2009年高考數(shù)學(xué)難點突破專題輔導(dǎo)九

難點9  指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)問題

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是高考考查的重點內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生掌握兩種函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)并會用它們?nèi)ソ鉀Q某些簡單的實際問題.

●難點磁場

(★★★★★)設(shè)f(x)=log₂,F(x)=+f(x).

(1)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義，給出證明；

(2)若f(x)的反函數(shù)為f^－1(x),證明：對任意的自然數(shù)n(n≥3),都有f^－1(n)>;

(3)若F(x)的反函數(shù)F^－1(x),證明：方程F^－1(x)=0有惟一解.

●案例探究

［例1］已知過原點O的一條直線與函數(shù)y=log₈x的圖象交于A、B兩點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數(shù)y=log₂x的圖象交于C、D兩點.

(1)證明：點C、D和原點O在同一條直線上；

(2)當(dāng)BC平行于x軸時，求點A的坐標(biāo).

命題意圖：本題主要考查對數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)換底公式、對數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析能力和運算能力.屬★★★★級題目.

知識依托：(1)證明三點共線的方法：k_OC=k_OD.

(2)第(2)問的解答中蘊涵著方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A點坐標(biāo).

錯解分析：不易考慮運用方程思想去解決實際問題.

技巧與方法：本題第一問運用斜率相等去證明三點共線；第二問運用方程思想去求得點A的坐標(biāo).

(1)證明：設(shè)點A、B的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂,由題意知：x₁>1,x₂>1,則A、B縱坐標(biāo)分別為log₈x₁,log₈x₂.因為A、B在過點O的直線上，所以,點C、D坐標(biāo)分別為(x₁,log₂x₁),(x₂,log₂x₂),由于log₂x₁==3log₈x₂,所以OC的斜率：k₁=,

OD的斜率：k₂=，由此可知：k₁=k₂,即O、C、D在同一條直線上.

(2)解：由BC平行于x軸知：log₂x₁=log₈x₂  即：log₂x₁=log₂x₂,代入x₂log₈x₁=x₁log₈x₂得：x₁³log₈x₁=3x₁log₈x₁,由于x₁>1知log₈x₁≠0,∴x₁³=3x₁.又x₁>1,∴x₁=,則點A的坐標(biāo)為(，log₈).

［例2］在xOy平面上有一點列P₁(a₁,b₁),P₂(a₂,b₂),…,P_n(a_n,b_n)…,對每個自然數(shù)n點P_n位于函數(shù)y=2000()^x(0<a<1)的圖象上，且點P_n,點(n,0)與點(n+1,0)構(gòu)成一個以P_n為頂點的等腰三角形.

(1)求點P_n的縱坐標(biāo)b_n的表達式；

(2)若對于每個自然數(shù)n,以b_n,b_n+1,b_n+2為邊長能構(gòu)成一個三角形，求a的取值范圍；

(3)設(shè)C_n=lg(b_n)(n∈N^*),若a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列{C_n}前多少項的和最大？試說明理由.

命題意圖：本題把平面點列，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)、最值等知識點揉合在一起，構(gòu)成一個思維難度較大的綜合題目，本題主要考查考生對綜合知識分析和運用的能力.屬★★★★★級

題目.

知識依托：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及數(shù)列、最值等知識.

錯解分析：考生對綜合知識不易駕馭，思維難度較大，找不到解題的突破口.

技巧與方法：本題屬于知識綜合題，關(guān)鍵在于讀題過程中對條件的思考與認識，并會運用相關(guān)的知識點去解決問題.

解：(1)由題意知：a_n=n+,∴b_n=2000().

(2)∵函數(shù)y=2000()^x(0<a<10)遞減，∴對每個自然數(shù)n,有b_n>b_n+1>b_n+2.則以b_n,b_n+1,b_n+2為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是b_n+2+b_n+1>b_n,即()²+()－1>0,解得a<－5(1+)或a>5(－1).∴5(－1)<a<10.

(3)∵5(－1)<a<10,∴a=7

∴b_n=2000().數(shù)列{b_n}是一個遞減的正數(shù)數(shù)列，對每個自然數(shù)n≥2,B_n=b_nB_n－1.于是當(dāng)b_n≥1時，B_n<B_n－1,當(dāng)b_n<1時，B_n≤B_n－1,因此數(shù)列{B_n}的最大項的項數(shù)n滿足不等式b_n≥1且b_n+1<1,由b_n=2000()≥1得：n≤20.8.∴n=20.

●錦囊妙計

本難點所涉及的問題以及解決的方法有：

(1)運用兩種函數(shù)的圖象和性質(zhì)去解決基本問題.此類題目要求考生熟練掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)并能靈活應(yīng)用.

(2)綜合性題目.此類題目要求考生具有較強的分析能力和邏輯思維能力.

(3)應(yīng)用題目.此類題目要求考生具有較強的建模能力.

●殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

試題詳情

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二、填空題

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三、解答題

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難點磁場

解：(1)由>0,且2－x≠0得F(x)的定義域為(－1，1)，設(shè)－1＜x₁＜x₂＜1,則

F(x₂)－F(x₁)=()+()

,

∵x₂－x₁>0,2－x₁>0,2－x₂>0,∴上式第2項中對數(shù)的真數(shù)大于1.

因此F(x₂)－F(x₁)>0,F(x₂)>F(x₁),∴F(x)在(－1，1）上是增函數(shù).

(2)證明：由y=f(x)=得：2^y=,

∴f^－1(x)=,∵f(x)的值域為R，∴f^-－1(x)的定義域為R.

當(dāng)n≥3時，f^-1(n)>.

用數(shù)學(xué)歸納法易證2ⁿ>2n+1(n≥3),證略.

(3)證明：∵F(0)=,∴F^－1()=0,∴x=是F^－1(x)=0的一個根.假設(shè)F^－1(x)=0還有一個解x₀(x₀≠),則F^-1(x₀)=0,于是F(0)=x₀(x₀≠).這是不可能的，故F^-1(x)=0有惟一解.

殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：由題意：g(x)+h(x)=lg(10^x+1)                                                                      ①

又g(－x)+h(－x)=lg(10^－x+1).即－g(x)+h(x)=lg(10^－x+1)                                             ②

由①②得：g(x)=,h(x)=lg(10^x+1)－.

答案：C

2.解析：當(dāng)a>1時，函數(shù)y=log_ax的圖象只能在A和C中選，又a>1時，y=(1－a)x為減函數(shù).

答案：B

二、3.解析：容易求得f^{- －1}(x)=,從而：

f^－1(x－1)=

答案：

4.解析：由題意，5分鐘后，y₁=ae^－nt,y₂=a－ae^－nt,y₁=y₂.∴n=ln2.設(shè)再過t分鐘桶1中的水只有,則y₁=ae^－n(5+t)=,解得t=10.

答案：10

三、5.解：(1)設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x′,y′),則x′=x－2a,y′=－y.即x=x′+2a,y=－y′.

∵點P(x,y)在函數(shù)y=log_a(x－3a)的圖象上，∴－y′=log_a(x′+2a－3a),即y′=log_a,∴g(x)=log_a.

(2)由題意得x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0;=>0,又a>0且a≠1,∴0＜a＜1,∵|f(x)－g(x)|=|log_a(x－3a)－log_a|=|log_a(x²－4ax+3a²)|?|f(x)－g(x)|≤1,∴－1≤log_a(x²－4ax+3a²)≤1,∵0＜a＜1,∴a+2>2a.f(x)=x²－4ax+3a²在［a+2,a+3］上為減函數(shù)，∴μ(x)=log_a(x²－4ax+3a²)在［a+2,a+3］上為減函數(shù)，從而［μ(x)］_max=μ(a+2)=log_a(4－4a),［μ(x)］_min=μ(a+3)=log_a(9－6a),于是所求問題轉(zhuǎn)化為求不等式組的解.

由log_a(9－6a)≥－1解得0＜a≤,由log_a(4－4a)≤1解得0＜a≤,

∴所求a的取值范圍是0＜a≤.

6.解：f(x₁)+f(x₂)=log_ax₁+log_ax₂=log_ax₁x₂,

∵x₁,x₂∈(0,+∞),x₁x₂≤()²(當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂時取“=”號)，

當(dāng)a>1時，有l(wèi)og_ax₁x₂≤log_a()²,

∴log_ax₁x₂≤log_a()，(log_ax₁+log_ax₂)≤log_a,

即f(x₁)+f(x₂)］≤f()(當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂時取“=”號)

當(dāng)0＜a＜1時，有l(wèi)og_ax₁x₂≥log_a()²,

∴(log_ax₁+log_ax₂)≥log_a,即［f(x₁)+f(x₂)］≥f()(當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂時取“=”號）.

7.解：由已知等式得：log_a²x+log_a²y=(1+2log_ax)+(1+2log_ay),即(log_ax－1)²+(log_ay－1)²=4,令u=log_ax,v=log_ay,k=log_axy,則(u－1)²+(v－1)²=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐標(biāo)系uOv內(nèi)，圓弧(u－1)²+(v－1)²=4(uv≥0)與平行直線系v=－u+k有公共點，分兩類討論.

(1)當(dāng)u≥0,v≥0時，即a>1時，結(jié)合判別式法與代點法得1+≤k≤2(1+);

(2)當(dāng)u≤0,v≤0,即0＜a＜1時，同理得到2(1－)≤k≤1－.x綜上，當(dāng)a>1時，log_axy的最大值為2+2，最小值為1+；當(dāng)0＜a＜1時，log_axy的最大值為1－，最小值為2－2.

8.解：∵2(x)²+9(x)+9≤0

∴(2x+3)( x+3)≤0.

∴－3≤x≤－.

即 ()^－3≤x≤()?

∴()≤x≤()^－3,∴2≤x≤8

即M={x|x∈［2,8］}

又f(x)=(log₂x－1)(log₂x－3)=log₂²x－4log₂x+3=(log₂x－2)²－1.

∵2≤x≤8,∴≤log₂x≤3

∴當(dāng)log₂x=2,即x=4時y_min=－1;當(dāng)log₂x=3,即x=8時，y_max=0.