2009年高考數(shù)學難點突破專題輔導十五
難點15 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)
三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考的熱點,在復習時要充分運用數(shù)形結(jié)合的思想,把圖象和性質(zhì)結(jié)合起來.本節(jié)主要幫助考生掌握圖象和性質(zhì)并會靈活運用.
●難點磁場
(★★★★)已知α、β為銳角,且x(α+β-)>0,試證不等式f(x)=x<2對一切非零實數(shù)都成立.
●案例探究
[例1]設(shè)z1=m+(2-m2)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R,已知z1=2z2,求λ的取值范圍.
命題意圖:本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì),考查考生的綜合分析問題的能力和等價轉(zhuǎn)化思想的運用,屬★★★★★級題目.
知識依托:主要依據(jù)等價轉(zhuǎn)化的思想和二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題來解決.
錯解分析:考生不易運用等價轉(zhuǎn)化的思想方法來解決問題.
技巧與方法:對于解法一,主要運用消參和分離變量的方法把所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題;對于解法二,主要運用三角函數(shù)的平方關(guān)系把所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.
解法一:∵z1=2z2,
∴m+(2-m2)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴
∴λ=1-2cos2θ-sinθ=2sin2θ-sinθ-1=2(sinθ-)2-.
當sinθ=時λ取最小值-,當sinθ=-1時,λ取最大值2.
∴m4-(3-4λ)m2+4λ2-8λ=0,設(shè)t=m2,則0≤t≤4,
令f(t)=t2-(3-4λ)t+4λ2-8λ,則或f(0)?f(4)≤0
[例2]如右圖,一滑雪運動員自h=50m高處A點滑至O點,由于運動員的技巧(不計阻力),在O點保持速率v0不為,并以傾角θ起跳,落至B點,令OB=L,試問,α=30°時,L的最大值為多少?當L取最大值時,θ為多大?
命題意圖:本題是一道綜合性題目,主要考查考生運用數(shù)學知識來解決物理問題的能力.屬★★★★★級題目.
知識依托:主要依據(jù)三角函數(shù)知識來解決實際問題.
錯解分析:考生不易運用所學的數(shù)學知識來解決物理問題,知識的遷移能力不夠靈活.
技巧與方法:首先運用物理學知識得出目標函數(shù),其次運用三角函數(shù)的有關(guān)知識來解決實際問題.
解:由已知條件列出從O點飛出后的運動方程:
得cosθ=cosα,∴θ=α=30°∴L最大值為200米,當L最大時,起跳仰角為30°.
[例3]如下圖,某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b.
(1)求這段時間的最大溫差.
(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式.
命題意圖:本題以應用題的形式考查備考中的熱點題型,要求考生把所學的三角函數(shù)知識與實際問題結(jié)合起來分析、思考,充分體現(xiàn)了“以能力立意”的命題原則.屬★★★★級題目.
知識依托:依據(jù)圖象正確寫出解析式.
錯解分析:不易準確判斷所給圖象所屬的三角函數(shù)式的各個特定系數(shù)和字母.
技巧與方法:數(shù)形結(jié)合的思想,以及運用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式.
解:(1)由圖示,這段時間的最大溫差是30-10=20(℃);
(2)圖中從6時到14時的圖象是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的半個周期的圖象.
∴=14-6,解得ω=,由圖示A=(30-10)=10,b=(30+10)=20,這時y=10sin(x+φ)+20,將x=6,y=10代入上式可取φ=π.綜上所求的解析式為y=10sin(x+
●錦囊妙計
本難點所涉及的問題及解決的方法主要有:
1.考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)題目,此類題目要求考生在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上要對三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運用.
2.三角函數(shù)與其他知識相結(jié)合的綜合題目,此類題目要求考生具有較強的分析能力和邏輯思維能力.在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點,并可以逐漸加強.
3.三角函數(shù)與實際問題的綜合應用.
此類題目要求考生具有較強的知識遷移能力和數(shù)學建模能力,要注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應用.
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★)函數(shù)y=-x?cosx的部分圖象是( )
2.(★★★★)函數(shù)f(x)=cos2x+sin(+x)是( )
A.非奇非偶函數(shù) B.僅有最小值的奇函數(shù)
C.僅有最大值的偶函數(shù) D.既有最大值又有最小值的偶函數(shù)
二、填空題
三、解答題
5.(★★★★)設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不論α、β為何實數(shù)恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0.
(1)求證:b+c=-1;
(2)求證c≥3;
(3)若函數(shù)f(sinα)的最大值為8,求b,c的值.
6.(★★★★★)用一塊長為a,寬為b(a>b)的矩形木板,在二面角為α的墻角處圍出一個直三棱柱的谷倉,試問應怎樣圍才能使谷倉的容積最大?并求出谷倉容積的最大值.
7.(★★★★★)有一塊半徑為R,中心角為45°的扇形鐵皮材料,為了獲取面積最大的矩形鐵皮,工人師傅常讓矩形的一邊在扇形的半徑上,然后作其最大內(nèi)接矩形,試問:工人師傅是怎樣選擇矩形的四點的?并求出最大面積值.
難點磁場
證明:若x>0,則α+β>∵α、β為銳角,∴0<-α<β<;0<-β<,∴0<sin(-α)<sinβ.0<sin(-β)<sinα,∴0<cosα<sinβ,0<cosβ<sinα,∴0<<1,0<<1,∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,∴f(x)<f(0)=2.若x<0,α+β<,∵α、β為銳角,0<β<-α<,0<α<-β<,0<sinβ<sin(-α),∴sinβ<cosα,0<sinα<sin(-β),∴sinα<cosβ,∴>1, >1,
∵f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,∴f(x)<f(0)=2,∴結(jié)論成立.
殲滅難點訓練
一、1.解析:函數(shù)y=-xcosx是奇函數(shù),圖象不可能是A和C,又當x∈(0, )時,
y<0.
答案:D
2.解析:f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos2x-1+cosx
答案:D
二、3.解:在[-π,π]上,y=|cosx|的單調(diào)遞增區(qū)間是[-,0]及[,π].而f(x)依|cosx|取值的遞增而遞減,故[-,0]及[,π]為f(x)的遞減區(qū)間.
4.解:由-≤ωx≤,得f(x)的遞增區(qū)間為[-,],由題設(shè)得
三、5.解:(1)∵-1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立,∴f(1)≥0
∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立.∴f(1)≤0.
從而知f(1)=0∴b+c+1=0.
(2)由f(2+cosβ)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c≤0.又因為b+c=-1,∴c≥3.
(3)∵f(sinα)=sin2α+(-1-c)sinα+c=(sinα-)2+c-()2,
當sinα=-1時,[f(sinα)]max=8,由解得b=-4,c=3.
6.解:如圖,設(shè)矩形木板的長邊AB著地,并設(shè)OA=x,OB=y,則a2=x2+y2-2xycosα≥2xy-2xycosα=2xy(1-cosα).
∵0<α<π,∴1-cosα>0,∴xy≤ (當且僅當x=y時取“=”號),故此時谷倉的容積的最大值V1=(xysinα)b=.同理,若木板短邊著地時,谷倉的容積V的最大值V2=ab2cos,
∵a>b,∴V1>V2
從而當木板的長邊著地,并且谷倉的底面是以a為底邊的等腰三角形時,谷倉的容積最大,其最大值為a2bcos.
7.解:如下圖,扇形AOB的內(nèi)接矩形是MNPQ,連OP,則OP=R,設(shè)∠AOP=θ,則
∴PQ=Rsin(45°-θ).S矩形MNPQ=QP?NP=R2sinθsin(45°-θ)=R2?[cos(2θ-45°)-]≤R2,當且僅當cos(2θ-45°)=1,即θ=22.5°時,S矩形MNPQ的值最大且最大值為R2.
工人師傅是這樣選點的,記扇形為AOB,以扇形一半徑OA為一邊,在扇形上作角AOP且使∠AOP=22.5°,P為邊與扇形弧的交點,自P作PN⊥OA于N,PQ∥OA交OB于Q,并作OM⊥OA于M,則矩形MNPQ為面積最大的矩形,面積最大值為R2.
8.解:∵在[-]上,1+sinx>0和1-sinx>0恒成立,∴原函數(shù)可化為y=
log2(1-sin2x)=log2cos2x,又cosx>0在[-]上恒成立,∴原函數(shù)即是y=2log2cosx,在x∈[
∴l(xiāng)og2≤log2cosx≤log21,即-1≤y≤0,也就是在x∈[-]上,ymax=0,
ymin=-1.
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