2009年高考數學難點突破專題輔導九

難點9  指數函數、對數函數問題

指數函數、對數函數是高考考查的重點內容之一，本節(jié)主要幫助考生掌握兩種函數的概念、圖象和性質并會用它們去解決某些簡單的實際問題.

●難點磁場

(★★★★★)設f(x)=log26ec8aac122bd4f6e,F(x)=6ec8aac122bd4f6e+f(x).

(1)試判斷函數f(x)的單調性，并用函數單調性定義，給出證明；

(2)若f(x)的反函數為f－1(x),證明：對任意的自然數n(n≥3),都有f－1(n)>6ec8aac122bd4f6e;

(3)若F(x)的反函數F－1(x),證明：方程F－1(x)=0有惟一解.

●案例探究

［例1］已知過原點O的一條直線與函數y=log8x的圖象交于A、B兩點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數y=log2x的圖象交于C、D兩點.

(1)證明：點C、D和原點O在同一條直線上；

(2)當BC平行于x軸時，求點A的坐標.

命題意圖：本題主要考查對數函數圖象、對數換底公式、對數方程、指數方程等基礎知識，考查學生的分析能力和運算能力.屬★★★★級題目.

知識依托：(1)證明三點共線的方法：kOC=kOD.

(2)第(2)問的解答中蘊涵著方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A點坐標.

錯解分析：不易考慮運用方程思想去解決實際問題.

技巧與方法：本題第一問運用斜率相等去證明三點共線；第二問運用方程思想去求得點A的坐標.

(1)證明：設點A、B的橫坐標分別為x1、x2,由題意知：x1>1,x2>1,則A、B縱坐標分別為log8x1,log8x2.因為A、B在過點O的直線上，所以6ec8aac122bd4f6e,點C、D坐標分別為(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1=6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e3log8x2,所以OC的斜率：k1=6ec8aac122bd4f6e,

OD的斜率：k2=6ec8aac122bd4f6e，由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一條直線上.

(2)解：由BC平行于x軸知：log2x1=log8x2  即：log2x1=6ec8aac122bd4f6elog2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x1>1,∴x1=6ec8aac122bd4f6e,則點A的坐標為(6ec8aac122bd4f6e，log86ec8aac122bd4f6e).

［例2］在xOy平面上有一點列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,對每個自然數n點Pn位于函數y=2000(6ec8aac122bd4f6e)x(0<a<1)的圖象上，且點Pn,點(n,0)與點(n+1,0)構成一個以Pn為頂點的等腰三角形.

(1)求點Pn的縱坐標bn的表達式；

(2)若對于每個自然數n,以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形，求a的取值范圍；

(3)設Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中確定的范圍內的最小整數，問數列{Cn}前多少項的和最大？試說明理由.

命題意圖：本題把平面點列，指數函數，對數、最值等知識點揉合在一起，構成一個思維難度較大的綜合題目，本題主要考查考生對綜合知識分析和運用的能力.屬★★★★★級

題目.

知識依托：指數函數、對數函數及數列、最值等知識.

錯解分析：考生對綜合知識不易駕馭，思維難度較大，找不到解題的突破口.

技巧與方法：本題屬于知識綜合題，關鍵在于讀題過程中對條件的思考與認識，并會運用相關的知識點去解決問題.

解：(1)由題意知：an=n+6ec8aac122bd4f6e,∴bn=2000(6ec8aac122bd4f6e)6ec8aac122bd4f6e.

(2)∵函數y=2000(6ec8aac122bd4f6e)x(0<a<10)遞減，∴對每個自然數n,有bn>bn+1>bn+2.則以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn,即(6ec8aac122bd4f6e)2+(6ec8aac122bd4f6e)－1>0,解得a<－5(1+6ec8aac122bd4f6e)或a>5(6ec8aac122bd4f6e－1).∴5(6ec8aac122bd4f6e－1)<a<10.

(3)∵5(6ec8aac122bd4f6e－1)<a<10,∴a=7

∴bn=2000(6ec8aac122bd4f6e)6ec8aac122bd4f6e.數列{bn}是一個遞減的正數數列，對每個自然數n≥2,Bn=bnBn－1.于是當bn≥1時，Bn<Bn－1,當bn<1時，Bn≤Bn－1,因此數列{Bn}的最大項的項數n滿足不等式bn≥1且bn+1<1,由bn=2000(6ec8aac122bd4f6e)6ec8aac122bd4f6e≥1得：n≤20.8.∴n=20.

●錦囊妙計

本難點所涉及的問題以及解決的方法有：

(1)運用兩種函數的圖象和性質去解決基本問題.此類題目要求考生熟練掌握函數的圖象和性質并能靈活應用.

(2)綜合性題目.此類題目要求考生具有較強的分析能力和邏輯思維能力.

(3)應用題目.此類題目要求考生具有較強的建模能力.

●殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★)定義在(－∞,+∞)上的任意函數f(x)都可以表示成一個奇函數g(x)和一個偶函數h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(－∞,+∞),那么(    )

A.g(x)=x,h(x)=lg(10x+10－x+2)

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B.g(x)=6ec8aac122bd4f6e［lg(10x+1)+x］,h(x)= 6ec8aac122bd4f6e［lg(10x+1)－x］

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C.g(x)=6ec8aac122bd4f6e,h(x)=lg(10x+1)－6ec8aac122bd4f6e

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D.g(x)=－6ec8aac122bd4f6e,h(x)=lg(10x+1)+6ec8aac122bd4f6e

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2.(★★★★)當a>1時，函數y=logax和y=(1－a)x的圖象只可能是(    )

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6ec8aac122bd4f6e

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二、填空題

3.(★★★★★)已知函數f(x)=6ec8aac122bd4f6e.則f-－1(x－1)=_________.

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6ec8aac122bd4f6e4.(★★★★★)如圖，開始時，桶1中有a L水，t分鐘后剩余的水符合指數衰減曲線y=

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ae－nt,那么桶2中水就是y2=a－ae－nt,假設過5分鐘時，桶1和桶2的水相等，則再過_________分鐘桶1中的水只有6ec8aac122bd4f6e.

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三、解答題

5.(★★★★)設函數f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1),當點P(x,y)是函數y=f(x)圖象上的點時，點Q(x－2a,－y)是函數y=g(x)圖象上的點.

(1)寫出函數y=g(x)的解析式；

(2)若當x∈［a+2,a+3］時，恒有|f(x)－g(x)|≤1,試確定a的取值范圍.

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6.(★★★★)已知函數f(x)=logax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判斷6ec8aac122bd4f6e［f(x1)+f(x2)］與f(6ec8aac122bd4f6e)的大小，并加以證明.

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7.(★★★★★)已知函數x,y滿足x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范圍.

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8.(★★★★)設不等式2(log6ec8aac122bd4f6ex)2+9(log6ec8aac122bd4f6ex)+9≤0的解集為M，求當x∈M時函數f(x)=(log26ec8aac122bd4f6e)(log26ec8aac122bd4f6e)的最大、最小值.

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難點磁場

解：(1)由6ec8aac122bd4f6e>0,且2－x≠0得F(x)的定義域為(－1，1)，設－1＜x1＜x2＜1,則

F(x2)－F(x1)=(6ec8aac122bd4f6e)+(6ec8aac122bd4f6e)

6ec8aac122bd4f6e,

∵x2－x1>0,2－x1>0,2－x2>0,∴上式第2項中對數的真數大于1.

因此F(x2)－F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(－1，1）上是增函數.

(2)證明：由y=f(x)=6ec8aac122bd4f6e得：2y=6ec8aac122bd4f6e,

∴f－1(x)=6ec8aac122bd4f6e,∵f(x)的值域為R，∴f-－1(x)的定義域為R.

當n≥3時，f-1(n)>6ec8aac122bd4f6e.

用數學歸納法易證2n>2n+1(n≥3),證略.

(3)證明：∵F(0)=6ec8aac122bd4f6e,∴F－1(6ec8aac122bd4f6e)=0,∴x=6ec8aac122bd4f6e是F－1(x)=0的一個根.假設F－1(x)=0還有一個解x0(x0≠6ec8aac122bd4f6e),則F-1(x0)=0,于是F(0)=x0(x0≠6ec8aac122bd4f6e).這是不可能的，故F-1(x)=0有惟一解.

殲滅難點訓練

一、1.解析：由題意：g(x)+h(x)=lg(10x+1)                                                                      ①

又g(－x)+h(－x)=lg(10－x+1).即－g(x)+h(x)=lg(10－x+1)                                             ②

由①②得：g(x)=6ec8aac122bd4f6e,h(x)=lg(10x+1)－6ec8aac122bd4f6e.

答案：C

2.解析：當a>1時，函數y=logax的圖象只能在A和C中選，又a>1時，y=(1－a)x為減函數.

答案：B

二、3.解析：容易求得f- －1(x)=6ec8aac122bd4f6e,從而：

f－1(x－1)=6ec8aac122bd4f6e

答案：6ec8aac122bd4f6e

4.解析：由題意，5分鐘后，y1=ae－nt,y2=a－ae－nt,y1=y2.∴n=6ec8aac122bd4f6eln2.設再過t分鐘桶1中的水只有6ec8aac122bd4f6e,則y1=ae－n(5+t)=6ec8aac122bd4f6e,解得t=10.

答案：10

三、5.解：(1)設點Q的坐標為(x′,y′),則x′=x－2a,y′=－y.即x=x′+2a,y=－y′.

∵點P(x,y)在函數y=loga(x－3a)的圖象上，∴－y′=loga(x′+2a－3a),即y′=loga6ec8aac122bd4f6e,∴g(x)=loga6ec8aac122bd4f6e.

(2)由題意得x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0;6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e>0,又a>0且a≠1,∴0＜a＜1,∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－loga6ec8aac122bd4f6e|=|loga(x2－4ax+3a2)|?|f(x)－g(x)|≤1,∴－1≤loga(x2－4ax+3a2)≤1,∵0＜a＜1,∴a+2>2a.f(x)=x2－4ax+3a2在［a+2,a+3］上為減函數，∴μ(x)=loga(x2－4ax+3a2)在［a+2,a+3］上為減函數，從而［μ(x)］max=μ(a+2)=loga(4－4a),［μ(x)］min=μ(a+3)=loga(9－6a),于是所求問題轉化為求不等式組6ec8aac122bd4f6e的解.

由loga(9－6a)≥－1解得0＜a≤6ec8aac122bd4f6e,由loga(4－4a)≤1解得0＜a≤6ec8aac122bd4f6e,

∴所求a的取值范圍是0＜a≤6ec8aac122bd4f6e.

6.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,

∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤(6ec8aac122bd4f6e)2(當且僅當x1=x2時取“=”號)，

當a>1時，有l(wèi)ogax1x2≤loga(6ec8aac122bd4f6e)2,

∴6ec8aac122bd4f6elogax1x2≤loga(6ec8aac122bd4f6e)，6ec8aac122bd4f6e(logax1+logax2)≤loga6ec8aac122bd4f6e,

即6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6ef(x1)+f(x2)］≤f(6ec8aac122bd4f6e)(當且僅當x1=x2時取“=”號)

當0＜a＜1時，有l(wèi)ogax1x2≥loga(6ec8aac122bd4f6e)2,

∴6ec8aac122bd4f6e(logax1+logax2)≥loga6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e［f(x1)+f(x2)］≥f(6ec8aac122bd4f6e)(當且僅當x1=x2時取“=”號）.

7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax－1)2+(logay－1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,則(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐標系uOv內，圓弧(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0)與平行直線系v=－u+k有公共點，分兩類討論.

(1)當u≥0,v≥0時，即a>1時，結合判別式法與代點法得1+6ec8aac122bd4f6e≤k≤2(1+6ec8aac122bd4f6e);

(2)當u≤0,v≤0,即0＜a＜1時，同理得到2(1－6ec8aac122bd4f6e)≤k≤1－6ec8aac122bd4f6e.x綜上，當a>1時，logaxy的最大值為2+26ec8aac122bd4f6e，最小值為1+6ec8aac122bd4f6e；當0＜a＜1時，logaxy的最大值為1－6ec8aac122bd4f6e，最小值為2－26ec8aac122bd4f6e.

8.解：∵2(6ec8aac122bd4f6ex)2+9(6ec8aac122bd4f6ex)+9≤0

∴(26ec8aac122bd4f6ex+3)( 6ec8aac122bd4f6ex+3)≤0.

∴－3≤6ec8aac122bd4f6ex≤－6ec8aac122bd4f6e.

即6ec8aac122bd4f6e (6ec8aac122bd4f6e)－3≤6ec8aac122bd4f6ex≤6ec8aac122bd4f6e(6ec8aac122bd4f6e)6ec8aac122bd4f6e?

∴(6ec8aac122bd4f6e)6ec8aac122bd4f6e≤x≤(6ec8aac122bd4f6e)－3,∴26ec8aac122bd4f6e≤x≤8

即M={x|x∈［26ec8aac122bd4f6e,8］}

又f(x)=(log2x－1)(log2x－3)=log22x－4log2x+3=(log2x－2)2－1.

∵26ec8aac122bd4f6e≤x≤8,∴6ec8aac122bd4f6e≤log2x≤3

∴當log2x=2,即x=4時ymin=－1;當log2x=3,即x=8時，ymax=0.

 

 

 


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