2009年高考數(shù)學難點突破專題輔導十六
難點16 三角函數(shù)式的化簡與求值
三角函數(shù)式的化簡和求值是高考考查的重點內(nèi)容之一.通過本節(jié)的學習使考生掌握化簡和求值問題的解題規(guī)律和途徑,特別是要掌握化簡和求值的一些常規(guī)技巧,以優(yōu)化我們的解題效果,做到事半功倍.
●難點磁場
(★★★★★)已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin2α的值_________.
●案例探究
[例1]不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值.
命題意圖:本題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法,對計算能力的要求較高.屬于★★★★級題目.
知識依托:熟知三角公式并能靈活應用.
錯解分析:公式不熟,計算易出錯.
技巧與方法:解法一利用三角公式進行等價變形;解法二轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,使解法更簡單更精妙,需認真體會.
解法一:sin220°+cos280°+sin220°cos80°
= (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80°
=1-cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)
=1-cos40°+ (cos120°cos40°-sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°)
=1-cos40°-cos40°-sin40°+sin40°-sin220°
解法二:設x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°
y=cos220°+sin280°-cos20°sin80°,則
x+y=1+1-sin60°=,x-y=-cos40°+cos160°+sin100°
∴x=y=,即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=.
[例2]設關(guān)于x的函數(shù)y=2cos2x-2acosx-(
命題意圖:本題主要考查最值問題、三角函數(shù)的有界性、計算能力以及較強的邏輯思維能力.屬★★★★★級題目
知識依托:二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.
錯解分析:考生不易考查三角函數(shù)的有界性,對區(qū)間的分類易出錯.
技巧與方法:利用等價轉(zhuǎn)化把問題化歸為二次函數(shù)問題,還要用到配方法、數(shù)形結(jié)合、分類講座等.
y=2(cosx+)2+,當cosx=1時,即x=2kπ,k∈Z,ymax=5.
[例3]已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+)-sin2x+sinxcosx
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的最小值及取得最小值時相應的x的值;
(3)若當x∈[,]時,f(x)的反函數(shù)為f-1(x),求f--1(1)的值.
命題意圖:本題主要考查三角公式、周期、最值、反函數(shù)等知識,還考查計算變形能力,綜合運用知識的能力,屬★★★★★級題目.
知識依托:熟知三角函數(shù)公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)、反函數(shù)等知識.
錯解分析:在求f--1(1)的值時易走彎路.
技巧與方法:等價轉(zhuǎn)化,逆向思維.
解:(1)f(x)=2cosxsin(x+)-sin2x+sinxcosx
=2cosx(sinxcos+cosxsin)-sin2x+sinxcosx
∴f(x)的最小正周期T=π
(2)當2x+=2kπ-,即x=kπ- (k∈Z)時,f(x)取得最小值-2.
●錦囊妙計
本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有:
1.求值問題的基本類型:1°給角求值,2°給值求值,3°給式求值,4°求函數(shù)式的最值或值域,5°化簡求值.
2.技巧與方法:
1°要尋求角與角關(guān)系的特殊性,化非特角為特殊角,熟練準確地應用公式.
2°注意切割化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運用.
3°對于條件求值問題,要認真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系,尋找解題的突破口,很難入手的問題,可利用分析法.
4°求最值問題,常用配方法、換元法來解決.
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★★)已知方程x2+4ax+
二、填空題
三、解答題
難點磁場
∴sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]
=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)
∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α-β)=-
sin2α-sin2β=2cos(α+β)sin(α-β)=-
殲滅難點訓練
一、1.解析:∵a>1,tanα+tanβ=-
tanα+tanβ=
答案:B
三、4.答案:2
7.解:以OA為x軸.O為原點,建立平面直角坐標系,并設P的坐標為(cosθ,sinθ),則
|PS|=sinθ.直線OB的方程為y=x,直線PQ的方程為y=sinθ.聯(lián)立解之得Q(sinθ;sinθ),所以|PQ|=cosθ-sinθ.
于是SPQRS=sinθ(cosθ-sinθ)=(sinθcosθ-sin2θ)=(sin2θ-)=(sin2θ+cos2θ-)= sin(2θ+)-.
∴sin(2θ+)=1時,PQRS面積最大,且最大面積是,此時,θ=,點P為的中點,P().
8.解:設u=sinα+cosβ.則u2+()2=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u2≤1,-1≤u≤1.即D=[-1,1],設t=,∵-1≤x≤1,∴1≤t≤.x=.
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