II．設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=x₀對(duì)稱，證明x₀<

【解析】證明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x．因?yàn)?i>x₁，x₂是方程f(x)－x=0的根，所以

F(x)=a(x－x₁)(x－x₂)．

當(dāng)x∈(0，x₁)時(shí)，由于x₁<x₂，得(x－x₁)(x－x₂)>0，又a>0，得F(x)=a(x－x₁)(x－x₂)>0，

（1997年全國(guó)理24）設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax²+bx+c(a>0),方程f(x)－x=0的兩個(gè)根x₁,x₂滿足0<x₁<x₂<． I．當(dāng)x(0, x₁)時(shí)，證明x<f (x)<x₁；

【評(píng)析】該題無(wú)論從直接還是間接思路，都要進(jìn)行三級(jí)分類討論，體現(xiàn)為試題很難。難度為0.18，按照當(dāng)年《考試說(shuō)明》，難度低于0.2的，應(yīng)該算作廢題。結(jié)論：考查單一的知識(shí)與思想，層數(shù)不能超過(guò)三級(jí)。

∴∠DA₁C₁=∠DA₁B₁+∠B₁A₁C₁=90°，即⊥                     

∵CC₁⊥面A₁C₁B₁，即A₁C₁是A₁C在平面A₁C₁D上的射影，根據(jù)三垂線定理得DA₁⊥A₁C，

所以∠CA₁C₁是所求二面角的平面角．∵CC₁=AA₁=A₁B₁=A₁C₁，∠A₁C₁C=90°，

∴∠CA₁C₁=45°，即所求二面角為45°

【評(píng)析】以這種填空題形式出現(xiàn)，過(guò)多地限制了學(xué)生思維，出現(xiàn)了實(shí)際結(jié)果與預(yù)估難度非常大的反差。立體幾何試題這樣出不當(dāng)；通過(guò)該題，也使近年立體幾何的研究開(kāi)始了降溫。同時(shí)也使不少專家反�。焊呖荚囶}與研究熱點(diǎn)及競(jìng)賽試題還是當(dāng)有區(qū)別的。同時(shí)，也確定了從1997年開(kāi)始高考試題的進(jìn)行量化評(píng)價(jià)。

（1997年全國(guó)理15）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有(    ) (A) 150種      (B) 147種     (C) 144種    (D) 141種

【解答】D

∠DA₁B₁=∠A₁DB₁=（180°－∠D B₁A₁）=30°，

∴∵∠B₁A₁C₁=∠B₁ C₁A₁=60°，

∵∥，

∴，即

【解答】①∵面A₁EC⊥側(cè)面AC₁， ②∵面ABC⊥側(cè)面AC₁，   ③∵BE∥側(cè)面AC₁

④∵BE∥AA₁，                 ⑤∵AF=FC，   

(Ⅱ)解：分別延長(zhǎng)CE、C₁B₁交于點(diǎn)D，連結(jié)A₁D．

注意：在下面橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容，使之成為(Ⅰ)的完整證明，并解答(Ⅱ)．(右下圖)

(Ⅰ)證明：在截面A₁EC內(nèi)，過(guò)E作EG⊥A₁C，G是垂足．

① ∵                                     

∴EG⊥側(cè)面AC₁;取AC的中點(diǎn)F，連結(jié)BF，F(xiàn)G，由AB=BC得BF⊥AC，

② ∵                            

∴BF⊥側(cè)面AC₁;得BF∥EG，BF、EG確定一個(gè)平面，交側(cè)面AC₁于FG．

③ ∵                      

∴BE∥FG，四邊形BEGF是平行四邊形，BE=FG，

④ ∵                            

∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，

⑤ ∵                    

（1996年全國(guó)理22、文23）如圖，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥側(cè)面AC₁． (Ⅰ)求證：BE=EB₁;

(Ⅱ)若AA₁=A₁B₁;求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角(銳角)的度數(shù)．