5.(04全國(guó)卷Ⅳ25)如圖所示,在一光滑的水平面上有兩塊相同的木板B和C.重物A(視為質(zhì)點(diǎn))位于B的右端,A、B、C的質(zhì)量相等.現(xiàn)A和B以同一速度滑向靜止的C,B與C發(fā)生正碰.碰后B和C粘在一起運(yùn)動(dòng)，A在C上滑行,A與C有摩擦力.已知A滑到C的右端而未掉下.試問(wèn)：

B、C發(fā)生正碰到A剛移動(dòng)到C右端期間,C所走過(guò)的距離是C板長(zhǎng)

度的多少倍？

　 答案　 倍

　 解析　　 設(shè)A、B、C的質(zhì)量均為m.碰撞前,A與B的共同速度為v0,碰撞后B與C的共同速度為v1。對(duì)B、C,由動(dòng)量守恒定律得　 mv0=2mv1　　 　　　　　 　�、�

設(shè)A滑至C的右端時(shí),三者的共同速度為v2.對(duì)A、B、C,由動(dòng)量守恒定律得　

2mv0=3mv1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　 ②

設(shè)A與C的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,從發(fā)生碰撞到A移至C的右端時(shí)C所走過(guò)的距離為S.對(duì)B、C由功能關(guān)系

μ(2m)gs=(2m)v22-(2m)v12　　　　　　　　　　　 ③

Μmg(s+l)= mv02-mv22　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

由以上各式解得=

4.(04上海21)滑雪者從A點(diǎn)由靜止沿斜面滑下,經(jīng)一平臺(tái)后水平飛離B點(diǎn),

地面上緊靠平臺(tái)有一個(gè)水平臺(tái)階,空間幾何尺度如圖所示.斜面、平臺(tái)與滑雪

板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ.假設(shè)滑雪者由斜面底端進(jìn)入平臺(tái)后立即沿水平方

向運(yùn)動(dòng),且速度大小不變.求:

(1)滑雪者離開(kāi)B點(diǎn)時(shí)的速度大�。�

(2)滑雪者從B點(diǎn)開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離s.

答案 (1)　

(2)當(dāng)H-μL<2h時(shí),s=當(dāng)H-μL>2h時(shí),s=2

解析　　 (1)設(shè)滑雪者質(zhì)量為m,斜面與水平面間的夾角為θ,滑雪者滑行過(guò)程中克服摩擦力做功W=μmgs?cosθ+μmg(L-scosθ)=μmgL

由動(dòng)能定理mg(H-h)-μmgL=mv2

離開(kāi)B點(diǎn)時(shí)的速度v=

(2)設(shè)滑雪者離開(kāi)B點(diǎn)后落在臺(tái)階上=gt12,s1=vt1<h

可解得s1=<h

此時(shí)必須滿足H-μL<2h.

當(dāng)H-μL>2h時(shí),滑雪者直接落到地面上.h=gt22,s=vt2

可解得s=2

3.(04廣東14)一質(zhì)量為m的小球,以初速度v0沿水平方向射出,恰好垂直地射到一傾角為30°的固定斜面上,并立即沿反方向彈回.已知反彈速度的大小是入射速度大小的,求在碰撞過(guò)程中斜面對(duì)小球的沖量大小.

答案　

解析　 令小球與斜面相碰時(shí)速度大小為v,由題意可知,碰后的速度大小為v,因小球與斜面垂直相碰撞,后被反彈回,則碰撞中斜面對(duì)小球的沖量大小為I,(設(shè)定反彈回的速度方向?yàn)檎?由動(dòng)量定理得:

I=Δp=m×v-(-mv)=

又因小球水平的初速度為v0,由右圖可得:v==2v0

所以碰撞中斜面對(duì)小球的沖量大小為:I==

2.(05北京春招24)下雪天,卡車在筆直的高速公路上勻速行駛.司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)前方停著一輛故障車,他將剎車踩到底,車輪被抱死,但卡車仍向前滑行,并撞上故障車,且推著它共同滑行了一段距離l后停下.事故發(fā)生后,經(jīng)測(cè)量,卡車剎車時(shí)與故障車距離為L(zhǎng),撞車后共同滑行的距離l=L.假定兩車輪胎與雪地之間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同.已知卡車質(zhì)量M為故障車質(zhì)量m的4倍.　

(1)設(shè)卡車與故障車相撞前的速度為v1,兩車相撞后的速度變?yōu)関2,求；

(2)卡車司機(jī)至少在距故障車多遠(yuǎn)處采取同樣的緊急剎車措施,事故才能免于發(fā)生.　

答案　　 (1)　　 (2) L

解析　　 (1)由碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒知　

Mv1=(M+m)v2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 TH①　

則

(2)設(shè)卡車剎車前速度為v0,輪胎與雪地之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,兩車相撞前卡車動(dòng)能變化　

Mv02-Mv12=μMgL　　　　　　　　　　　　 　　 　　　 ②　

碰撞后兩車共同向前滑動(dòng)到最后靜止,動(dòng)能變化　

(M+m)v22-0=μ(M+m)gl　　　　　　　　　　　　　　 ③　

由②式得v02-v12=2μgL　

由③式得v22=2μgl　

又因l=L,得v02=3μgL　

如果卡車滑到故障車前剛好停止,由　

Mv02-0=μMgL′　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④　

故L′=L　

這意味著卡車司機(jī)在距故障車至少L處緊急剎車,事故就能夠免于發(fā)生.　

1.(05廣東18) 如圖所示，兩個(gè)完全相同的質(zhì)量為m的木板A、B置

于水平地面上，它們的間距s=2.88 m.質(zhì)量為2m、大小可忽略的物

塊C置于A板的左端.C與A之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1=0.22，A、B與水平地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2=0.10，最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動(dòng)摩擦力.開(kāi)始時(shí)，三個(gè)物體處于靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)給C施加一個(gè)水平向右，大小為mg的恒力F，假定木板A、B碰撞時(shí)間極短且碰撞后粘連在一起.要使C最終不脫離木板，每塊木板的長(zhǎng)度至少應(yīng)為多少？　

答案　 0.3 m?

解析　 設(shè)A、C之間的滑動(dòng)摩擦力大小為f1，A與水平地面之間的滑動(dòng)摩擦力大小為f2　

∵μ1=0.22,μ2=0.10　

∴F=mg＜f1=2μ1mg　

且F=mg＞f2=μ2(2m+m)g　

∴一開(kāi)始A和C保持相對(duì)靜止，在F的作用下向右加速運(yùn)動(dòng)，有　

(F-f2)·s=(2m+m)v12

A、B兩木板的碰撞瞬間，內(nèi)力的沖量遠(yuǎn)大于外力的沖量，A、B組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律得：

mv1=(m+m)v2

碰撞結(jié)束后三個(gè)物體達(dá)到共同速度的相互作用過(guò)程中，設(shè)木板向前移動(dòng)的位移為x1，選三個(gè)物體構(gòu)成的整體為研究對(duì)象，外力之和為零，則　

2mv1+(m+m)v2=(2m+m+m)v3　

設(shè)A、B系統(tǒng)與水平地面之間的滑動(dòng)摩擦力大小為f3，對(duì)A、B系統(tǒng)，由動(dòng)能定理　

f1·s1-f3·s1=·2mv32-·2mv22　

f3=μ2(2m+m+m)g　

對(duì)C物體，由動(dòng)能定理　

F·(2l+x1)-f1·(2l+x1)= ·2mv32-·2mv12　

由以上各式、再代入數(shù)據(jù)可得l=0.3 m

12.(2005江蘇18)如圖所示,三個(gè)質(zhì)量均為m的彈性小球用兩根長(zhǎng)均為L(zhǎng)的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上,現(xiàn)給中間的小球B一個(gè)水平初速度v0,方向與繩垂直,小球相互碰撞時(shí)無(wú)機(jī)械能損失,輕繩不可伸長(zhǎng).求：　

(1)當(dāng)小球A、C第一次相碰時(shí),小球B的速度；

(2)當(dāng)三個(gè)小球再次處在同一直線上時(shí),小球B的速度；　

(3)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球A的最大動(dòng)能EkA和此時(shí)兩根繩的夾角θ；

(4)當(dāng)三個(gè)小球處在同一直線上時(shí),繩中的拉力F的大小.　

答案　 (1)v0　　 (2)-v0　　　 (3)90°　 (4)m　

解析　 (1)設(shè)小球A、C第一次相碰時(shí),小球B的速度為vB,考慮到對(duì)稱性及繩的不可伸長(zhǎng)特性,小球A、C沿小球B初速度方向的速度也為vB.由動(dòng)量守恒定律,得mv0=3mvB

由此解得vB=v0　

(2)當(dāng)三個(gè)小球再次處在同一直線上時(shí),則由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律,得　

mv0=mvB+2mvA

mv02=mvB2+2×mvA2

解得vB=-v0,vA=v0(三球再次處于同一直線)　

vB=v0,vA=0(初始狀態(tài),舍去)

所以三個(gè)小球再次處在同一直線上時(shí),小球B的速度為　

vB=-v0(負(fù)號(hào)表明與初速度方向相反)　

(3)當(dāng)小球A的動(dòng)能最大時(shí),小球B的速度為零.設(shè)此時(shí)小球A、C的速度大小為u,兩根繩間夾角為θ,則仍由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律,得：

mv0=2musin

mv02=2×mu2　

另外,EkA=mu2

由此解得,小球A的最大動(dòng)能為：　

EkA=mv02　

此時(shí)兩根繩間夾角為θ=90°　

(4)小球A、C均以半徑L繞小球B做圓周運(yùn)動(dòng),當(dāng)三個(gè)小球處在同一直線上時(shí),以小球B為參考系(小球B的加速度為零,為慣性參考系),小球A、C相對(duì)小球B的速度均為：　

v=|vA-vB|=v0　

所以,此時(shí)繩中拉力大小為：F=m=m　

題組三

11.(05全國(guó)理綜Ⅱ25)如圖所示,一對(duì)雜技演員(都視為質(zhì)點(diǎn))乘秋千(秋千繩處于水

平位置)從A點(diǎn)由靜止出發(fā)繞O點(diǎn)下擺,當(dāng)擺到最低點(diǎn)B時(shí),女演員在極短時(shí)間內(nèi)將

男演員沿水平方向推出,然后自己剛好能回到高處A.求男演員落地點(diǎn)C與O點(diǎn)的水

平距離s.已知男演員質(zhì)量m1和女演員質(zhì)量m2之比=2,秋千的質(zhì)量不計(jì),秋千的擺長(zhǎng)為R,C點(diǎn)比O點(diǎn)低5R.　 答案　 8 R

解析　 設(shè)分離前男女演員在秋千最低點(diǎn)B的速度為v0,由機(jī)械能守恒定律得

(m1+m2)gR=(m1+m2)v02　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①　

設(shè)剛分離時(shí)男演員速度大小為v1,方向與v0相同;女演員速度大小為v2,方向與v0相反,由動(dòng)量守恒得(m1+m2)v0=m1v1-m2v2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②　

分離后,男演員做平拋運(yùn)動(dòng),設(shè)男演員從被推出到落在C點(diǎn)所需的時(shí)間為t,根據(jù)題給條件,由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律　

4R=gt2　　　 ③　　　　

s=v1t　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 ④　

分離后,女演員恰回到A點(diǎn),由機(jī)械能守恒定律　

m2gR=m2v22　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤　

已知m1=2m2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥　

由以上各式得：s=8 R　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦　

10.(05天津理綜24)如圖所示，質(zhì)量mA為4.0 kg的木板A放在水平面C上，

　 木板與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為0.24，木板右端放著質(zhì)量mB為1.0 kg的

　 小物塊B(視為質(zhì)點(diǎn))，它們均處于靜止?fàn)顟B(tài).木板突然受到水平向右的12 N·s的瞬時(shí)沖量I作用開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小物塊滑離木板時(shí)，木板的動(dòng)能EKA為8.0 J，小物塊的動(dòng)能EKB為0.50 J，重力加速度取10 m/s2，求：

(1)瞬時(shí)沖量作用結(jié)束時(shí)木板的速度v0；　

(2)木板的長(zhǎng)度L.　

答案　 (1)3.0 m/s　　 (2)0.50 m?

解析(1)設(shè)水平向右為正方向，有　

I=mAv0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

代入數(shù)據(jù)解得

v0=3.0 m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

(2)設(shè)A對(duì)B、B對(duì)A、C對(duì)A的滑動(dòng)摩擦力的大小分別為FAB、FBA和FCA，B在A上滑行的時(shí)間為t，B離開(kāi)A時(shí)A和B的速度分別為vA和vB，有

-(FBA+FCA)t=mAvA-mAv0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

FABt=mBvB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 ④　

其中FAB=FBA

FCA=μ(mA+mb)g　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

設(shè)A、B相對(duì)于C的位移大小分別為SA和SB,

有-(FBA+FCA)SA=mAvA2-mAv02　　　　　　　　　　　　　 ⑥　

FABSB=EKB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦

動(dòng)量與動(dòng)能之間的關(guān)系為　

mAvA=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑧

mBvB=　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 ⑨　

木板A的長(zhǎng)度

L=sA-sB　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　 ⑩　

代入數(shù)據(jù)解得　

L=0.50 m

9.(2006重慶理綜25)如圖所示，半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直面內(nèi).小球

A、B質(zhì)量分別為m、βm(β為待定系數(shù)).A球從左邊與圓心等高處由靜止開(kāi)始沿軌

道下滑,與靜止于軌道最低點(diǎn)的B球相撞,碰撞后A、B球能達(dá)到的最大高度均為R,

碰撞中無(wú)機(jī)械能損失.重力加速度為g.試求:

(1)待定系數(shù)β;　

(2)第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)小球A、B各自的速度和B球?qū)�軌道的壓�?

(3)小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)各自的速度,并討論小球A、B在軌道最低處第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)各自的速度.

答案　 (1)β=3　　 (2)A:v1=-,方向向左;B:v2=,方向向右；4.5 mg,方向豎直向下

(3)A:V1=-, B:V2=0.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),小球A、B第n次碰撞結(jié)束時(shí)的速度分別與其第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),小球A、B在第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別與其第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同.

解析　　 (1)由mgR=+得β=3　

(2)設(shè)A、B碰撞后的速度分別為v1、v2,則　

mv12=

βmv22=　

設(shè)向右為正、向左為負(fù),得　

v1=-,方向向左　

v2=,方向向右　

設(shè)軌道對(duì)B球的支持力為N,B球?qū)�軌道的壓力為N′,方向豎直向上為正、向下為負(fù)，

則N-βmg=βm

N′=-N=-4.5 mg,方向豎直向下

(3)設(shè)A、B球第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別為V1、V2,則

解得V1=- ,V2=0　

(另一組解:V1=-v1,V2=-v2不合題意,舍去)　

由此可得:　

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),小球A、B在第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別與其第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),小球A、B在第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別與其第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同.　

8.(2006江蘇17)如圖所示，質(zhì)量均為m的A、B兩個(gè)彈性小球，用長(zhǎng)為2l的不可

伸長(zhǎng)的輕繩連接.現(xiàn)把A、B 兩球置于距地面高H處(H足夠大)，間距為l，當(dāng)A球

自由下落的同時(shí)，將B球以速度v0指向A球水平拋出，求：　

(1)兩球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到相碰，A球下落的高度；

(2)A、B兩球碰撞(碰撞時(shí)無(wú)機(jī)械能損失)后，各自速度的水平分量；　

(3)輕繩拉直過(guò)程中，B球受到繩子拉力的沖量大小.　

答案　　 (1) 　　(2)v0　　 0　　 (3)

解析　 (1)設(shè)A球下落的高度為h

l=v0t　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

h=gt2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

聯(lián)立①②得h=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

(2)由水平方向動(dòng)量守恒得

mv0=mvAx′+mvBx′　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

由機(jī)械能守恒得

m(v02+vBy2)+ mvAy2=m(vAx′2+vAy′2)+ m(vBx′2+vBy′2)　　　　　　　　　　　　　 ⑤

式中vAy′=vAyvBy′=vBy

聯(lián)立④⑤得vAx′=v0,vBx′=0

(3)由水平方向動(dòng)量守恒得

mv0=2mvBx″

則I=mv0-mvBx″=