2009年高考數學難點突破專題輔導九
難點9 指數函數、對數函數問題
指數函數、對數函數是高考考查的重點內容之一,本節(jié)主要幫助考生掌握兩種函數的概念、圖象和性質并會用它們去解決某些簡單的實際問題.
●難點磁場
(1)試判斷函數f(x)的單調性,并用函數單調性定義,給出證明;
(2)若f(x)的反函數為f-1(x),證明:對任意的自然數n(n≥3),都有f-1(n)>;
(3)若F(x)的反函數F-1(x),證明:方程F-1(x)=0有惟一解.
●案例探究
[例1]已知過原點O的一條直線與函數y=log8x的圖象交于A、B兩點,分別過點A、B作y軸的平行線與函數y=log2x的圖象交于C、D兩點.
(1)證明:點C、D和原點O在同一條直線上;
(2)當BC平行于x軸時,求點A的坐標.
命題意圖:本題主要考查對數函數圖象、對數換底公式、對數方程、指數方程等基礎知識,考查學生的分析能力和運算能力.屬★★★★級題目.
知識依托:(1)證明三點共線的方法:kOC=kOD.
(2)第(2)問的解答中蘊涵著方程思想,只要得到方程(1),即可求得A點坐標.
錯解分析:不易考慮運用方程思想去解決實際問題.
技巧與方法:本題第一問運用斜率相等去證明三點共線;第二問運用方程思想去求得點A的坐標.
(1)證明:設點A、B的橫坐標分別為x1、x2,由題意知:x1>1,x2>1,則A、B縱坐標分別為log8x1,log8x2.因為A、B在過點O的直線上,所以,點C、D坐標分別為(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1==3log8x2,所以OC的斜率:k1=,
OD的斜率:k2=,由此可知:k1=k2,即O、C、D在同一條直線上.
(2)解:由BC平行于x軸知:log2x1=log8x2 即:log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得:x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x1>1,∴x1=,則點A的坐標為(,log8).
[例2]在xOy平面上有一點列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,對每個自然數n點Pn位于函數y=2000()x(0<a<1)的圖象上,且點Pn,點(n,0)與點(n+1,0)構成一個以Pn為頂點的等腰三角形.
(1)求點Pn的縱坐標bn的表達式;
(2)若對于每個自然數n,以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形,求a的取值范圍;
(3)設Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中確定的范圍內的最小整數,問數列{Cn}前多少項的和最大?試說明理由.
命題意圖:本題把平面點列,指數函數,對數、最值等知識點揉合在一起,構成一個思維難度較大的綜合題目,本題主要考查考生對綜合知識分析和運用的能力.屬★★★★★級
題目.
知識依托:指數函數、對數函數及數列、最值等知識.
錯解分析:考生對綜合知識不易駕馭,思維難度較大,找不到解題的突破口.
技巧與方法:本題屬于知識綜合題,關鍵在于讀題過程中對條件的思考與認識,并會運用相關的知識點去解決問題.
(2)∵函數y=2000()x(0<a<10)遞減,∴對每個自然數n,有bn>bn+1>bn+2.則以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn,即()2+()-1>0,解得a<-5(1+)或a>5(-1).∴5(-1)<a<10.
∴bn=2000().數列{bn}是一個遞減的正數數列,對每個自然數n≥2,Bn=bnBn-1.于是當bn≥1時,Bn<Bn-1,當bn<1時,Bn≤Bn-1,因此數列{Bn}的最大項的項數n滿足不等式bn≥1且bn+1<1,由bn=2000()≥1得:n≤20.8.∴n=20.
●錦囊妙計
本難點所涉及的問題以及解決的方法有:
(1)運用兩種函數的圖象和性質去解決基本問題.此類題目要求考生熟練掌握函數的圖象和性質并能靈活應用.
(2)綜合性題目.此類題目要求考生具有較強的分析能力和邏輯思維能力.
(3)應用題目.此類題目要求考生具有較強的建模能力.
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★)定義在(-∞,+∞)上的任意函數f(x)都可以表示成一個奇函數g(x)和一個偶函數h(x)之和,如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(-∞,+∞),那么( )
A.g(x)=x,h(x)=lg(10x+10-x+2)
2.(★★★★)當a>1時,函數y=logax和y=(1-a)x的圖象只可能是( )
二、填空題
三、解答題
5.(★★★★)設函數f(x)=loga(x-3a)(a>0且a≠1),當點P(x,y)是函數y=f(x)圖象上的點時,點Q(x-2a,-y)是函數y=g(x)圖象上的點.
(1)寫出函數y=g(x)的解析式;
(2)若當x∈[a+2,a+3]時,恒有|f(x)-g(x)|≤1,試確定a的取值范圍.
7.(★★★★★)已知函數x,y滿足x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范圍.
難點磁場
解:(1)由>0,且2-x≠0得F(x)的定義域為(-1,1),設-1<x1<x2<1,則
∵x2-x1>0,2-x1>0,2-x2>0,∴上式第2項中對數的真數大于1.
因此F(x2)-F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(-1,1)上是增函數.
∴f-1(x)=,∵f(x)的值域為R,∴f--1(x)的定義域為R.
用數學歸納法易證2n>2n+1(n≥3),證略.
(3)證明:∵F(0)=,∴F-1()=0,∴x=是F-1(x)=0的一個根.假設F-1(x)=0還有一個解x0(x0≠),則F-1(x0)=0,于是F(0)=x0(x0≠).這是不可能的,故F-1(x)=0有惟一解.
殲滅難點訓練
一、1.解析:由題意:g(x)+h(x)=lg(10x+1) ①
又g(-x)+h(-x)=lg(10-x+1).即-g(x)+h(x)=lg(10-x+1) ②
答案:C
2.解析:當a>1時,函數y=logax的圖象只能在A和C中選,又a>1時,y=(1-a)x為減函數.
答案:B
4.解析:由題意,5分鐘后,y1=ae-nt,y2=a-ae-nt,y1=y2.∴n=ln2.設再過t分鐘桶1中的水只有,則y1=ae-n(5+t)=,解得t=10.
答案:10
三、5.解:(1)設點Q的坐標為(x′,y′),則x′=x-2a,y′=-y.即x=x′+2a,y=-y′.
∵點P(x,y)在函數y=loga(x-3a)的圖象上,∴-y′=loga(x′+2a-3a),即y′=loga,∴g(x)=loga.
(2)由題意得x-3a=(a+2)-3a=-2a+2>0;=>0,又a>0且a≠1,∴0<a<1,∵|f(x)-g(x)|=|loga(x-3a)-loga|=|loga(x2-4ax+3a2)|?|f(x)-g(x)|≤1,∴-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1,∵0<a<1,∴a+2>2a.f(x)=x2-4ax+3a2在[a+2,a+3]上為減函數,∴μ(x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2,a+3]上為減函數,從而[μ(x)]max=μ(a+2)=loga(4-4a),[μ(x)]min=μ(a+3)=loga(9-6a),于是所求問題轉化為求不等式組的解.
由loga(9-6a)≥-1解得0<a≤,由loga(4-4a)≤1解得0<a≤,
6.解:f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,
∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤()2(當且僅當x1=x2時取“=”號),
∴logax1x2≤loga(),(logax1+logax2)≤loga,
即f(x1)+f(x2)]≤f()(當且僅當x1=x2時取“=”號)
當0<a<1時,有l(wèi)ogax1x2≥loga()2,
∴(logax1+logax2)≥loga,即[f(x1)+f(x2)]≥f()(當且僅當x1=x2時取“=”號).
7.解:由已知等式得:loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax-1)2+(logay-1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,則(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐標系uOv內,圓弧(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0)與平行直線系v=-u+k有公共點,分兩類討論.
(1)當u≥0,v≥0時,即a>1時,結合判別式法與代點法得1+≤k≤2(1+);
(2)當u≤0,v≤0,即0<a<1時,同理得到2(1-)≤k≤1-.x綜上,當a>1時,logaxy的最大值為2+2,最小值為1+;當0<a<1時,logaxy的最大值為1-,最小值為2-2.
又f(x)=(log2x-1)(log2x-3)=log22x-4log2x+3=(log2x-2)2-1.
∴當log2x=2,即x=4時ymin=-1;當log2x=3,即x=8時,ymax=0.
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