

6ec8aac122bd4f6e=q2,由qR,且q≠1,得q=-2,

bn=b?qn1=4?(-2)n1

(2)令6ec8aac122bd4f6e=dn,則d1+d2+…+dn=an+1,(nN*),

dn=an+1an=2,

6ec8aac122bd4f6e=2,即cn=2?bn=8?(-2)n1;∴Sn=6ec8aac122bd4f6e[1-(-2)n].

6ec8aac122bd4f6e

[例2]設(shè)An為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,An=6ec8aac122bd4f6e (an-1),數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=4n+3;

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)把數(shù)列{an}與{bn}的公共項(xiàng)按從小到大的順序排成一個新的數(shù)列,證明:數(shù)列{dn}的通項(xiàng)公式為dn=32n+1;

(3)設(shè)數(shù)列{dn}的第n項(xiàng)是數(shù)列{bn}中的第r項(xiàng),Br為數(shù)列{bn}的前r項(xiàng)的和;Dn為數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和,Tn=BrDn,求6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e.

命題意圖:本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式及其相互關(guān)系;集合的相關(guān)概念,數(shù)列極限,以及邏輯推理能力.

知識依托:利用項(xiàng)與和的關(guān)系求an是本題的先決;(2)問中探尋{an}與{bn}的相通之處,須借助于二項(xiàng)式定理;而(3)問中利用求和公式求和則是最基本的知識點(diǎn).

錯解分析:待證通項(xiàng)dn=32n+1an的共同點(diǎn)易被忽視而寸步難行;注意不到rn的關(guān)系,使Tn中既含有n,又含有r,會使所求的極限模糊不清.

技巧與方法:(1)問中項(xiàng)與和的關(guān)系為常規(guī)方法,(2)問中把3拆解為4-1,再利用二項(xiàng)式定理,尋找數(shù)列通項(xiàng)在形式上相通之處堪稱妙筆;(3)問中挖掘出nr的關(guān)系,正確表示Br,問題便可迎刃而解.

解:(1)由An=6ec8aac122bd4f6e(an-1),可知An+1=6ec8aac122bd4f6e(an+1-1),

an+1an=6ec8aac122bd4f6e (an+1an),即6ec8aac122bd4f6e=3,而a1=A1=6ec8aac122bd4f6e (a1-1),得a1=3,所以數(shù)列是以3為首項(xiàng),公比為3的等比數(shù)列,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=3n.

(2)∵32n+1=3?32n=3?(4-1)2n=3?[42n+C6ec8aac122bd4f6e?42n1(-1)+…+C6ec8aac122bd4f6e?4?(-1)+(-1)2n]=4n+3,

∴32n+1∈{bn}.而數(shù)32n=(4-1)2n=42n+C6ec8aac122bd4f6e?42n1?(-1)+…+C6ec8aac122bd4f6e?4?(-1)+(-1)2n=(4k+1),

∴32n6ec8aac122bd4f6e{bn},而數(shù)列{an}={a2n+1}∪{a2n},∴dn=32n+1.

(3)由32n+1=4?r+3,可知r=6ec8aac122bd4f6e

Br=6ec8aac122bd4f6e,

6ec8aac122bd4f6e

●錦囊妙計(jì)

1.數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂,要注意辨析數(shù)列中的項(xiàng)與數(shù)集中元素的異同.因此在研究數(shù)列問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性,又要注意數(shù)列方法的特殊性.

2.數(shù)列{an}前n 項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式:an=6ec8aac122bd4f6e

3.求通項(xiàng)常用方法

①作新數(shù)列法.作等差數(shù)列與等比數(shù)列.

②累差疊加法.最基本形式是:an=(anan1+(an1+an2)+…+(a2a1)+a1.

③歸納、猜想法.

4.數(shù)列前n項(xiàng)和常用求法

①重要公式

1+2+…+n=6ec8aac122bd4f6en(n+1)

12+22+…+n2=6ec8aac122bd4f6en(n+1)(2n+1)

13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=6ec8aac122bd4f6en2(n+1)2

②等差數(shù)列中Sm+n=Sm+Sn+mnd,等比數(shù)列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.

③裂項(xiàng)求和:將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個式子的代數(shù)和,即an=f(n+1)-f(n),然后累加時抵消中間的許多項(xiàng).應(yīng)掌握以下常見的裂項(xiàng):

6ec8aac122bd4f6e

④錯項(xiàng)相消法

⑤并項(xiàng)求和法

數(shù)列通項(xiàng)與和的方法多種多樣,要視具體情形選用合適方法.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

試題詳情

2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)十二

難點(diǎn)12  等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)用

等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是等差、等比數(shù)列的概念,通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式的引申.應(yīng)用等差等比數(shù)列的性質(zhì)解題,往往可以回避求其首項(xiàng)和公差或公比,使問題得到整體地解決,能夠在運(yùn)算時達(dá)到運(yùn)算靈活,方便快捷的目的,故一直受到重視.高考中也一直重點(diǎn)考查這部分內(nèi)容.

●難點(diǎn)磁場

(★★★★★)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為30,前2m項(xiàng)的和為100,求它的前3m項(xiàng)的和為_________.

●案例探究

[例1]已知函數(shù)f(x)=6ec8aac122bd4f6e (x<-2).

(1)求f(x)的反函數(shù)f-1(x);

(2)設(shè)a1=1,6ec8aac122bd4f6e =-f-1(an)(nN*),求an;

(3)設(shè)Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1Sn是否存在最小正整數(shù)m,使得對任意nN*,有bn<6ec8aac122bd4f6e成立?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.

命題意圖:本題是一道與函數(shù)、數(shù)列有關(guān)的綜合性題目,著重考查學(xué)生的邏輯分析能力,屬★★★★★級題目.

知識依托:本題融合了反函數(shù),數(shù)列遞推公式,等差數(shù)列基本問題、數(shù)列的和、函數(shù)單調(diào)性等知識于一爐,結(jié)構(gòu)巧妙,形式新穎,是一道精致的綜合題.

錯解分析:本題首問考查反函數(shù),反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域,這是一個易錯點(diǎn),(2)問以數(shù)列{6ec8aac122bd4f6e}為橋梁求an,不易突破.

技巧與方法:(2)問由式子6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e=4,構(gòu)造等差數(shù)列{6ec8aac122bd4f6e},從而求得an,即“借雞生蛋”是求數(shù)列通項(xiàng)的常用技巧;(3)問運(yùn)用了函數(shù)的思想.

解:(1)設(shè)y=6ec8aac122bd4f6e,∵x<-2,∴x=-6ec8aac122bd4f6e,

y=f-1(x)=-6ec8aac122bd4f6e (x>0)

(2)∵6ec8aac122bd4f6e,

∴{6ec8aac122bd4f6e}是公差為4的等差數(shù)列,

a1=1, 6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e+4(n-1)=4n-3,∵an>0,∴an=6ec8aac122bd4f6e.

(3)bn=Sn+1Sn=an+12=6ec8aac122bd4f6e,由bn<6ec8aac122bd4f6e,得m>6ec8aac122bd4f6e,

設(shè)g(n)= 6ec8aac122bd4f6e,∵g(n)= 6ec8aac122bd4f6enN*上是減函數(shù),

g(n)的最大值是g(1)=5,∴m>5,存在最小正整數(shù)m=6,使對任意nN*bn<6ec8aac122bd4f6e成立.

[例2]設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),項(xiàng)數(shù)是偶數(shù),它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍,且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍,問數(shù)列{lgan}的前多少項(xiàng)和最大?(lg2=0.3,lg3=0.4)

命題意圖:本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)與對數(shù)運(yùn)算法則,等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的聯(lián)系以及運(yùn)算、分析能力.屬★★★★★級題目.

知識依托:本題須利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式合理轉(zhuǎn)化條件,求出an;進(jìn)而利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)明確數(shù)列{lgan}為等差數(shù)列,分析該數(shù)列項(xiàng)的分布規(guī)律從而得解.

錯解分析:題設(shè)條件中既有和的關(guān)系,又有項(xiàng)的關(guān)系,條件的正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵,計(jì)算易出錯;而對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)也是易混淆的地方.

技巧與方法:突破本題的關(guān)鍵在于明確等比數(shù)列各項(xiàng)的對數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,而等差數(shù)列中前n項(xiàng)和有最大值,一定是該數(shù)列中前面是正數(shù),后面是負(fù)數(shù),當(dāng)然各正數(shù)之和最大;另外,等差數(shù)列Snn的二次函數(shù),也可由函數(shù)解析式求最值.

解法一:設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,mN*,依題意有

6ec8aac122bd4f6e

化簡得6ec8aac122bd4f6e.

設(shè)數(shù)列{lgan}前n項(xiàng)和為Sn,則

Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn1=lga1n?q1+2++(n1)

=nlga1+6ec8aac122bd4f6en(n-1)?lgq=n(2lg2+lg3)-6ec8aac122bd4f6en(n-1)lg3

=(-6ec8aac122bd4f6e)?n2+(2lg2+6ec8aac122bd4f6elg3)?n

可見,當(dāng)n=6ec8aac122bd4f6e時,Sn最大.

6ec8aac122bd4f6e=5,故{lgan}的前5項(xiàng)和最大.

解法二:接前,6ec8aac122bd4f6e,于是lgan=lg[108(6ec8aac122bd4f6e)n1]=lg108+(n-1)lg6ec8aac122bd4f6e,

∴數(shù)列{lgan}是以lg108為首項(xiàng),以lg6ec8aac122bd4f6e為公差的等差數(shù)列,令lgan≥0,得2lg2-(n-4)lg3≥0,∴n6ec8aac122bd4f6e=5.5.

由于nN*,可見數(shù)列{lgan}的前5項(xiàng)和最大.

●錦囊妙計(jì)

1.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn),是解決等差、等比數(shù)列問題的既快捷又方便的工具,應(yīng)有意識去應(yīng)用.

2.在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件,有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形.

3.“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要,但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識”,“需要什么,就求什么”,既要充分合理地運(yùn)用條件,又要時刻注意題的目標(biāo),往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

試題詳情

2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)十一

難點(diǎn)11  函數(shù)中的綜合問題

函數(shù)綜合問題是歷年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容之一,一般難度較大,考查內(nèi)容和形式靈活多樣.本節(jié)課主要幫助考生在掌握有關(guān)函數(shù)知識的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化綜合運(yùn)用知識的能力,掌握基本解題技巧和方法,并培養(yǎng)考生的思維和創(chuàng)新能力.

●難點(diǎn)磁場

(★★★★★)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?b>R,對任意實(shí)數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),當(dāng)x>0時f(x)<0且f(3)=-4.

(1)求證:f(x)為奇函數(shù);

(2)在區(qū)間[-9,9]上,求f(x)的最值.

●案例探究

[例1]設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=1對稱,對任意x1x2∈[0,6ec8aac122bd4f6e],都有f(x1+x2)=f(x1)?f(x2),且f(1)=a>0.

(1)求f(6ec8aac122bd4f6e)、f(6ec8aac122bd4f6e);

(2)證明f(x)是周期函數(shù);

(3)記an=f(n+6ec8aac122bd4f6e),求6ec8aac122bd4f6e

命題意圖:本題主要考查函數(shù)概念,圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識,還考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力.

知識依托:認(rèn)真分析處理好各知識的相互聯(lián)系,抓住條件f(x1+x2)=f(x1)?f(x2)找到問題的突破口.

錯解分析:不會利用f(x1+x2)=f(x1)?f(x2)進(jìn)行合理變形.

技巧與方法:由f(x1+x2)=f(x1)?f(x2)變形為6ec8aac122bd4f6e是解決問題的關(guān)鍵.

(1)    解:因?yàn)閷?i>x1,x2∈[0,6ec8aac122bd4f6e],都有f(x1+x2)=f(x1)?f(x2),所以f(x)=6ec8aac122bd4f6e≥0,

x∈[0,1]

又因?yàn)?i>f(1)=f(6ec8aac122bd4f6e+6ec8aac122bd4f6e)=f(6ec8aac122bd4f6e)?f(6ec8aac122bd4f6e)=[f(6ec8aac122bd4f6e)]2

f(6ec8aac122bd4f6e)=f(6ec8aac122bd4f6e+6ec8aac122bd4f6e)=f(6ec8aac122bd4f6e)?f(6ec8aac122bd4f6e)=[f6ec8aac122bd4f6e)]2

f(1)=a>0

f(6ec8aac122bd4f6e)=a6ec8aac122bd4f6e,f(6ec8aac122bd4f6e)=a6ec8aac122bd4f6e

(2)證明:依題意設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對稱,故f(x)=f(1+1-x),即f(x)=f(2-x),xR.

又由f(x)是偶函數(shù)知f(-x)=f(x),xR

f(-x)=f(2-x),xR.

將上式中-xx代換得f(x)=f(x+2),這表明f(x)是R上的周期函數(shù),且2是它的一個

周期.

(3)解:由(1)知f(x)≥0,x∈[0,1]

f(6ec8aac122bd4f6e)=f(n?6ec8aac122bd4f6e)=f(6ec8aac122bd4f6e+(n-1) 6ec8aac122bd4f6e)=f(6ec8aac122bd4f6e)?f((n-1)?6ec8aac122bd4f6e)

=……

=f(6ec8aac122bd4f6e)?f(6ec8aac122bd4f6e)?……?f(6ec8aac122bd4f6e)

=[f(6ec8aac122bd4f6e)]n=a6ec8aac122bd4f6e

f(6ec8aac122bd4f6e)=a6ec8aac122bd4f6e.

又∵f(x)的一個周期是2

f(2n+6ec8aac122bd4f6e)=f(6ec8aac122bd4f6e),因此an=a6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

[例2]甲、乙兩地相距S千米,汽車從甲地勻速駛到乙地,速度不得超過c千米/小時,已知汽車每小時的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成,可變部分與速度v(km/h)的平方成正比,比例系數(shù)為b,固定部分為a元.

(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數(shù),并指出這個函數(shù)的定義域;

(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小,汽車應(yīng)以多大速度行駛?

命題意圖:本題考查建立函數(shù)的模型、不等式性質(zhì)、最值等知識,還考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.

知識依托:運(yùn)用建模、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法.

錯解分析:不會將實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化為具體的函數(shù)問題,易忽略對參變量的限制條件.

技巧與方法:四步法:(1)讀題;(2)建模;(3)求解;(4)評價.

解法一:(1)依題意知,汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為6ec8aac122bd4f6e,全程運(yùn)輸成本為y=a?6ec8aac122bd4f6e+bv2?6ec8aac122bd4f6e=S(6ec8aac122bd4f6e+bv)

∴所求函數(shù)及其定義域?yàn)?i>y=S(6ec8aac122bd4f6e+bv),v∈(0,c6ec8aac122bd4f6e.

(2)依題意知,S、a、b、v均為正數(shù)

S(6ec8aac122bd4f6e+bv)≥2S6ec8aac122bd4f6e                      ①

當(dāng)且僅當(dāng)6ec8aac122bd4f6e=bv,即v=6ec8aac122bd4f6e時,①式中等號成立.若6ec8aac122bd4f6ec則當(dāng)v=6ec8aac122bd4f6e時,有ymin

6ec8aac122bd4f6e>c,則當(dāng)v∈(0,c6ec8aac122bd4f6e時,有S(6ec8aac122bd4f6e+bv)-S(6ec8aac122bd4f6e+bc)

=S[(6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e)+(bvbc)]=6ec8aac122bd4f6e (cv)(abcv)

cv≥0,且c>bc2,∴abcvabc2>0

S(6ec8aac122bd4f6e+bv)≥S(6ec8aac122bd4f6e+bc),當(dāng)且僅當(dāng)v=c時等號成立,也即當(dāng)v=c時,有ymin;

綜上可知,為使全程運(yùn)輸成本y最小,當(dāng)6ec8aac122bd4f6ec時,行駛速度應(yīng)為v=6ec8aac122bd4f6e,當(dāng)6ec8aac122bd4f6e>c時行駛速度應(yīng)為v=c.

解法二:(1)同解法一.

(2)∵函數(shù)y=x+6ec8aac122bd4f6e (k>0),x∈(0,+∞),當(dāng)x∈(0,6ec8aac122bd4f6e)時,y單調(diào)減小,當(dāng)x∈(6ec8aac122bd4f6e,+∞)時y單調(diào)增加,當(dāng)x=6ec8aac122bd4f6ey取得最小值,而全程運(yùn)輸成本函數(shù)為y=Sb(v+6ec8aac122bd4f6e),v∈(0,c6ec8aac122bd4f6e.

∴當(dāng)6ec8aac122bd4f6ec時,則當(dāng)v=6ec8aac122bd4f6e時,y最小,若6ec8aac122bd4f6e>c時,則當(dāng)v=c時,y最小.結(jié)論同上.

●錦囊妙計(jì)

在解決函數(shù)綜合問題時,要認(rèn)真分析、處理好各種關(guān)系,把握問題的主線,運(yùn)用相關(guān)的知識和方法逐步化歸為基本問題來解決,尤其是注意等價轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想的綜合運(yùn)用.綜合問題的求解往往需要應(yīng)用多種知識和技能.因此,必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識,并且嚴(yán)謹(jǐn)審題,弄清題目的已知條件,尤其要挖掘題目中的隱含條件.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

試題詳情

2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)九

難點(diǎn)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)問題

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一,本節(jié)主要幫助考生掌握兩種函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)并會用它們?nèi)ソ鉀Q某些簡單的實(shí)際問題.

●難點(diǎn)磁場

(★★★★★)設(shè)f(x)=log26ec8aac122bd4f6e,F(x)=6ec8aac122bd4f6e+f(x).

(1)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并用函數(shù)單調(diào)性定義,給出證明;

(2)若f(x)的反函數(shù)為f1(x),證明:對任意的自然數(shù)n(n≥3),都有f1(n)>6ec8aac122bd4f6e;

(3)若F(x)的反函數(shù)F1(x),證明:方程F1(x)=0有惟一解.

●案例探究

[例1]已知過原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點(diǎn),分別過點(diǎn)ABy軸的平行線與函數(shù)y=log2x的圖象交于C、D兩點(diǎn).

(1)證明:點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一條直線上;

(2)當(dāng)BC平行于x軸時,求點(diǎn)A的坐標(biāo).

命題意圖:本題主要考查對數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)換底公式、對數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的分析能力和運(yùn)算能力.屬★★★★級題目.

知識依托:(1)證明三點(diǎn)共線的方法:kOC=kOD.

(2)第(2)問的解答中蘊(yùn)涵著方程思想,只要得到方程(1),即可求得A點(diǎn)坐標(biāo).

錯解分析:不易考慮運(yùn)用方程思想去解決實(shí)際問題.

技巧與方法:本題第一問運(yùn)用斜率相等去證明三點(diǎn)共線;第二問運(yùn)用方程思想去求得點(diǎn)A的坐標(biāo).

(1)證明:設(shè)點(diǎn)AB的橫坐標(biāo)分別為x1、x2,由題意知:x1>1,x2>1,則A、B縱坐標(biāo)分別為log8x1,log8x2.因?yàn)?i>A、B在過點(diǎn)O的直線上,所以6ec8aac122bd4f6e,點(diǎn)C、D坐標(biāo)分別為(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1=6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e3log8x2,所以OC的斜率:k1=6ec8aac122bd4f6e,

OD的斜率:k2=6ec8aac122bd4f6e,由此可知:k1=k2,即O、CD在同一條直線上.

(2)解:由BC平行于x軸知:log2x1=log8x2  即:log2x1=6ec8aac122bd4f6elog2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得:x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x1>1,∴x1=6ec8aac122bd4f6e,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6ec8aac122bd4f6e,log86ec8aac122bd4f6e).

[例2]在xOy平面上有一點(diǎn)列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,對每個自然數(shù)n點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=2000(6ec8aac122bd4f6e)x(0<a<1)的圖象上,且點(diǎn)Pn,點(diǎn)(n,0)與點(diǎn)(n+1,0)構(gòu)成一個以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形.

(1)求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式;

(2)若對于每個自然數(shù)n,以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形,求a的取值范圍;

(3)設(shè)Cn=lg(bn)(nN*),若a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù),問數(shù)列{Cn}前多少項(xiàng)的和最大?試說明理由.

命題意圖:本題把平面點(diǎn)列,指數(shù)函數(shù),對數(shù)、最值等知識點(diǎn)揉合在一起,構(gòu)成一個思維難度較大的綜合題目,本題主要考查考生對綜合知識分析和運(yùn)用的能力.屬★★★★★級

題目.

知識依托:指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及數(shù)列、最值等知識.

錯解分析:考生對綜合知識不易駕馭,思維難度較大,找不到解題的突破口.

技巧與方法:本題屬于知識綜合題,關(guān)鍵在于讀題過程中對條件的思考與認(rèn)識,并會運(yùn)用相關(guān)的知識點(diǎn)去解決問題.

解:(1)由題意知:an=n+6ec8aac122bd4f6e,∴bn=2000(6ec8aac122bd4f6e)6ec8aac122bd4f6e.

(2)∵函數(shù)y=2000(6ec8aac122bd4f6e)x(0<a<10)遞減,∴對每個自然數(shù)n,有bn>bn+1>bn+2.則以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn,即(6ec8aac122bd4f6e)2+(6ec8aac122bd4f6e)-1>0,解得a<-5(1+6ec8aac122bd4f6e)或a>5(6ec8aac122bd4f6e-1).∴5(6ec8aac122bd4f6e-1)<a<10.

(3)∵5(6ec8aac122bd4f6e-1)<a<10,∴a=7

bn=2000(6ec8aac122bd4f6e)6ec8aac122bd4f6e.數(shù)列{bn}是一個遞減的正數(shù)數(shù)列,對每個自然數(shù)n≥2,Bn=bnBn1.于是當(dāng)bn≥1時,Bn<Bn1,當(dāng)bn<1時,BnBn1,因此數(shù)列{Bn}的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿足不等式bn≥1且bn+1<1,由bn=2000(6ec8aac122bd4f6e)6ec8aac122bd4f6e≥1得:n≤20.8.∴n=20.

●錦囊妙計(jì)

本難點(diǎn)所涉及的問題以及解決的方法有:

(1)運(yùn)用兩種函數(shù)的圖象和性質(zhì)去解決基本問題.此類題目要求考生熟練掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)并能靈活應(yīng)用.

(2)綜合性題目.此類題目要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和邏輯思維能力.

(3)應(yīng)用題目.此類題目要求考生具有較強(qiáng)的建模能力.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

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