[例1]設(shè)雙曲線的漸近線為:.求其離心率. 錯(cuò)解:由雙曲線的漸近線為:.可得:.從而 剖析:由雙曲線的漸近線為是不能確定焦點(diǎn)的位置在x軸上的.當(dāng)焦點(diǎn)的位置在y軸上時(shí)..故本題應(yīng)有兩解.即: 或. ［例2］設(shè)點(diǎn)P(x,y)在橢圓上.求的最大.最小值. 錯(cuò)解:因 ∴.得:.同理得:.故 ∴最大.最小值分別為3,-3. 剖析:本題中x.y除了分別滿足以上條件外.還受制約條件的約束.當(dāng)x=1時(shí),y此時(shí)取不到最大值2,故x+y的最大值不為3.其實(shí)本題只需令.則.故其最大值為.最小值為. ［例3］已知雙曲線的右準(zhǔn)線為.右焦點(diǎn),離心率,求雙曲線方程. 錯(cuò)解一: 故所求的雙曲線方程為 錯(cuò)解二: 由焦點(diǎn)知 故所求的雙曲線方程為 錯(cuò)因: 這兩個(gè)解法都是誤認(rèn)為雙曲線的中心在原點(diǎn).而題中并沒(méi)有告訴中心在原點(diǎn)這個(gè)條件.由于判斷錯(cuò)誤.而造成解法錯(cuò)誤.隨意增加.遺漏題設(shè)條件.都會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤解法. 解法一: 設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn).因?yàn)殡p曲線的右準(zhǔn)線為.右焦點(diǎn).離心率.由雙曲線的定義知 整理得 解法二: 依題意.設(shè)雙曲線的中心為, 則 解得 ,所以 故所求雙曲線方程為 ［例4］設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn).長(zhǎng)軸在軸上.離心率.已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的最遠(yuǎn)距離是.求這個(gè)橢圓的方程. 錯(cuò)解:依題意可設(shè)橢圓方程為 則 . 所以 .即 設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為. 則 所以當(dāng)時(shí).有最大值.從而也有最大值. 所以 .由此解得: 于是所求橢圓的方程為 錯(cuò)因:盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的.但這種解法卻是錯(cuò)誤的.結(jié)果正確只是碰巧而已.由當(dāng)時(shí).有最大值.這步推理是錯(cuò)誤的.沒(méi)有考慮到的取值范圍.事實(shí)上.由于點(diǎn)在橢圓上.所以有.因此在求的最大值時(shí).應(yīng)分類討論. 正解:若.則當(dāng)時(shí).(從而)有最大值. 于是從而解得. 所以必有.此時(shí)當(dāng)時(shí).(從而)有最大值. 所以.解得 于是所求橢圓的方程為 ［例5］從橢圓,(>b>0)上一點(diǎn)M向x軸所作垂線恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1.A.B分別是橢圓長(zhǎng).短軸的端點(diǎn).AB∥OM.設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn).當(dāng)QF2⊥AB時(shí).延長(zhǎng)QF2與橢圓交于另一點(diǎn)P.若⊿F1PQ的面積為20.求此時(shí)橢圓的方程. 解:本題可用待定系數(shù)法求解. ∵b=c, =c.可設(shè)橢圓方程為. ∵PQ⊥AB,∴kPQ=-.則PQ的方程為y=(x-c). 代入橢圓方程整理得5x2-8cx+2c2=0. 根據(jù)弦長(zhǎng)公式.得, 又點(diǎn)F1到PQ的距離d=c ∴ ,由 故所求橢圓方程為. ［例6］已知橢圓:.過(guò)左焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交橢圓于A.B兩點(diǎn).求弦AB的長(zhǎng). 解:a=3,b=1,c=2; 則F(-2.0) 由題意知:與聯(lián)立消去y得: 設(shè)A(.B(.則是上面方程的二實(shí)根.由違達(dá)定理. .又因?yàn)锳.B.F都是直線上的點(diǎn). 所以|AB|= 點(diǎn)評(píng):也可利用“焦半徑 公式計(jì)算. ［例7］設(shè)P是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn).Q為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).求|PQ|的最大值. 解: 依題意可設(shè)P(0,1).Q().則|PQ|＝.又因?yàn)镼在橢圓上.所以..|PQ|2＝＝ ＝. 因?yàn)椤?.＞1.若≥.則≤1.當(dāng)時(shí).|PQ|取最大值,若1＜＜.則當(dāng)時(shí).|PQ|取最大值2. ［例8］已知雙曲線的中心在原點(diǎn).過(guò)右焦點(diǎn)F(2.0)作斜率為的直線.交雙曲線于M.N 兩點(diǎn).且=4.求雙曲線方程. 解:設(shè)所求雙曲線方程為.由右焦點(diǎn)為(2.0).知C=2.b2=4-2 則雙曲線方程為.設(shè)直線MN的方程為:.代入雙曲線方程整理得:(20-82)x2+122x+54-322=0 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則. . 解得 .. 故所求雙曲線方程為:. 點(diǎn)評(píng):利用待定系數(shù)法求曲線方程.運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系將兩根之和與積整體代入.體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體思想.也簡(jiǎn)化了計(jì)算.要求學(xué)生熟練掌握. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知雙曲線C的方程為：=1，
（1）求雙曲線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；
（2）設(shè)雙曲線C的右準(zhǔn)線與其中一條漸近線相交于點(diǎn)D，點(diǎn)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，證明△ODF為直角三角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。

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橢圓C：，雙曲線兩漸近線為l1、l2，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l1，又設(shè)l與l2交于點(diǎn)P，l與C兩交點(diǎn)自上而下依次為A、B；
（1）當(dāng)l1與l2夾角為，雙曲線焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程及其離心率；
（2）若=λ，求λ的最小值．

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橢圓C：，雙曲線兩漸近線為l1、l2，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l1，又設(shè)l與l2交于點(diǎn)P，l與C兩交點(diǎn)自上而下依次為A、B；
（1）當(dāng)l1與l2夾角為，雙曲線焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程及其離心率；
（2）若=λ，求λ的最小值．

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如圖，已知雙曲線C1：=1（m＞0，n＞0），圓C2：（x-2）2+y2=2，雙曲線C1的兩條漸近線與圓C2相切，且雙曲線C1的一個(gè)頂點(diǎn)A與圓心C2關(guān)于直線y=x對(duì)稱，設(shè)斜率為k的直線l過(guò)點(diǎn)C2．
（1）求雙曲線C1的方程；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，在雙曲線C1的上支上求一點(diǎn)P，使其與直線l的距離為2．

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橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1兩漸近線為l1、l2，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l1，又設(shè)l與l2交于點(diǎn)P，l與C兩交點(diǎn)自上而下依次為A、B；
（1）當(dāng)l1與l2夾角為
π
3
，雙曲線焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程及其離心率；
（2）若
FA
=λ
AP
，求λ的最小值．

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