第二章 函數(shù)
一、映射與函數(shù)
1. 映射:設(shè)A、B是兩個集合,如果按照某種對應(yīng)法則,對于集合的 元素,在集合中都有 元素與它對應(yīng),那么這樣的對應(yīng)叫做 映射,記作: .
2. 一一映射: 如果映射滿足:⑴對于中的不同元素,在集合中有 的象;⑵中的 都有原象,那么叫做到的一一映射.
3. 函數(shù):設(shè)A、B是 ,如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系,對于集合中
的 數(shù),在集合中都有 數(shù)和它對應(yīng),那么就稱為集合到集合一個的函數(shù),記作,.其中叫做 ,的取值范圍叫做函數(shù)的 ;與的值相對應(yīng)的的值叫做 ,函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的 。
4. 區(qū)間:設(shè),且,則區(qū)間={ },
5. 函數(shù)三要素:⑴ ;⑵ ;⑶ .
6. 函數(shù)的表示法:⑴ ;⑵ ;⑶ .
7. 分段函數(shù):若函數(shù)在定義域的不同子集上有不同的對應(yīng)法則,可用幾個式子來表示函數(shù),這種函數(shù)叫做分段函數(shù).
8. 復(fù)合函數(shù):若是的函數(shù),又是的函數(shù),即:,,,,那么關(guān)于的函數(shù),叫做和的復(fù)合函數(shù).
二、函數(shù)的解析式
9、如果一個函數(shù)的對應(yīng)法則可以用一個數(shù)學(xué)式子來表示,那么這個數(shù)學(xué)式子就叫函數(shù)的解析式.求兩個變量的函數(shù)關(guān)系時,一是求出它們之間的對應(yīng)法則,二是求出函數(shù)的定義域.
10、求解析式的常用方法:
⑴ 已知解析式的結(jié)構(gòu)時,可用待定系數(shù)法
⑵ 已知復(fù)合函數(shù)的表達式時,可用換元法;
⑶ 已知抽象函數(shù)表達式時,可用消元法.
三、函數(shù)的定義域
11、 求定義域時需要考慮:⑴分式的 ;⑵偶次根式的 ;⑶對數(shù)式的 ;⑷指數(shù)、對數(shù)式的 ;⑸由一些基本函數(shù)通過四則運算得到解析式使解析式有意義.
12、 已知的定義域為,則的定義域由 解出;已知的定義域為,則的定義域為 .
四、函數(shù)的值域和最值
13、函數(shù)的值域取決于函數(shù)的對應(yīng)法則、定義域.
14、求函數(shù)值域的常用方法:(寫出四種)
1)____________ 2)______________ 3)____________ 4)_______________
15.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)可導(dǎo),且只有一個點使得,若函數(shù)在這點處有極大(。┲,則該值是_________________
16.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有_______________
五、函數(shù)的單調(diào)性:
17、定義:
⑴對于給定區(qū)間上的函數(shù),如果對于這個區(qū)間上的任意兩個自變量的值,當時都有 ,那么就說是這個區(qū)間上的增函數(shù);
⑵對于給定區(qū)間上的函數(shù),如果對于這個區(qū)間上的任意兩個自變量的值,當時都有 ,那么就說是這個區(qū)間上的減函數(shù).
⑶如果函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù),就說函數(shù)在這個區(qū)間上具有 _____________,這個區(qū)間叫做函數(shù)的 .
18、判定:
⑴ 用定義:取值、作差、變形定號、作出結(jié)論
⑵ 利用圖象;
⑶ 利用復(fù)合函數(shù):
寫出的單調(diào)區(qū)間:
____________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
____________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
寫出的單調(diào)區(qū)間:
____________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
____________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
(4)利用導(dǎo)數(shù):函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo),若,則在該區(qū)間是_________;
若,則在該區(qū)間是_________。
19、常見函數(shù)的單調(diào)性:
時,在_________上___________
時,在_________上___________
時,在___________________________上___________
時,在___________________________上___________
增
增
減
減
20、
增
減
減
增
增
增
增
減
減
增
減
減
六、奇函數(shù),偶函數(shù):
21、奇函數(shù):
(1) 定義:①
②
(2) 圖象性質(zhì):___________________________________
(3) 奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上單調(diào)性_______
(4) 若0在其定義域內(nèi),則______
22、偶函數(shù):
(1)定義:①
②
(2)圖象性質(zhì):___________________________________
(3)偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上單調(diào)性_______
23、奇奇得偶;偶偶得偶;奇偶得奇。
七、周期性:
24、已知函數(shù)的定義域為D,若存在一個非零常數(shù)T,使時,都有________________
則稱為周期函數(shù),_______叫做這個函數(shù)的周期。
八、反函數(shù):
25、反函數(shù)存在的條件:
⑴如果一個函數(shù)是________映射,那么這個函數(shù)必有反函數(shù).
⑵如果一個函數(shù)具有 那么這個函數(shù)必有反函數(shù).
26、求反函數(shù)的步驟:⑴ ;⑵ ;⑶ .
27、反函數(shù)的性質(zhì):
(1)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱;
(2)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)在各自的定義域內(nèi)具有相同的 .
(3)如果一個函數(shù)有反函數(shù)且為奇函數(shù),那么它的反函數(shù)也為_________
九、圖象變換
28、對稱變換:
①y = f(x)與___________關(guān)于x軸對稱
②y =f(x)與____________關(guān)于y軸對稱
③y =f(x)與____________關(guān)于原點對稱
④若_____________________,則關(guān)于__________對稱
29、平移變換:()
的圖象可由____________________________________得到
的圖象可由____________________________________得到
的圖象可由____________________________________得到
的圖象可由____________________________________得到
30、翻折變換:
的圖象可由______________________________________得到
的圖象可由______________________________________得到
十、二次函數(shù)
31、函數(shù)
1)寫出的頂點式(即配方式)_____________________________
2)若已知的兩根是、,則_____________________________
3)單調(diào)性:若,則(___________________)時,單調(diào)遞減
則(___________________)時,單調(diào)遞增
若,則(___________________)時,單調(diào)遞減
則(___________________)時,單調(diào)遞增
4)討論在閉區(qū)間上的最值 ()
①
②
③
5)討論的根在某區(qū)間上的分布情況 ()
①在區(qū)間上有且僅有一根,則_________________________________
②在區(qū)間上有兩根,則_____________________________________________________
③在區(qū)間、上各有一根,則______________________________
十一、指數(shù):
32、整數(shù)指數(shù)冪概念:
________
33、的次方根的概念
一般地,如果一個數(shù)的次方等于,那么這個數(shù)叫做的次方根,
即: 若,則叫做的次方根,
說明: ①若是奇數(shù),則的次方根記作; 若則,若則;
②若是偶數(shù),且,則的正次方根記作,的負次方根,記作:;
③若是偶數(shù),且,則沒意義,即負數(shù)沒有偶次方根;
④ ∴;
⑤式子叫根式,叫根指數(shù),叫被開方數(shù)。 ∴.
34、的次方根的性質(zhì)
一般地,若是奇數(shù),則 ;
若是偶數(shù),則________。
35、分數(shù)指數(shù)冪:
(1)正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是 ;
(2)正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是 = .
36、分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì):整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于分數(shù)指數(shù)冪也同樣適用
即 (1) (2)
(3)
說明:(1)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對無理數(shù)指數(shù)冪同樣適用;
(2)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒意義。
十二、指數(shù)函數(shù):
37、指數(shù)函數(shù)定義: 一般地,函數(shù)(且)叫做指數(shù)函數(shù),其中是自變量。
38、指數(shù)函數(shù)在底數(shù)及這兩種情況下的圖象和性質(zhì):
圖象
性質(zhì)
(1)定義域:
(2)值域:
(3)過點( , ) ,
當時,_____;
當時,_____;
越___,圖象越靠近_________
(3)過點( , ) ,
當時,_____;
當時,_____;
越___,圖象越靠近_________
(4)單調(diào)性:在 上是 函數(shù)
(4)單調(diào)性:在 上是 函數(shù)
十三、對數(shù)
39、對數(shù)定義:一般地,如果()的次冪等于N, 就是,那么數(shù) b叫做a為底 N的對數(shù),記作 ,a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)。
即 。
說明:1.在指數(shù)式中冪N > 0,∴在對數(shù)式中,真數(shù)N > 0.(負數(shù)與零沒有對數(shù))
2.對任意 且 , 都有 ∴_______,_______.
3.如果把中的寫成, 則有 __________(對數(shù)恒等式).
4.兩種特殊的對數(shù): ①常用對數(shù):以10作底 寫成
②自然對數(shù):以作底為無理數(shù),= 2.71828…… , 寫成 .
40、對數(shù)的運算性質(zhì):
如果 a > 0 , a ¹ 1, M > 0 ,N > 0,那么 (1) ;
(2) ; (3) .
41、換底公式: ( a > 0 , a ¹ 1 ;)
說明:兩個較為常用的推論:
(1) ____; (2) (、且均不為1).
十四、對數(shù)函數(shù)
42、對數(shù)函數(shù)的定義:一般地,函數(shù) 叫做對數(shù)函數(shù),其中是自
變量。
43、對數(shù)函數(shù)在底數(shù)及這兩種情況下的圖象和性質(zhì)列表:
圖
象
性
質(zhì)
(1)定義域:
(2)值域:
(3)過點( , ),
當時,_____;
當時,_____;
越___,圖象越靠近_________
(3)過點( ,。,
當時,_____;
當時,_____;
越___,圖象越靠近_________
(4)單調(diào)性:在______上是 函數(shù)
(4)單調(diào)性:在______上是 函數(shù)
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