[例1] {}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項(xiàng)和為,并且對(duì)于所有的自然數(shù),與2的等差中項(xiàng)等于與2的等比中項(xiàng).

(1)寫出數(shù)列{}的前3項(xiàng);

(2)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式(寫出推證過(guò)程);

錯(cuò)解：由(1)猜想數(shù)列{}有通項(xiàng)公式=4-2.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是

=4-2.　 (∈N).

①當(dāng)=1時(shí),因?yàn)?×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述結(jié)論成立.

②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即有=4-2.由題意,有

將=4-2代入上式，得，解得

由題意,有

將代入，化簡(jiǎn)得

解得.∴

這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí),上述結(jié)論成立.

根據(jù)①、②,上述結(jié)論對(duì)所有的自然數(shù)n成立.

錯(cuò)因在于解題過(guò)程中忽視了取值的取舍.　

正解：由(1)猜想數(shù)列{an}有通項(xiàng)公式a_n=4n-2.

猜想數(shù)列{}有通項(xiàng)公式=4-2.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是

=4-2.　 (∈N).

①當(dāng)=1時(shí),因?yàn)?×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述結(jié)論成立.

②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即有=4-2.由題意,有

將=4-2代入上式，得，解得

由題意,有

將代入，化簡(jiǎn)得

解得.由∴

這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí),上述結(jié)論成立.

根據(jù)①、②,上述結(jié)論對(duì)所有的自然數(shù)n成立.

[例2]　用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于任意自然數(shù)，

錯(cuò)解：證明：假設(shè)當(dāng)(N)時(shí)，等式成立，

　　　即，

　　　那么當(dāng)時(shí)，

　　　這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，等式成立．

　　可知等式對(duì)任意N成立．

錯(cuò)因在于推理不嚴(yán)密，沒(méi)有證明當(dāng)的情況 ．

正解：證明：(1)當(dāng)時(shí)，左式，右式，所以等式成立．

　　　(2)假設(shè)當(dāng)()時(shí)，等式成立，

　　　即，

　　　那么當(dāng)時(shí)，

　　　這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，等式成立．

　　　由(1)、(2)，可知等式對(duì)任意N成立．

[例3]　是否存在自然數(shù)，使得對(duì)任意自然數(shù)，都能被整除，若存在，求出的最大值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由．

　分析　本題是開放性題型，先求出，，…再歸納、猜想、證明．

解：，

，

，

　　……

　　猜想， 能被36整除，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

　　(1)當(dāng)時(shí)，，能被36整除．

　　(2)假設(shè)當(dāng)，(N)時(shí)，能被36整除．

　　那么，當(dāng)時(shí)，

　　由歸納假設(shè)，能被36整除，

　　當(dāng)為自然數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則能被36整除．

　　∴ 能被36整除，

　　這就是說(shuō)當(dāng)時(shí)命題成立．

　　由(1)、(2)對(duì)任意，都能被36整除．

　　當(dāng)取大于36的自然數(shù)時(shí)，不能被整除，所以36為最大．

　[例4] 設(shè)點(diǎn)是曲線C：與直線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交軸于，過(guò)點(diǎn)作直線的平行線交曲線C于，再過(guò)點(diǎn)作的垂線作交X軸于，如此繼續(xù)下去可得到一系列的點(diǎn)，，…，，…如圖，試求的橫坐標(biāo)的通項(xiàng)公式．

　分析 本題并沒(méi)有指明求通項(xiàng)公式的方法，可用歸納--猜想--證明的方法，也可以通過(guò)尋求與的遞推關(guān)系式求的通項(xiàng)公式．

解：解法一　 與(，)聯(lián)立，解得

　直線的方程為，　令，得，所以點(diǎn)

　直線的方程為與聯(lián)立，消元得()，解得，　所以點(diǎn)(，)．

直線的方程為，

　令，得，所以點(diǎn)　同樣可求得點(diǎn)(，0)

　　　……

　由此推測(cè)(，0)，即

　　用數(shù)學(xué)歸納法證明

　　(1)當(dāng)時(shí)，由點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)，

　　即，所以命題成立．

　　(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，

　　　即，0)，則當(dāng)時(shí)，

　　　由于直線的方程為，

　　　把它與(，)聯(lián)立，

　　　消去可得()，

　　　∴

　　　于是

　　　即點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)．

　　　∴ 直線的方程為

　　　令得，

　　　即點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)

　　　∴ 當(dāng)時(shí)，命題成立．

　解法二　設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為(，0)、(，0)，

　　　建立與的遞推關(guān)系，即，

　　　由數(shù)列是等差數(shù)列，且，公差

　　　可求得()，．

用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n有關(guān)的幾何命題，由k過(guò)渡到k+1常利用幾何圖形來(lái)分析圖形前后演變情況．

[例5] 有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚�(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓把平面分成f(n)＝n²-n+2個(gè)部分．

證明①當(dāng)n＝1時(shí)，即一個(gè)圓把平面分成二個(gè)部分f(1)=2

又n＝1時(shí)，n²-n+2＝2，∴命題成立

②假設(shè)n＝k時(shí)，命題成立，即k個(gè)圓把平面分成f(k)＝k²-k+2個(gè)

部分，那么設(shè)第k+1個(gè)圓記⊙O，由題意，它與k個(gè)圓中每個(gè)圓

交于兩點(diǎn)，又無(wú)三圓交于同一點(diǎn)，于是它與其它k個(gè)圓相交于2k

個(gè)點(diǎn)．把⊙O分成2k條弧而每條弧把原區(qū)域分成2塊，因此這平

面的總區(qū)域增加2k塊，即f(k+1)＝k²-k+2+2k=(k+1)²-(k+1)+2

即n＝k+1時(shí)命題成立．

由①②可知對(duì)任何n∈N命題均成立．

說(shuō)明:　 本題如何應(yīng)用歸納假設(shè)及已知條件，其關(guān)鍵是分析k增加“1”時(shí)，研究第k+1個(gè)圓與其它k個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．

　[例6] 已知n≥2，n∈N

②假設(shè)n=k時(shí)，原不等式成立．

由①②可知，對(duì)任何n∈N(n≥2)，原不等式均成立．

3. 數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法，歸納推理是一種推理方法.

2. 應(yīng)用反證法證明命題的邏輯依據(jù)：做出與命題結(jié)論相矛盾的假定，由假定出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果

1.歸納推理是根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理.

而類比推理是根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似性，推出其中一類事物具有另一類事物類似的性質(zhì)的推理.

14.　 數(shù)學(xué)歸納法的步驟：

　　 (1)證明當(dāng) (如 或2等)時(shí)，結(jié)論正確；

　　 (2)假設(shè) 時(shí)結(jié)論正確，證明 時(shí)結(jié)論也正確．

13.　 數(shù)學(xué)歸納法：設(shè){p_n}是一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的命題集合，如果⑴證明起始命題p₁成立；⑵在假設(shè)p_k成立的前提上，推出p_k+1也成立，那么可以斷定，{p_n}對(duì)一切正整數(shù)成立.

12.　 應(yīng)用反證法證明命題的一般步驟：⑴分清命題的條件和結(jié)論；⑵做出與命題結(jié)論相矛盾的假定；⑶由假定出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果；⑷間接證明命題為真.

11.　 反證法：判定非q為假，推出q為真的方法.

10.　 綜合法：從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的思維方法.　

9.　　 分析法：從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法.