（1）當(dāng)D₁E⊥平面AB₁F時，F(xiàn)是CD的中點，又E是BC的中點，連結(jié)EF，則EF∥BD. 連結(jié)AC，設(shè)AC與EF交于點H，則AH⊥EF. 連結(jié)C₁H，則CH是C₁H在底面ABCD內(nèi)的射影.

    ∴C₁H⊥EF，即∠AHC₁是二面角C₁―EF―A的平面角.

    A₁（0，0，1），B（1，0，1），D₁（0，1，1），E，F(xiàn)（x，1，0）

    故二面角C₁―EF―A的大小為.

    解法二：以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

    （1）設(shè)DF=x，則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），

    ∴∠C₁HC=arctan，從而∠AHC₁=.

    ∴tan∠C₁HC=.

    在Rt△C₁CH中，∵C₁C=1，CH=AC=，

    ∴D₁E⊥AFDE⊥AF.

    ∵ABCD是正方形，E是BC的中點.

    ∴當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點時，DE⊥AF，

    即當(dāng)點F是CD的中點時，D₁E⊥平面AB₁F.…………6分

    （II）當(dāng)D₁E⊥平面AB₁F時，由（I）知點F是CD的中點.

    又已知點E是BC的中點，連結(jié)EF，則EF∥BD. 連結(jié)AC，

    設(shè)AC與EF交于點H，則CH⊥EF，連結(jié)C₁H，則CH是

    C₁H在底面ABCD內(nèi)的射影.

    C₁H⊥EF，即∠C₁HC是二面角C₁―EF―C的平面角.