高 二 數(shù) 學(xué) 水 平 測 試 卷
考生注意:1)本試卷共八個大題,滿分150分,考試時間120分鐘;
2)內(nèi)容:高一(上、下),高二(上、下);
3)考生需寫出必要的推理、演算過程,否則記為0分;
4)將解答寫在答題紙上,并標(biāo)明題號,在試卷上作答無效。
一.本題共5個小題,每題7分,共35分。
1. 已知集合A={1,2,3},集合B={4,5},定義A*B=,
寫出A*B中的所有元素。
2. 已知,函數(shù),并且當(dāng)時,,證明:
3. 求n的值:
4. 求和:
5.求證:
二.(15分)在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且,
1)求的值;(7分)
2)若,求bc的最大值。(8分)
1)求P點的軌跡是什么曲線?(8分)
三.(15分)已知兩點M(--1,0),N(1,0),且點P使,,成公差小于零的等差數(shù)列
2)若點P的坐標(biāo)為,記為與的夾角,求。(7分)
求 1)A,B兩組中有一組恰有2支弱隊的概率(8分)
2)A組中至少有2支弱隊的概率。(7分)
四.(15分)已知8支球隊共有3支弱隊,以抽簽方式將這8支球隊分為A,B兩組,每組4支
五.(15分)已知數(shù)列的前n項和滿足
1)寫出數(shù)列的前三項(7分)
2)求數(shù)列的通項公式。(8分)
六.(15分)已知橢圓,橢圓上有不同的三點A,B,C且 成等差數(shù)列
(1)求弦AC的中點M的橫坐標(biāo);
(2)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為
七.(20分)如圖,在四棱錐中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱底面ABCD,,E是PC的中點,作交PB于點F。
1)證明 平面;(6分)
2)證明平面EFD; (7分)
3)求二面角的大小。(7分)
八.(20分)設(shè)函數(shù)的定義域為R,對任意實數(shù)m, n總有,且x>0時,。
1)證明:,且時,;(7分)
2)證明:在R上單調(diào)遞減;(6分)
3)設(shè),,若,確定a的取值范圍。(7分)
答 案
一.本題共5個小題,每題7分,共35分。
1.已知集合A={1,2,3},集合B={4,5},定義A*B=,
寫出A*B中的所有元素。
答:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)
2.已知,函數(shù),并且當(dāng)時,,證明:
證明:因時,,所以當(dāng)x=0時,有
3.求n的值:
解:中最大的為,, 有 于是
所以n=3,4,5,6
4. 求和:
解:
于是
5.求證:
證明:
==<=2
二.(15分)在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且,
1)求的值;(7分)
2)若,求bc的最大值。(8分)
解:1)=
2)
當(dāng)且僅當(dāng)時,bc取最大值
1)求P點的軌跡是什么曲線?(8分)
三.(15分)已知兩點M(--1,0),N(1,0),且點P使,,成公差小于零的等差數(shù)列
2)若點P的坐標(biāo)為,記為與的夾角,求。(7分)
解:1)記,則有
=2(1+x),=2(1―x)
由題意得:
即 所以P點軌跡是以原點為圓心,為半徑的右半圓
2)點P的坐標(biāo)為,而,
又=
,,
于是
求 1)A,B兩組中有一組恰有2支弱隊的概率(8分)
2)A組中至少有2支弱隊的概率。(7分)
四.(15分)已知8支球隊共有3支弱隊,以抽簽方式將這8支球隊分為A,B兩組,每組4支
解:1) 或
2)
五.(15分)已知數(shù)列的前n項和滿足
1)寫出數(shù)列的前三項(7分)
2)求數(shù)列的通項公式。(8分)
解:1)由,得
由=,得
由,得
2)當(dāng)時,有
,,
所以
=
==
經(jīng)驗證也滿足上式,所以
六.(15分)已知橢圓,橢圓上有不同的三點A,B,C且 成等差數(shù)列
(1)求弦AC的中點M的橫坐標(biāo);
(2)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為
解:(1)由題意可得,,由焦半徑公式,得
由此有
故弦AC的中點的橫坐標(biāo)
(2)將代入,故點M的坐標(biāo)為(),則,又
由
即
七.(20分)如圖,在四棱錐中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱底面ABCD,,E是PC的中點,作交PB于點F。
1)證明 平面;(6分)
2)證明平面EFD; (7分)
3)求二面角的大小。(7分)
(方法一):
1. 證明:連結(jié)AC,AC交BD于O。連結(jié)EO。
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