7.(07重慶理綜25)某興趣小組設(shè)計了一種實驗裝置,用來研究碰撞問題,其模型如

右圖所示.用完全相同的輕繩將N個大小相同、質(zhì)量不等的小球并列懸掛于一水平

桿,球間有微小間隔,從左到右,球的編號依次為1、2、3…….N,球的質(zhì)量依次遞減,

每個球的質(zhì)量與其相鄰左球質(zhì)量之比為k(k＜1).將1號球向左拉起,然后由靜止釋放,使

其與2號球碰撞,2號球再與3號球碰撞……所有碰撞皆為無機(jī)械能損失的正碰.(不計空氣阻力,忽略繩的伸長,g取10 m/s2)　

(1)設(shè)與n+1號球碰撞前,n號球的速度為vn,求n+1號球碰撞后的速度.　

(2)若N=5,在1號球向左拉高h(yuǎn)的情況下,要使5號球碰撞后升高16h(16h小于繩長),問k值為多少？　

(3)在第(2)問的條件下,懸掛哪個球的繩最容易斷,為什么？　

答案　 (1)　　 (2)0.414　　 (3)懸掛1號球的繩最容易斷,原因見解

解析　 (1)設(shè)n號球質(zhì)量為mn,n+1號球質(zhì)量為mn+1,碰撞后的速度分別為v n′、vn+1′,取水平向右為正方向,據(jù)題意有n號球與n+1號球碰撞前的速度分別為vn、0,且mn+1=kmn　

根據(jù)動量守恒定律,有mnvn=mnvn′n+kmnv n+1′　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 ①　

根據(jù)機(jī)械能守恒定律,有

mnvn2=mnv n′2+kmnv n+1′2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 ②　

由①②得v n+1′=(v n+1′=0舍去)　

設(shè)n+1號球與n+2號球碰前的速度為vn+1?　

據(jù)題意有vn+1=v n+1′

得vn+1=v n+1′=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 ③　

(2)設(shè)1號球擺至最低點時的速度為v1,由機(jī)械能守恒定律有　

m1gh=m1v12　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　 ④　

解得v1=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤　

同理可求5號球碰后瞬間的速度　

v5=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥　

由③式得vn+1=nv1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦　

N=n+1=5時,v5=()4v1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑧　

由⑤⑥⑧三式得　

k=-1≈0.414(k=--1舍去)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑨　

(3)設(shè)繩長為l,每個球在最低點時,細(xì)繩對球的拉力為F,由牛頓第二定律有　

F-mng=mn　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑩　

則F=mng+mn=mng+2=mng+Ekn　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　

?式中Ekn為n號球在最低點的動能　

由題意可知1號球的重力最大,又由機(jī)械能守恒定律可知1號球在最低點碰前的動能也最大,根據(jù)式可判斷在1號球碰撞前瞬間懸掛1號球細(xì)繩的張力最大,故懸掛1號球的繩最容易斷.　

6.(07四川理綜25)目前,滑板運動受到青少年的追捧.如

圖是某滑板運動員在一次表演時的一部分賽道在豎直平面

內(nèi)的示意圖,賽道光滑,FGI為圓弧賽道,半徑R=6.5 m,G為最低點并與水平賽道BC位于同一水平面,KA、DE平臺的高度都為h=1.8 m,B、C、F處平滑連接.滑板a和b的質(zhì)量均為m,m=5 kg,運動員質(zhì)量為M,M=45 kg.表演開始,運動員站在滑板b上,先讓滑板a從A點靜止下滑,t1=0.1 s后再與b板一起從A點靜止下滑.滑上BC賽道后,運動員從b板跳到同方向運動的a板上,在空中運動的時間t2=0.6 s(水平方向是勻速運動).運動員與a板一起沿CD賽道上滑后沖出賽道,落在EF賽道的P點,沿賽道滑行,經(jīng)過G點時,運動員受到的支持力N=742.5 N.(滑板和運動員的所有運動都在同一豎直平面內(nèi),計算時滑板和運動員都看作質(zhì)點,取g=10 m/s2)

(1)滑到G點時,運動員的速度是多大？　

(2)運動員跳上滑板a后,在BC賽道上與滑板a共同運動的速度是多大？　

(3)從表演開始到運動員滑至I的過程中,系統(tǒng)的機(jī)械能改變了多少？

答案　　 (1)6.5 m/s　　　 (2)6.9 m/s　　　　　　　 (3)88.75 J?　　

解析　　　 　 (1)在G點,運動員和滑板一起做圓周運動,設(shè)向心加速度為an,速度為vG,運動員受到重力 Mg、滑板對運動員的支持力N的作用,則

N-Mg=Man　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

an=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

即N-Mg=　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　 ③

vG=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

vG=6.5 m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

(2)設(shè)滑板a由A點靜止下滑到BC賽道后速度為v1,由機(jī)械能守恒定律有　

mgh=mv12　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥

解得v1=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦

運動員與滑板b一起由A點靜止下滑到BC賽道后,速度也為v1.　

運動員由滑板b跳到滑板a,設(shè)蹬離滑板b時的水平速度為v2,在空中飛行的水平位移為s,則　

s=v2t2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　 ⑧　

設(shè)起跳時滑板a與滑板b的水平距離為s0,則　

s0=v1t1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　 ⑨　

設(shè)滑板a在t2時間內(nèi)的位移為s1,則　

s1=v1t2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 ⑩　

s=s0+s1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

即v2t2=v1(t1+t2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

運動員落到滑板a后,與滑板a共同運動的速度為v,由動量守恒定律　

mv1+Mv2=(m+M)v　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由以上方程可解出　

v=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

代入數(shù)據(jù),解得v=6.9 m/s?　　　　　　　　　　　　　　　　

(3)設(shè)運動員離開滑板b后,滑板b的速度為v3,有　

Mv2+mv3=(M+m)v1　

可算出v3=-3 m/s,有|v3|=3 m/s＜v1=6 m/s,b板將在兩個平臺之間來回運動,機(jī)械能不變.　

系統(tǒng)的機(jī)械能改變?yōu)椤?/p>

?ΔE=(M+m)vG2+mv32-(m+m+M)gh　

故ΔE=88.75 J

5.(07四川理綜18)如圖所示,彈簧的一端固定在豎直墻上,質(zhì)量為m的光滑

弧形槽靜止在光滑水平面上,底部與水平面平滑連接,一個質(zhì)量也為m的小球

從槽高h(yuǎn)處開始自由下滑　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.在以后的運動過程中,小球和槽的動量始終守恒　

B.在下滑過程中小球和槽之間的相互作用力始終不做功　

C.被彈簧反彈后,小球和槽都做速率不變的直線運動　

D.被彈簧反彈后,小球和槽的機(jī)械能守恒,小球能回到槽高h(yuǎn)處

答案　　 C?

解析　 小球與槽組成的系統(tǒng)在水平方向動量守恒,由于小球與槽質(zhì)量相等,分離后小球和槽的速度大小相等,小球與彈簧接觸后,由能量守恒可知,它將以原速率被反向彈回,故C項正確.

4.(07重慶理綜17)為估算池中睡蓮葉面承受雨滴撞擊產(chǎn)生的平均壓強(qiáng),小明在雨天將一圓柱形水杯置于露臺,測得1小時內(nèi)杯中水位上升了45 mm.查詢得知,當(dāng)時雨滴豎直下落速度約為12 m/s.據(jù)此估算該壓強(qiáng)約為(設(shè)雨滴撞擊睡蓮后無反彈,不計雨滴重力,雨水的密度為1×103 kg/m3?)　

A.0.15 Pa　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 B.0.54 Pa　　　　　　　　　　　　 C.1.5 Pa　　　　　　　　　　　 D.5.4 Pa?　

答案　 A

解析 　設(shè)圓柱形水杯的橫截面積為S,則水杯中水的質(zhì)量為m=ρV=103×45×10-3S=45S,由動量定理可得：Ft=mv,而p=,所以p== Pa=0.15 Pa.

3.(07北京理綜20)在真空中的光滑水平絕緣面上有一帶電小滑塊.開始時滑塊靜止.若在滑塊所在空間加一水平勻強(qiáng)電場E1,持續(xù)一段時間后立刻換成與E1相反方向的勻強(qiáng)電場E2.當(dāng)電場E2與電場E1持續(xù)時間相同時,滑塊恰好回到初始位置,且具有動能Ek.在上述過程中,E1對滑塊的電場力做功為W1,沖量大小為I1;E2對滑塊的電場力做功為W2,沖量大小為I2.則　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 (　　 ) ?A.I1=I2　　　　　　　　　　 B.4I1=I 2　　　　　 　　　 C.W1=0.25Ek,W2=0.75Ek?　　　　　　　　　　 D.W1=0.20Ek,W2=0.80Ek

答案　 C

解析　 電場為E1時滑塊的加速度為a1,電場為E2時滑塊的加速度為a2,兩段相同時間t內(nèi)滑塊運動的位移大小相等,方向相反,第一個t內(nèi)的位移s1=a1t2,第二個t內(nèi)的位移s2=v1t-a2t2=a1t·t-a2t2=a1t2-a2t2,由s1=-s2得:a2=3a1,即:E2=3E1,所以I1=E1qt,I2=E2qt,則I2=3I1,故A、B錯誤.W1=E1qs,W2=E2qs,而W1+W2=Ek,所以

W1=0.25Ek,W2=0.75Ek,故C對,D錯.

2.(07全國卷II 16)如圖所示, PQS是固定于豎直平面內(nèi)的光滑的　 圓周軌道,圓心O

在S的正上方.在O和P兩點各有一質(zhì)量為m的小物塊a和b,從同一時刻開始,a自

由下落,b沿圓弧下滑.以下說法正確的是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(　　 )

A.a比b先到達(dá)S,它們在S點的動量不相等

B.a與b同時到達(dá)S,它們在S點的動量不相等

C.a比b先到達(dá)S,它們在S點的動量相等

D.b比a先到達(dá)S,它們在S點的動量相等

答案　 A

解析　 a自由下落,b沿圓弧下滑,a比b先到達(dá)S,二者下落高度相同,由機(jī)械能守恒定律可知,二者到達(dá)S時速度大小相同,故動量不同,A項正確.

1．(07全國卷I 18)如圖所示,在傾角為30°的足夠長的斜面上有一質(zhì)量為m的

物體,它受到沿斜面方向的力F的作用.力F可按圖(a)、(b)、(c)、(d)所示的四

種方式隨時間變化(圖中縱坐標(biāo)是F與mg的比值,力沿斜面向上為正.)　

已知此物體在t=0時速度為零,若用v1、v2、v3、v4分別表示上述四種受力情況下物體在3秒末的速率,則這四個速率中最大的是　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(　　 )　

?

A.v1　　　　　　　　　　 B.v2　　　　　　　　　　 C.v3　　　　　　　 ?　 D.v4　

答案　 C

解析　 圖(a)中,合力的沖量為Ia=Ft1+Ft2-mgsin 30°·t=-0.5 mg×2+0.5 mg×1-0.5 mg×3=-2 mg;圖(b)中,合力的沖量為Ib=Ft1+Ft2+Ft3-mgsin 30°·t=-1.5 mg;圖(c)中,合力的沖量為Ic=Ft1+Ft2-mgsin 30°t=

-2.5 mg;圖(d)中,合力的沖量為Id=Ft1+Ft2-mgsin 30°·t=-1.5 mg,由于圖(c)情況下合力的沖量最大,故v3是最大的.

8.(08廣東20)如圖所示,固定的凹槽水平表面光滑,其內(nèi)放置U形滑板N,

滑板兩端為半徑R=0.45 m的1/4圓弧面,A和D分別是圓弧的端點,BC

段表面粗糙,其余段表面光滑,小滑塊P1和P2的質(zhì)量均為m,滑板的質(zhì)量

M=4m.P1和P2與BC面的動摩擦因數(shù)分別為μ1=0.10和μ2=0.40,最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力,開始時滑板緊靠槽的左端,P2靜止在粗糙面的B點.P1以v0=4.0 m/s的初速度從A點沿弧面自由滑下,與P2發(fā)生彈性碰撞后,P1處在粗糙面B點上,當(dāng)P2滑到C點時,滑板恰好與槽的右端碰撞并與槽牢固粘連,P2繼續(xù)滑動,到達(dá)D點時速度為零,P1與P2可視為質(zhì)點,取g=10 m/s2.問：　

(1)P2在BC段向右滑動時,滑板的加速度為多大？　

(2)BC長度為多少？N、P1和P2最終靜止后,P1與P2間的距離為多少？　

答案　 (1)0.8 m/s2　　　 (2)1.9 m?0.695 m?　

解析　 (1)將N、P1看作整體,根據(jù)牛頓第二定律得：　

μ2mg=(M+m)a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①　

a= m/s2=0.8 m/s2　　　　　　　　　　　　　 ②　

(2)設(shè)P1到達(dá)B點的速度為v,P1從A點到達(dá)B點的過程中,根據(jù)動能定理有：　

mgR=mv2-mv02　　　　　 `　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③　

代入數(shù)據(jù)得v=5 m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④　

因P1、P2質(zhì)量相等且發(fā)生彈性碰撞,所以碰后P1、P2交換速度,即碰后P2在B點的速度為：　

vB=5 m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

設(shè)P2在C點的速度為vC,P2從C點到D點過程中根據(jù)動能定理得：　

-mgR=-mvC2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥　

代入數(shù)據(jù)得vC=3 m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　 ⑦　

P2從B點到C點的過程中,N、P1、P2作為一個系統(tǒng)所受合外力為零,系統(tǒng)動量守恒,設(shè)P2到達(dá)C點時N和P1的共同速度為v′.根據(jù)動量守恒定律得：　

mvB=mvC+(M+m)v′　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑧　

v′為滑板與槽的右端粘連前滑板和P1的共同速度.由動能定理　

-μ2mgL2=mvC2-mvB2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑨　

μ2mgLN=(M+m)v′2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑩　

L2和LN分別為P2和滑板對地移動的距離,聯(lián)立⑧⑨⑩得BC長度　

l=L2-LN=1.9 m　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

滑板與槽粘連后,P1在BC上移動的距離為l1　

-μ1mgl1=0-mv12　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ?

P2在D點滑下后,在BC上移動的距離l2

mgR=μ2mgl2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

聯(lián)立　　　　 得系統(tǒng)完全靜止時P1與P2的間距Δl=l-l1-l2=0.695 m.

2004-2007年高考題

題組一

7.(08廣東19)如圖(a)所示,在光滑絕緣水平面的AB區(qū)域內(nèi)存在水平向右的電場,電場強(qiáng)度E隨時間的變化如圖(b)所示,不帶電的絕緣小球P2靜止在O點.t=0時,帶正電的小球P1以速度v0從A點進(jìn)入AB區(qū)域,隨后與P2發(fā)生正碰后反彈,反彈速度大小是碰前的倍,P1的質(zhì)量為m1,帶電荷量為q,P2的質(zhì)量m2=5m1,A、O間距為L0,O、B間距L=.已知,T=.

(1)求碰撞后小球P1向左運動的最大距離及所需時間.　

(2)討論兩球能否在OB區(qū)間內(nèi)再次發(fā)生碰撞.　

答案　 (1)L0　　　 T(2)能再次發(fā)生碰撞　

解析　 (1)因為T=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

所以0-T時間內(nèi)P1做勻速直線運動,T s末恰好到達(dá)O點,與P2發(fā)生正碰.

假設(shè)碰撞后P1向左移動時始終處在勻強(qiáng)電場中,向左運動的最大距離為s,時間為t.根據(jù)動能定理得　

-qE0s=0-m1(v0)2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

s=L0<L0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

根據(jù)勻變速直線運動的規(guī)律知　

s=·v0·t　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 ④

t==T<4T　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

由③⑤知,題意假設(shè)正確,P1向左運動的最大距離為L0,所需時間為T.

(2)設(shè)P1、P2碰撞后P2的速度為v,以向右為正方向,根據(jù)動量守恒定律得　

m1v0=m1(-v0)+5m1v　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥　

則v=v0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦　

假設(shè)兩球能在OB區(qū)間內(nèi)再次發(fā)生碰撞,設(shè)P1、P2從第一次碰撞到再次碰撞的時間為t′(碰后P2做勻速直線運動)　

-v0t′+·t′2=v0 t′　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　 ⑧

則t′==3T<4T　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑨

P1、P2從O點出發(fā)到再次碰撞時的位移　

s1=v0t′=v­0·=L0<L　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑩

由⑨⑩知,題意假設(shè)正確,即兩球在OB區(qū)間內(nèi)能再次發(fā)生碰撞.

6.(08天津理綜24)光滑水平面上放著質(zhì)量mA=1 kg的物塊A與質(zhì)量mB=2 kg的

物塊B,A與B均可視為質(zhì)點,A靠在豎直墻壁上,A、B間夾一個被壓縮的輕彈簧

(彈簧與A、B均不拴接),用手擋住B不動,此時彈簧彈性勢能EP=49 J.在A、B間系一輕質(zhì)細(xì)繩,細(xì)繩長度大于彈簧的自然長度,如圖所示.放手后B向右運動,繩在短暫時間內(nèi)被拉斷,之后B沖上與水平面相切的豎直半圓光滑軌道,其半徑R=0.5 m,B恰能到達(dá)最高點C.取g=10 m/s2,求　

(1)繩拉斷后瞬間B的速度vB的大小;　

(2)繩拉斷過程繩對B的沖量I的大小;　

(3)繩拉斷過程繩對A所做的功W.　

答案　 (1)5 m/s　　 　　　　　 (2)4 N·s?　　　　　 (3)8 J?　

解析　 (1)設(shè)B在繩被拉斷后瞬間的速度為vB,到達(dá)C時的速度為vC,有mBg=mB 　　①

mBvB2=mBvC2+2mBgR　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　 ②

代入數(shù)據(jù)得vB=5 m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 `　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

(2)設(shè)彈簧恢復(fù)到自然長度時B的速度為v1,取水平向右為正方向,有Ep=mBv12　　　　　　　　　　 ④

I=mBvB-mBv1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

代入數(shù)據(jù)得I=-4 N·s,其大小為4 N·s?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥

(3)設(shè)繩斷后A的速度為vA,取水平向右為正方向,有mBv1=mBvB+mAvA　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦

W=mAvA2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑧

代入數(shù)據(jù)得W=8 J　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑨