2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專(zhuān)題輔導(dǎo)十六

難點(diǎn)16  三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值

三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)和求值是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)使考生掌握化簡(jiǎn)和求值問(wèn)題的解題規(guī)律和途徑，特別是要掌握化簡(jiǎn)和求值的一些常規(guī)技巧，以?xún)?yōu)化我們的解題效果，做到事半功倍.

●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★★)已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________.

●案例探究

［例1］不查表求sin²20°+cos²80°+cos20°cos80°的值.

命題意圖：本題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法，對(duì)計(jì)算能力的要求較高.屬于★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：熟知三角公式并能靈活應(yīng)用.

錯(cuò)解分析：公式不熟，計(jì)算易出錯(cuò).

技巧與方法：解法一利用三角公式進(jìn)行等價(jià)變形；解法二轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，使解法更簡(jiǎn)單更精妙，需認(rèn)真體會(huì).

解法一：sin²20°+cos²80°+sin²20°cos80°

= (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80°

=1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)

=1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)

=1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin²20°

=1－cos40°－(1－cos40°)=

解法二：設(shè)x=sin²20°+cos²80°+sin20°cos80°

y=cos²20°+sin²80°－cos20°sin80°，則

x+y=1+1－sin60°=，x－y=－cos40°+cos160°+sin100°

=－2sin100°sin60°+sin100°=0

∴x=y=，即x=sin²20°+cos²80°+sin20°cos80°=.

［例2］設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos²x－2acosx－(2a+1)的最小值為f(a)，試確定滿(mǎn)足f(a)=的a值，并對(duì)此時(shí)的a值求y的最大值.

命題意圖：本題主要考查最值問(wèn)題、三角函數(shù)的有界性、計(jì)算能力以及較強(qiáng)的邏輯思維能力.屬★★★★★級(jí)題目

知識(shí)依托：二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題.

錯(cuò)解分析：考生不易考查三角函數(shù)的有界性，對(duì)區(qū)間的分類(lèi)易出錯(cuò).

技巧與方法：利用等價(jià)轉(zhuǎn)化把問(wèn)題化歸為二次函數(shù)問(wèn)題，還要用到配方法、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)講座等.

解：由y=2(cosx－)²－及cosx∈［－1，1］得：

f(a)

∵f(a)=,∴1－4a=a=［2,+∞

故－－2a－1=，解得：a=－1，此時(shí)，

y=2(cosx+)²+，當(dāng)cosx=1時(shí)，即x=2kπ，k∈Z，y_max=5.

［例3］已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+)－sin²x+sinxcosx

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的最小值及取得最小值時(shí)相應(yīng)的x的值；

(3)若當(dāng)x∈［，］時(shí)，f(x)的反函數(shù)為f^－1(x)，求f^-－1(1)的值.

命題意圖：本題主要考查三角公式、周期、最值、反函數(shù)等知識(shí)，還考查計(jì)算變形能力，綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，屬★★★★★級(jí)題目.

知識(shí)依托：熟知三角函數(shù)公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)、反函數(shù)等知識(shí).

錯(cuò)解分析：在求f^-－1(1)的值時(shí)易走彎路.

技巧與方法：等價(jià)轉(zhuǎn)化，逆向思維.

解：(1)f(x)=2cosxsin(x+)－sin²x+sinxcosx

=2cosx(sinxcos+cosxsin)－sin²x+sinxcosx

=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)

∴f(x)的最小正周期T=π

(2)當(dāng)2x+=2kπ－，即x=kπ－ (k∈Z)時(shí)，f(x)取得最小值－2.

(3)令2sin(2x+)=1，又x∈［］,

∴2x+∈［,］,∴2x+=，則

x=，故f^-－1(1)= .

●錦囊妙計(jì)

本難點(diǎn)所涉及的問(wèn)題以及解決的方法主要有：

1.求值問(wèn)題的基本類(lèi)型：1°給角求值，2°給值求值，3°給式求值，4°求函數(shù)式的最值或值域，5°化簡(jiǎn)求值.

2.技巧與方法：

1°要尋求角與角關(guān)系的特殊性，化非特角為特殊角，熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式.

2°注意切割化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運(yùn)用.

3°對(duì)于條件求值問(wèn)題，要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系，尋找解題的突破口，很難入手的問(wèn)題，可利用分析法.

4°求最值問(wèn)題，常用配方法、換元法來(lái)解決.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

試題詳情

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二、填空題

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三、解答題

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難點(diǎn)磁場(chǎng)

解法一：∵＜β＜α＜,∴0＜α－β＜.π＜α+β＜,

∴sin(α－β)=

∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］

=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)

解法二：∵sin(α－β)=,cos(α+β)=－,

∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－

sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－

∴sin2α=

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0.

tanα+tanβ=3a+1＞0,又α、β∈(－,)∴α、β∈(－,θ),則∈(－,0),又tan(α+β)=,

整理得2tan²=0.解得tan=－2.

答案：B

2.解析：∵sinα=,α∈(,π),∴cosα=－

則tanα=－,又tan(π－β)=可得tanβ=－,

答案：

3.解析：α∈(),α－∈(0, ),又cos(α－)=.

答案：

三、4.答案：2

（k∈Z）, （k∈Z）

∴當(dāng)即（k∈Z）時(shí),的最小值為－1.

7.解：以OA為x軸.O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)P的坐標(biāo)為(cosθ,sinθ)，則

｜PS｜=sinθ.直線(xiàn)OB的方程為y=x，直線(xiàn)PQ的方程為y=sinθ.聯(lián)立解之得Q(sinθ；sinθ)，所以｜PQ｜=cosθ－sinθ.

于是S_PQRS=sinθ(cosθ－sinθ)=(sinθcosθ－sin²θ)=(sin2θ－)=(sin2θ+cos2θ－)= sin(2θ+)－.

∵0＜θ＜,∴＜2θ+＜π.∴＜sin(2θ+)≤1.

∴sin(2θ+)=1時(shí)，PQRS面積最大，且最大面積是，此時(shí)，θ=，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，P().

8.解：設(shè)u=sinα+cosβ.則u²+()²=(sinα+cosβ)²+(cosα+sinβ)²=2+2sin(α+β)≤4.∴u²≤1,－1≤u≤1.即D=［－1,1］,設(shè)t=,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤.x=.